時空

非相対論的古典力学では、時間は普遍的な測定量として扱われ、空間とは分離され、すべての観測者によって合意されています。古典力学は、時間は観測者の運動状態や外部の何にも依存せず、一定の速度で経過すると仮定しています。^{[ 1 ]}また、空間はユークリッド的であると仮定しています。つまり、空間は常識的な幾何学に従うと仮定しています。^{[ 2 ]}

特殊相対性理論の文脈では、物体の時間の経過速度は観測者に対する物体の速度に依存するため、時間は空間の3次元から切り離すことはできません。 ^{[ 3 ]： 214-217}一般相対性理論は、重力場が場外の観測者から見た物体の時間経過を遅くする方法を説明します。

通常の空間では、位置は次元と呼ばれる 3 つの数値で指定されます。デカルト座標系では、これらはしばしばx、y、zと呼ばれます。時空内の点はイベントと呼ばれ、空間内の 3 次元の位置と時間内の位置の 4 つの数値を指定する必要があります (図 1)。イベントは、座標x、y、z、tのセットで表されます。^{[ 4 ]}したがって、時空は4 次元です。

花火や火花など、出来事を説明するために一般の著作で使われる類推とは異なり、数学的な出来事は持続時間がゼロで、時空の一点を表します。^{[ 5 ]}花火や火花の破裂に対して相対的に動いていることは可能ですが、観測者が出来事に対して相対的に動いていることは不可能です。

粒子が時空を通過する経路は、一連の出来事と考えることができる。これらの出来事を連結することで、粒子が時空を通過する様子を表す曲線を描くことができる。この経路は粒子の世界線と呼ばれる。^{[ 6 ]： 105}

数学的には、時空は多様体であり、つまり、十分に小さなスケールでは地球の表面が平らに見えるのと同様に、各点の近くでは局所的に「平ら」に見える。^{[ 7 ]}スケールファクター、${\displaystyle c}$（慣習的に光速と呼ばれる）は、空間で測定された距離と時間で測定された距離を関連付けます。このスケールファクターの大きさ（空間では約30万キロメートルまたは19万マイルが時間では1秒に相当）と、時空が多様体であるという事実から、通常の非相対論的速度と通常の人間スケールの距離では、世界がユークリッドである場合に人間が観察するものと著しく異なるものはほとんどないことがわかります。1800年代半ばにフィゾーの実験やマイケルソン・モーリーの実験などの高感度な科学的測定が登場して初めて、ユークリッド空間という暗黙の仮定に基づく予測と観測との間に不可解な不一致が指摘され始めました。^{[ 8 ]}

特殊相対性理論では、観測者とは、ほとんどの場合、一連の物体や事象が測定される基準系を意味します。この用法は、英語におけるこの用語の通常の意味とは大きく異なります。基準系は本質的に非局所的な構成物であり、この用語の用法によれば、観測者が位置を持つと言うのは意味がありません。^{[ 9 ]}

図 1-1では、検討対象のフレームに、この基準フレーム内で同期された時計の密な格子が備えられており、それが空間の3次元全体に無限に広がっていると想像してください。格子内の特定の位置は重要ではありません。この時計の格子は、フレーム全体で発生する事象の時間と位置を決定するために使用されます。観測者という用語は、1つの慣性基準フレームに関連付けられた時計の集合全体を指します。^{[ 9 ]： 17-22}

この理想化されたケースでは、空間内のすべての点に時計が関連付けられており、時計は各イベントを瞬時に記録し、イベントと記録の間に時間遅延はありません。実際の観測者は、光の速度のために、信号の発信と検出の間に遅延を観測します。実験後のデータ処理において時計を同期させるには、信号が受信された時刻を、理想的な時計格子によって記録された場合の実際の時刻を反映するように補正します。^{[ 9 ]： 17-22}

特殊相対性理論に関する多くの書籍、特に古い書籍では、「観測者」という言葉はより一般的な意味で用いられている。文脈からどちらの意味が採用されているかは通常明らかである。

物理学者は、信号伝搬遅延を考慮に入れた後に測定または観測されるものと、そのような補正なしに視覚的に見えるものとを区別します。測定されるものと見えるものの違いを理解できないことが、相対性理論を学ぶ学生の間で多くの混乱の原因となっています。^{[ 10 ]}

3次元では、距離$\displaystyle \Delta {d}}$2点間の距離はピタゴラスの定理を用いて定義できる。

${\displaystyle (\Delta {d})^{2}=(\Delta {x})^{2}+(\Delta {y})^{2}+(\Delta {z})^{2}}$

2人の観察者が異なる座標系を用いて2点のx、y、z座標を測定したとしても、両者が同じ単位系を用いて測定している限り、2点間の距離は両者とも同じになる。つまり、距離は「不変」である。

しかし、特殊相対性理論では、ローレンツ収縮のため、一方の観測者が運動している場合、2点間の距離は2人の異なる観測者によって測定されても同じではなくなります。2点が空間的にも時間的にも離れている場合は、状況はさらに複雑になります。例えば、ある観測者が2つの事象が同じ場所で異なる時間に発生したと見た場合、最初の観測者に対して運動している人は、2つの事象が異なる場所で発生したと見ます。これは、運動している視点からは、自分自身は静止していると見え、事象の位置は遠ざかっているか近づいているように見えるためです。したがって、2つの事象間の実効的な「距離」を測定するには、別の尺度を用いる必要があります^{。[ 31 ]： 48-50、100-102}

4次元時空において、距離に相当するものは時間間隔です。時間は4次元目として登場しますが、空間次元とは異なる扱いを受けます。そのため、ミンコフスキー空間は4次元ユークリッド空間とは重要な点で異なります。空間と時間を時空に統合する根本的な理由は、空間と時間がそれぞれ不変ではない、つまり適切な条件下では、異なる観測者が2つの事象間の時間の長さ（時間の遅れのため）または2つの事象間の距離（長さの収縮のため）について意見が異なるということです。特殊相対性理論は、空間と時間の距離を組み合わせた時空間隔と呼ばれる新しい不変量を提供します。任意の2つの事象間の時間と距離を測定するすべての観測者は、最終的に同じ時空間隔を計算することになります。ある観測者が2つの事象が時間的に分離されていると測定した場合を考えてみましょう。${\displaystyle \Delta t}$空間的な距離${\displaystyle \Delta x.}$次に、時空の二乗間隔$\displaystyle (\Delta {s})^{2}}$距離によって隔てられた2つのイベントの間$\displaystyle \Delta {x}}$宇宙空間で、そして${\displaystyle \Delta {ct}=c\Delta t}$で${\displaystyle ct}$-座標は: ^{[ 32 ]}

${\displaystyle (\Delta s)^{2}=(\Delta ct)^{2}-(\Delta x)^{2},}$

または3次元空間の場合、

${\displaystyle (\Delta s)^{2}=(\Delta ct)^{2}-(\Delta x)^{2}-(\Delta y)^{2}-(\Delta z)^{2}.}$

定数${\displaystyle c,}$光の速度は時間を変換します${\displaystyle t}$単位（秒など）を空間単位（メートルなど）に変換する。$\displaystyle \Delta s^{2}}$分離間隔は、時間的に分離され、かつ空間的にも分離されている事象AとBの間の距離を表す尺度です。これは、2つの別々の物体が事象を起こしている場合、または空間内の単一の物体が事象の間を慣性運動している場合に当てはまります。分離間隔は、事象Bと事象Aを隔てる空間距離の二乗と、同じ時間間隔で光信号が移動する空間距離の二乗との差です。${\displaystyle \Delta t}$イベント分離が光信号によるものである場合、この差は消滅し、${\displaystyle \Delta s=0}$。

考慮される事象が互いに無限に近接している場合、次のように書くことができます。

${\displaystyle ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}.}$

別の慣性系では、例えば座標系では${\displaystyle (t',x',y',z')}$時空間隔${\displaystyle ds'}$上記と同じ形式で記述できます。光速が一定であるため、すべての慣性系における光イベントはゼロ区間に属します。${\displaystyle ds=ds'=0}$。その他の微小イベントの場合、${\displaystyle ds\neq 0}$証明できるのは${\displaystyle ds^{2}=ds'^{2}}$ そして統合すると${\displaystyle s=s'}$[ ^{33 ]： 2すべての慣性系において同じ事象間の時空間隔が不変であることは、}特殊相対性理論の基本的な結果の1つである。

簡潔にするために、デルタなしで表現された区間表現をよく見かけますが、以下の議論のほとんどでは、一般的に、${\displaystyle x}$手段$\displaystyle \Delta {x}}$など。私たちは常に、2 つのイベントに属する空間的または時間的な座標値の違いに関心を寄せており、優先される原点がないため、単一の座標値には本質的な意味がありません。

上記の式はピタゴラスの定理に似ていますが、${\displaystyle (ct)^{2}}$そして${\displaystyle x^{2}}$用語。時空間隔は量です。${\displaystyle s^{2},}$ない${\displaystyle s}$それ自体。その理由は、ユークリッド幾何学における距離とは異なり、ミンコフスキー時空における間隔は負になる可能性があるからです。負の数の平方根を扱う代わりに、物理学者は通常、$s²$何かの正方形としてではなく、それ自体が独立したシンボルとして。^{[ 3 ]： 217}

注：相対性理論の文献では、2種類の符号規約が用いられています。

${\displaystyle s^{2}=(ct)^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}$

そして

${\displaystyle s^{2}=-(ct)^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}}$

これらの符号規則は、計量記号(+−−−)および(−+++)に関連付けられています。わずかな違いとして、時間座標を最初ではなく最後に置くというものがあります。どちらの規則も研究分野で広く使用されています。^{[ 34 ]}

以下の議論では、最初の慣例に従います。

一般的に$s²$任意の実数値をとることができます。$s²$が正の場合、時空間隔は時間的であると呼ばれます。質量のある物体が移動する空間距離は、同じ時間間隔で光が移動する距離よりも常に小さいため、正の間隔は常に時間的です。$s²$が負の場合、時空間隔は空間的であると言われる。時空間隔は、 が負の場合にゼロになる。${\displaystyle x=\pm ct.}$言い換えれば、光速で移動する物体の世界線上の2つの事象間の時空間隔はゼロである。このような間隔は光のような間隔、あるいはヌル間隔と呼ばれる。遠方の星から私たちの目に届く光子は、（私たちの視点から見ると）通過に何年もかかったにもかかわらず、老化していない。^{[ 31 ]： 48-50}

時空図は通常、単一の空間座標と単一の時間座標のみで描かれます。図 2-1は、同じ事象から発生し、反対方向に進む2つの光子AとBの世界線（すなわち時空内の経路）を示す時空図です。さらに、Cは光速より遅い物体の世界線を示しています。垂直方向の時間座標は、${\displaystyle c}$そのため、水平空間座標と同じ単位（メートル）を持ちます。光子は光速で移動するため、その世界線は±1の傾きを持ちます。^{[ 31 ]： 23-25}言い換えれば、光子が左右に1メートル移動するごとに約3.3ナノ秒かかります。

異なる基準系にいる観測者によって測定された時空座標が互いにどのように比較されるかを理解するために、標準的な構成のフレームを用いた簡略化された設定で作業することが有効です。注意深く行えば、これにより、得られる結論の一般性を損なうことなく、数学を簡略化することができます。図 2-2 では、2 つのガリレオ基準系(すなわち、従来の 3 次元空間フレーム) が相対運動している様子を示しています。フレーム S は最初の観測者 O に属し、フレーム S′ (「S プライム」と発音) は 2 番目の観測者 O′ に属します。

• フレームSのx 、y、z軸は、フレームS′のそれぞれのプライム付き軸と平行になるように配置されている。
• フレームS′は、フレームSで測定された一定速度vで、フレームSのx方向に移動する。
• フレームSとフレームS′の原点は、フレームSの時刻t =0とフレームS′の時刻t ′=0のときに一致する。^{[ 6 ]： 107}

図 2-3aは、図 2-2を異なる向きで描き直したものである。図 2-3bは、観測者Oの視点から見た相対論的時空図を示している。SとS′は標準配置にあるため、フレームSでは時刻t = 0 、フレームS′では時刻t ′ = 0で原点が一致する。ct ′軸は、フレームS′においてx ′ = 0となる事象を通過する。しかし、 x ′ = 0となる点はフレームSのx方向に速度vで移動しているため、時刻0以外ではct軸と一致^しない。したがって、 ct′軸はct軸に対して^{[ 31 ]}で与えられる角度θだけ傾いている^。23-31

${\displaystyle \tan(\theta )=v/c.}$

x ′ 軸もx軸に対して傾いています。この傾きの角度を決定するために、光パルスの世界線の傾きは常に±1 であることを思い出します。図2-3c は、観測者 O′ の視点からの時空図を示しています。イベント P は、x ′ = 0、ct ′ = − aでの光パルスの放出を表します。パルスは光源 (イベント Q) から距離aにある鏡で反射され、 x ′ = 0、ct ′ = a (イベント R)で光源に戻ります。  

 図2-3bには、観測者Oの座標系における同じ事象P、Q、Rがプロットされている。光路の傾きはそれぞれ1と-1であるため、△PQRはPQとQRがともにx軸とct 軸に対して45度の直角をなす直角三角形を形成する。OP = OQ = ORであるため、x′とxの間の角度もθでなければならない。^{[ 6 ]： 113-118}

静止系では空間軸と時間軸が直角に交わるのに対し、運動系では軸が鋭角に交わるように描かれています。実際には、これらの系は等価です。^{[ 31 ]： 23-31}この非対称性は、時空座標をデカルト座標平面にマッピングする際の避けられない歪みによるものであり、地球のメルカトル図法において、極付近（グリーンランドと南極）の陸塊の相対的な大きさが赤道付近の陸塊に比べて非常に誇張されているのと何ら変わりないと考えるべきでしょう。

図2-4では、事象 Oは時空図の原点に位置し、2本の対角線は、原点事象Oに対して時空間隔がゼロであるすべての事象を表しています。これらの2本の線は、事象Oの光円錐 と呼ばれるものを形成します。なぜなら、2次元目の空間次元を追加すると（図2-5）、頂点がOで交わる2つの直円錐 のように見えるからです。一方の円錐は未来（t>0）に、もう一方は過去（t<0）に伸びています。 

光（二重）円錐は、その頂点を基準として時空を複数の領域に分割する。未来光円錐の内部は、頂点から光速で空間距離を横断するのに必要な時間（時間的距離）よりも長い距離だけ離れたすべての事象から構成される。これらの事象は、事象Oの時間的未来を構成する。同様に、時間的過去は、過去光円錐の内部の事象から構成される。したがって、時間的間隔ではΔctはΔxよりも大きく、時間的間隔は正となる。^{[ 3 ]： 220} 

光円錐の外側の領域は、与えられた時間内に光速で横断できる距離よりも 大きな空間で事象Oから隔てられた事象から構成される。これらの事象は、図2-4で「Elsewhere」と記された、事象Oのいわゆる空間的領域を構成する。光円錐上の事象は、Oから光的（またはヌル分離）であると言われる。時空間隔の不変性により、すべての観測者は任意の事象に同じ光円錐を割り当て、したがってこの時空分割について合意する。^{[ 3 ]： 220}   

光円錐は因果関係の概念において重要な役割を果たします。光速より速くない信号が、 Oの位置と時間からDの位置と時間へ伝わることは可能です（図2-4）。したがって、事象Oが事象Dに因果的な影響を与えること は可能です。未来の光円錐には、Oによって因果的に影響を受ける可能性のあるすべての事象が含まれます。同様に、光速より速くない信号が、Aの位置と時間からOの位置と時間へ伝わることも可能です。過去の光円錐には、Oに因果的な影響を与える可能性のあるすべての事象が含まれます。対照的に、信号が光速より速く伝わることができないという仮定の下では、空間的領域（Elsewhere）にあるBやCなどの事象は、そのような信号伝達を用いて事象Oに影響を与えることも、事象Oから影響を受けることもありません。この仮定の下では、事象Oと光円錐の空間的領域にある事象との間の因果関係は排除されます。^{[ 35 ]}       

すべての観測者は、任意の事象について、その事象の未来の光円錐内の事象は、その事象の後に発生することに同意するだろう。同様に、任意の事象について、その事象の過去の光円錐内の事象は、その事象の前に発生する。時間的に分離された事象について観測される前後関係は、観測者の参照系が何であれ、つまり観測者がどのように動いていても変わらない。空間的に分離された事象の場合は状況が全く異なる。図 2-4は、 v = 0で移動する観測者の参照系から描かれたものである。この参照系から、事象 C は事象 O の後に発生し 、事象B は事象O の前に発生することが観測される。 ^{[ 36 ]} 

別の参照系から見ると、これらの因果関係のない事象の順序は逆転する可能性がある。特に、ある特定の参照系で2つの事象が同時である場合、それらは必然的に空間的な間隔で隔てられており、したがって因果関係がないことに注意する必要がある。同時性は絶対的なものではなく、観察者の参照系に依存するという観察は、同時性の相対性と呼ばれる。^{[ 36 ]}

図2-6は、同時性の相対性の解析における時空図の使用法を示しています。時空における事象は不変ですが、座標系は図 2-3で説明したように変換されます。3つの事象（A、B、C）は、 v = 0で移動する観測者の基準系から見ると同時です。v = 0.3 cで移動する観測者の基準系から見ると、事象はC、B、Aの順に発生するように見えます。v = −0.5 cで移動する観測者の基準系から見ると、事象はA、B、Cの順に発生するように見えます。白い線は、観測者の過去から未来へと移動する同時性の平面を表し、その平面上に存在する事象を強調しています。灰色の領域は観測者の光円錐であり、不変です。

空間的時空間隔は、測定対象の事象が観測者と同時である場合に観測者が測定する距離と同じ距離を与える。したがって、空間的時空間隔は、真の距離、すなわち真の距離の尺度を提供する。$\displaystyle {\sqrt {-s^{2}}}.}$同様に、時間的空間間隔は、特定の世界線に沿って移動する時計の累積的な刻みによって示されるのと同じ時間の尺度を与える。したがって、時間的空間間隔は、固有時間の尺度を提供する。$\displaystyle {\sqrt {s^{2}}}.}$^{[ 3 ]： 220-221}

ユークリッド空間（空間次元のみを持つ）では、ある点から等距離にある点の集合（ユークリッド距離を使用）は、円（2次元の場合）または球（3次元の場合）を形成します。(1+1)次元ミンコフスキー時空（1つの時間次元と1つの空間次元を持つ）では、原点から一定の時空間隔にある点（ミンコフスキー距離を使用）は、次の2つの式で表される曲線を形成します。

${\displaystyle (ct)^{2}-x^{2}=\pm s^{2},}$

と$s²$ある正の実定数。これらの式は、 x – ct時空図における 2 つの双曲線族を記述しており、これらは不変双曲線と呼ばれます。

図 2-7aでは、マゼンタ色の双曲線は原点から一定の空間的距離を持つすべての事象を結び付けており、緑色の双曲線は等しい時間的距離を持つ事象を結んでいる。

x軸と交差するマゼンタ色の双曲線は時間的曲線であり、つまりこれらの双曲線は時空内で（絶えず加速する）粒子がたどることができる実際の経路を表しています。1つの双曲線上の任意の2つのイベントの間には因果関係が存在します。なぜなら、すべての割線について、必要な速度を表す傾きの逆数が1つあたり1未満だからです。${\displaystyle c}$一方、ct軸を横切る緑色の双曲線は、空間的な曲線です。なぜなら、これらの双曲線に沿ったすべての区間は空間的な区間だからです。これらの双曲線上の任意の2点間には因果関係は存在しません。なぜなら、すべての割線は、より大きな速度を表しているからです。${\displaystyle c}$。

図2-7bは、(1+2)次元 ミンコフスキー時空（1つの時間次元と2つの空間次元）における状況を、対応する双曲面とともに示しています。原点から空間的間隔だけずれた不変双曲面は1枚の双曲面を生成し、原点から時間的間隔だけずれた不変双曲面は2枚の双曲面を生成します。

空間的双曲面と時間的双曲面の間の（1+2）次元境界は、原点から時空間隔がゼロとなる事象によって確立され、双曲面を光円錐に退化させることによって構成される。（1+1）次元では、双曲面は図 2-7aに示されている2本の灰色の45°線に退化する。

図2-8は、原点から5 メートル（約1.5メートル）の固有時間で到達できるすべてのイベントに対する不変双曲線を示しています。1.67 × 10 ⁻⁸ 秒）。異なる世界線は、異なる速度で動く時計を表します。観測者に対して静止している時計の世界線は垂直であり、観測者によって測定された経過時間は固有時間と同じです。0.3 cで移動する時計の場合、観測者によって測定された経過時間は 5.24メートル (  1.75 × 10 ⁻⁸ 秒）であるのに対し、0.7 cで移動する時計の場合、観測者によって測定された経過時間は 7.00メートル（  2.34 × 10 ⁻⁸ 秒）。^{[ 3 ] : 220–221}

これは、時間の遅れとして知られる現象を示しています。時計が速く進むと、（観測者の座標系で）同じ量の固有時間を刻むのに時間がかかり、時間の遅れがない場合よりもその固有時間内にx軸に沿ってより遠くまで移動します。^{[ 3 ]： 220-221}異なる慣性基準系にいる2人の観測者による時間の遅れの測定は相互的です。観測者Oが観測者O′の時計が自分の座標系で遅く進んでいると測定した場合、観測者O′は今度は観測者Oの時計が遅く進んでいると測定します。

長さの収縮は、時間の遅れと同様に、同時性の相対性の現れである。長さの測定には、ある基準系において同時である2つの事象間の時空間隔を測定する必要がある。しかし、ある基準系において同時である事象は、一般に、他の基準系においては同時ではない。

図2-9は、x軸に沿って0.5c の速度で移動する1mの棒の動きを示しています。青い帯の端は、棒の両端の世界線を表しています。不変双曲線は、原点から1mの空間的間隔で隔てられた事象を示しています。t ′ = 0のときに測定される端点OとBは、S′フレームでは同時事象です。しかし、フレームSの観測者にとっては、事象OとBは同時ではありません。長さを測定するために、フレームSの観測者は、棒の両端を世界線に沿ってx軸に投影して測定します。棒の世界面をx軸に投影すると、短縮された長さOCが得られます。^{[ 6 ]： 125}    

（図示なし）点Aを通る垂直線をx ′軸と交わるように引くと、観察者Oの視点からOBが短縮されているのと同様に、観察者O′の視点からOAも短縮されていることがわかる。それぞれの観察者が相手の時計が遅れて進んでいると測定するのと同じように、それぞれの観察者は相手の定規が縮んでいると測定する。

相互の長さの収縮に関して、図 2-9 は、プライム付きフレームとプライムなしフレームが双曲線角(ユークリッド幾何学の通常の角度に類似)だけ相互に回転していることを示しています。 ^{[注 8 ]}この回転により、プライム付きメートル定規のプライムなしx軸への投影は短縮され、プライムなしメートル定規のプライム付き x′ 軸への投影も同様に短縮されます。

この導入部分では、最も説明しやすい特殊相対性理論の時空に焦点を当ててきました。ミンコフスキー時空は平坦で、重力を考慮せず、全体にわたって均一であり、その中で起こる事象の静的な背景としてのみ機能します。重力の存在は、時空の記述を非常に複雑にします。一般相対性理論では、時空はもはや静的な背景ではなく、それに含まれる物理システムと積極的に相互作用します。時空は物質の存在下で曲がり、波を伝播し、光を曲げ、その他多くの現象を示します。^{[ 3 ]： 221}これらの現象のいくつかは、この記事の後半のセクションで説明されています。

基本的な目標は、相対運動している観測者によって行われた測定を比較できるようにすることです。フレーム S にいる観測者 O がイベントの時間座標と空間座標を測定し、同期した時計の格子上で測定された 3 つのデカルト座標と時間( x、y、z、t ) をこのイベントに割り当てたとします (図 1-1 を参照)。別のフレーム S′ にいる 2 番目の観測者 O′ は、同じイベントを自身の座標系と同期した時計の格子( x ′、y ′、z ′、t ′ )で測定します。慣性系では、どちらの観測者も加速されておらず、単純な方程式のセットにより、座標( x、y、z、t )と( x ′、y ′、z ′、t ′ )を関連付けることができます。 2 つの座標系が標準構成、つまり( x、y、z )座標が平行に整列しており、 t ′ = 0のときにt = 0であることを考慮すると、座標変換は次のようになります。^{[ 39 ] [ 40 ]}

${\displaystyle x'=x-vt}$

${\displaystyle y'=y}$

${\displaystyle z'=z}$

${\displaystyle t'=t.}$

図 3-1 は、ニュートンの理論では、時間は普遍的なものであり、光速ではないことを示しています。^{[ 41 ] : 36–37} 次の思考実験を考えてみましょう。赤い矢印は、プラットフォームに対して0.4 c で移動している列車を示しています。列車内で、乗客が 列車の座標系で 0.4 c の速度で弾丸を発射します。青い矢印は、線路に立っている人が弾丸が 0.8  c で移動していると測定することを示しています。これは、私たちの素朴な予想と一致しています。

より一般的に、フレーム S′ がフレーム S に対して速度vで移動していると仮定すると、フレーム S′ 内では、観測者 O′ は速度u ′で移動する物体を測定します。フレーム S に対する速度u は、 x = ut、x ′ = x − vt、t = t ′であるため、 x ′ = ut − vt = ( u − v ) t = ( u − v ) t ′と書くことができます。これにより、u ′ = x ′ / t ′となり、最終的に

${\displaystyle u'=uv}$  または  ${\displaystyle u=u'+v,}$

これは、速度の加算に関する常識的なガリレオの法則である。

相対論的時空では速度の構成がかなり異なります。方程式の複雑さを少し軽減するために、物体の速度と光速の比を表す共通の略記法を導入します。

${\displaystyle \beta =v/c}$

図 3-2a は、 v / c = β = s / aで与えられる速度で前進している赤い列車を示しています。列車の原点から、乗客がu ′ / c = β ′ = n / mで与えられる速度で弾丸を発射します。ここで、距離は黒いx軸に平行ではなく、赤い x ′ 軸に平行な線に沿って測定されます。青い矢印で示されるプラットフォームに対する弾丸の合成速度uはいくらですか。図3-2b を参照してください。 

1. プラットフォームからの弾丸の合成速度はu = c ( s + r )/( a + b )で与えられる。
2. 2 つの黄色の三角形は、共通の角αを共有する直角三角形であるため、相似です。大きな黄色の三角形では、s / a = v / c = βの比率になります。
3. 2 つの黄色の三角形の対応する辺の比は一定なので、r / a = b / s = n / m = β ′となります。したがって、b = u ′ s / cおよびr = u ′ a / cとなります。
4. ステップ1のuの式にbとrの式を代入すると、速度の加算に関するアインシュタインの公式が得られます。^{[ 41 ]： 42-48} 

   ${\displaystyle u={v+u' \over 1+(vu'/c^{2})}。}$

上記で示した速度の加算に関する相対論的公式には、いくつかの重要な特徴がある。

• u ′とvがどちらも光速に比べて非常に小さい場合、積vu ′ / c²^は限りなく小さくなり、結果として速度の加算に関するガリレオの公式（ニュートンの公式）u  = u ′ + vと区別がつかなくなります。ガリレオの公式は、低速に適用できる相対論的公式の特殊な場合です。   
• u ′をcに等しいと設定すると、 vの初期値に関係なく、式はu  = cとなる。光速は、発光源に対する観測者の運動に関係なく、すべての観測者にとって同じである。^{[ 41 ]： 49} 

時間の膨張と長さの収縮を定量的に表現することは容易である。図 3-3は、以前の2つのアニメーションから抽出した個々のフレームを合成した画像であり、このセクションの目的に合わせて簡略化およびラベル付けされている。

方程式の複雑さを少し軽減するために、 ctにはさまざまな略記法があります。

${\displaystyle \mathrm {T} =ct}$そして${\displaystyle w=ct}$よくあることだ。

また、慣習法の使用も非常に頻繁に見られる。${\displaystyle c=1.}$

図 3-3a において、線分OAとOK は等しい時空間隔を表します。時間の遅れは比OB / OKで表されます。不変双曲線はw = √ x ² + k ²という式を持ち、ここでk  = OK です。運動する粒子の世界線を表す赤い線はw = x / β = xc / vという式を持ちます。少し代数的な操作を行うと、     ${\textstyle OB=OK/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}.}$

平方根記号を含む式は相対性理論において非常に頻繁に現れ、その式の1/2はローレンツ因子と呼ばれ、ギリシャ文字ガンマで表される。${\displaystyle \gamma }$: ^{[ 42 ]}

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}}$

vがc以上の場合、${\displaystyle \gamma }$は物理的に意味をなさなくなり、cが自然界における最大速度であることを示唆する。v がゼロより大きい場合、ローレンツ因子は 1 より大きくなるが、曲線の形状から、低速域ではローレンツ因子は 1 に非常に近くなる。

図 3-3b では、セグメントOAとOK は等しい時空間隔を表します。長さの収縮は、比OB / OKで表されます。不変双曲線は、方程式x = √ w ² + k ²を持ち、ここでk  = OKです。また、運動する棒の端点の世界線を表す青い帯の端は、傾き 1/ β = c / vを持ちます。イベントA の座標は ( x , w ) = ( γ k , γ βk ) です。A と B を通る接線は方程式w = ( x − OB )/ βを持つため、 γ βk = ( γ k − OB )/ βとなり、                

${\displaystyle OB/OK=\gamma (1-\beta ^{2})={\frac {1}{\gamma }}}$

ガリレオ変換とその結果として導かれる速度の加算という常識的な法則は、飛行機、自動車、ボールといった低速な物体が飛び交う日常の世界ではうまく機能します。しかし、1800年代半ばから、高感度な科学計測機器によって、通常の速度加算では説明できない異常が発見され始めました。

特殊相対性理論では、ローレンツ変換を用いて、ある座標系における事象の座標を別の座標系へと変換する。

ローレンツ因子はローレンツ変換に現れる。

${\displaystyle {\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\\x'&=\gamma \left(x-vt\right)\\y'&=y\\z'&=z\end{aligned}}}$

逆ローレンツ変換は以下のとおりです。

${\displaystyle {\begin{aligned}t&=\gamma \left(t'+{\frac {vx'}{c^{2}}}\right)\\x&=\gamma \left(x'+vt'\right)\\y&=y'\\z&=z'\end{aligned}}}$

v  ≪ cかつxが十分に小さい場合、 v ² / c ²およびvx / c ²の項はゼロに近づき、ローレンツ変換はガリレオ変換に近似します。 

${\displaystyle t'=\gamma (t-vx/c^{2}),}$${\displaystyle x'=\gamma (x-vt)}$など、多くの場合、実際には${\displaystyle \Delta t'=\gamma (\Delta t-v\Delta x/c^{2}),}$${\displaystyle \Delta x'=\gamma (\Delta x-v\Delta t)}$など。簡潔にするため、ローレンツ変換方程式はデルタなしで記述されていますが、x はΔ xなどを意味します。一般的に、私たちは常にイベント間の空間的および時間的な差に関心を持っています。

一方の変換を通常のローレンツ変換、もう一方を逆変換と呼ぶのは誤解を招く。なぜなら、フレーム間に本質的な違いはないからである。著者によって、変換のどちらか一方を「逆」セットと呼ぶ場合がある。順変換と逆変換は自明な関係にある。なぜなら、SフレームはS ′に対して順方向または逆方向にしか移動できないからである。したがって、方程式を反転させるには、プライム付き変数とプライムなし変数を入れ替え、vを−vに置き換えるだけでよい。^{[ 43 ] : 71–79}

例：テレンスとステラは地球から火星への宇宙レースに参加しています。テレンスはスタートラインの役員で、ステラは参加者です。時刻t = t ′ = 0で、ステラの宇宙船は瞬時に 0.5 cの速度まで加速します。地球から火星までの距離は 300 光秒（約 100 秒）です。 90.0 × 10 ⁶  km )。テレンスはステラがt  =  600.00 秒でゴールライン時計を通過するのを観測した。しかしステラは船のクロノメーターで時刻を ⁠ と観測した。${\displaystyle t^{\prime }=\gamma \left(t-vx/c^{2}\right)=519.62\ {\text{s}}}$彼女がゴールラインを通過すると、スタートラインとゴールライン間の距離を、彼女のフレームで計測して259.81光秒（約77.9 × 10 ⁶  km ) 1)

ローレンツ変換の導出

アインシュタインが1905年に最初の研究を発表して以来、ローレンツ変換の導出は数十回に渡り、それぞれに独自の焦点が当てられてきた。アインシュタインの導出は光速の不変性に基づいていたが、他にも出発点となり得る物理原理が存在する。最終的に、これらの代替的な出発点は、ある粒子が別の粒子に及ぼす影響は瞬時に伝達されないという局所性の原理の異なる表現とみなすことができる。^{[ 44 ]}

ここで示され、図 3-5 に示されている導出は、 Bais ^{[ 41 ] : 64–66}によって提示されたものに基づいており、相対論的速度合成、時間膨張、長さ収縮のセクションからの以前の結果を利用しています。イベント P は、黒の「静止系」で座標( w、x )を持ち、速度パラメータβ = v / cで移動する赤のフレームで座標( w ′、x ′ )を持ちます。wとxでw ′とx ′を決定する(またはその逆)には、まず逆ローレンツ変換を導出する方が簡単です。

1. 横方向の長さの膨張/収縮はあり得ない。y 'はyに等しく、z 'はzに等しくなければならない。そうでなければ、高速で移動する1m の球が1mの円形の穴を通過できるかどうかは 観測者によって変わってしまう。相対性理論の第一公準は、すべての慣性系は等価であると述べており、横方向の膨張/収縮はこの法則に違反する。^{[ 43 ]： 27-28}
2. 図から、w = a + b、x = r + sとなる。
3. 相似三角形を用いた以前の結果から、s / a = b / r = v / c = βであることがわかっています。
4. 時間の遅れのため、a = γ w ′
5. 式(4)をs / a = βに代入すると、 s = γ w ′ βが得られる。
6. 長さの収縮と相似三角形から、 r = γ x ′およびb = βr = βγx ′が得られる。
7. ステップ2の式にs、a、r、bの式を代入すると、すぐに次の式が得られます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}w&=\gamma w'+\beta \gamma x'\\x&=\gamma x'+\beta \gamma w'\end{aligned}}}$$

上記の式は、 wをct、w ′をct ′、βをv / cに置き換えることでわかるように、逆ローレンツ変換の t および x の式の別の表現です。逆変換から、 t ′とx ′を解くことで順変換の式を導出できます。

ドップラー効果とは、相対運動する波源と受信機において、波の周波数または波長が変化する現象です。ここでは、簡略化のため、次の2つの基本的なシナリオを考えます。(1) 波源および／または受信機の動きが、それらを結ぶ線に正確に沿っている場合（縦方向ドップラー効果）、(2) 動きが上記の線に対して直角である場合（横方向ドップラー効果）。中間的な角度で移動するシナリオは無視します。

縦方向ドップラー効果

古典的なドップラー解析は、音波や水面の波紋など、媒質中を伝播する波を扱い、互いに近づいたり遠ざかったりする発信源と受信源の間で伝達される波を扱います。このような波の解析は、発信源、受信源、またはその両方が媒質に対して相対的に移動しているかどうかに依存します。受信源が媒質に対して静止しており、発信源が速度パラメータβsに対して_速度vsで受信源からまっすぐ遠ざかっているシナリオでは、波長が増加し、観測される周波数fは次のように与えられます_。

${\displaystyle f={\frac {1}{1+\beta _{s}}}f_{0}}$

一方、音源が静止しており、受信機が音源から速度vr_で直接遠ざかるシナリオでは、速度パラメータβrの場合、波長は変化しないが、受信機に対する波の伝送速度は減少し、観測周波数fは次のように与えられる_。

${\displaystyle f=(1-\beta _{r})f_{0}}$

光は音や水面の波紋とは異なり、媒質中を伝播しないため、光源が受信機から遠ざかる場合と受信機が光源から遠ざかる場合とでは区別がありません。図 3-6は、光源が速度パラメータで受信機から遠ざかる様子を示す相対論的時空図です。${\displaystyle \beta ,}$そのため、時刻における送信機と受信機の間の距離は${\displaystyle w}$は${\displaystyle \beta w}$時間の遅れのため、${\displaystyle w=\gamma w'.}$緑色の光線の傾きは-1なので、${\displaystyle T=w+\beta w=\gamma w'(1+\beta ).}$したがって、相対論的ドップラー効果は^{[ 41 ] : 58-59}で与えられる。

${\displaystyle f={\sqrt {\frac {1-\beta }{1+\beta }}}\,f_{0}.}$

横方向ドップラー効果

互いに交差しない直線に沿って等速慣性運動で接近する音源と受信機が、互いに最も接近した状態にあると仮定します。古典的な解析では、受信機はドップラーシフトを検出しないと予測されるように思えます。しかし、解析の微妙な点により、この予測は必ずしも正しいとは限りません。とはいえ、適切に定義すれば、横方向ドップラーシフトは、古典的な類似物を持たない相対論的効果です。その微妙な点は次のとおりです。^{[ 45 ] : 541–543}

• 図3-7a。受信機が音源に幾何学的に最も接近したときの周波数測定値はどうなるか？このシナリオは、音源の座標系S′から解析するのが最も容易である。^{[注10 ]}
• 図3-7b。受信機が音源を最も近い位置にあると認識した場合、周波数測定値はどうなるでしょうか？このシナリオは、受信機の座標系Sから分析するのが最も簡単です。

横方向ドップラーシフトに関する議論では、他に2つのシナリオが一般的に検討される。

• 図3-7c。受信機が音源の周りを円運動している場合、受信機はどのような周波数を測定するでしょうか？
• 図3-7d。音源が受信機の周りを円運動している場合、受信機はどのような周波数を測定するでしょうか？

シナリオ(a)では、最接近点はフレームに依存せず、距離と時間の関係が変化しない瞬間（すなわち、受信機と光源間の距離r においてdr/dt =  0となる瞬間）を表し、したがって縦方向のドップラーシフトは生じません。光源は、受信機が周波数f′の光で照らされていると観測しますが、同時に受信機が時間膨張した時計を持っているとも観測します。したがって、フレームSでは、受信機は周波数f ′の青方偏移した光で照らされます。 

${\displaystyle f=f'\gamma =f'/{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$

シナリオ（b）では、光源が移動した後でも、光源が受信機に最も近かった時の光が受信機を照らしている様子が図に示されています。光源の時計はフレームSで測定すると時間の遅れが生じ、この時点ではdr/dtがゼロであったため、この最も近い点から放出された光源からの光は周波数で赤方偏移します。

${\displaystyle f=f'/\gamma =f'{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$

シナリオ（c）と（d）は、単純な時間膨張の議論によって分析できます。（c）では、受信機は光源からの光が係数だけ青方偏移しているのを観測します。${\displaystyle \gamma }$(d)では、光は赤方偏移している。唯一の難点は、軌道上の物体が加速運動をしていることである。しかし、慣性系の観測者が加速する時計を見る場合、時間の遅れを計算する際には、時計の瞬間速度だけが重要となる。（ただし、その逆は真ではない。）^{[ 45 ]： 541-543}横方向ドップラーシフトに関する報告のほとんどは、その効果を赤方偏移と呼び、シナリオ(b)または(d)の観点からその効果を分析している。^{[注11 ]}

物理学では、保存則は、孤立した物理系の特定の測定可能な特性は、システムが時間とともに進化しても変化しないことを示しています。1915年、エミー・ネーターは、各保存則の根底には自然の基本的な対称性があることを発見しました。^{[ 48 ]}物理的プロセスが空間のどこで起こるかに関係ないという事実（空間並進対称性）は運動量の保存をもたらし、そのようなプロセスがいつ起こるかに関係ないという事実（時間並進対称性）はエネルギーの保存をもたらし、以下同様です。このセクションでは、相対論的観点から質量、運動量、エネルギーの保存に関するニュートン力学の見解を検討します。

総運動量

相対論的な文脈において、ニュートン力学における運動量保存の法則をどのように修正する必要があるかを理解するために、一次元に限定された2つの物体の衝突問題を考察する。

ニュートン力学においては、この問題の二つの極端なケースを区別することができ、それによって最小限の複雑さの数学的表現が得られる。

1. 2つの物体は、完全弾性衝突によって互いに跳ね返る。
2. 2つの物体はくっつき合い、単一の粒子として動き続ける。この2番目のケースは、完全非弾性衝突の場合である。

（1）と（2）のどちらの場合も、運動量、質量、および全エネルギーは保存されます。ただし、非弾性衝突の場合は運動エネルギーは保存されません。初期運動エネルギーの一部が熱に変換されます。

ケース（２）では、運動量を持つ２つの質量が${\displaystyle {\boldsymbol {p}}_{\boldsymbol {1}}=m_{1}{\boldsymbol {v}}_{\boldsymbol {1}}}$そして ​​${\displaystyle {\boldsymbol {p}}_{\boldsymbol {2}}=m_{2}{\boldsymbol {v}}_{\boldsymbol {2}}}$衝突して質量が保存される単一の粒子を生成する${\displaystyle m=m_{1}+m_{2}}$元のシステムの重心速度で移動し、${\displaystyle {\boldsymbol {v_{cm}}}=\left(m_{1}{\boldsymbol {v_{1}}}+m_{2}{\boldsymbol {v_{2}}}\right)/\left(m_{1}+m_{2}\right)}$総運動量${\displaystyle {\boldsymbol {p=p_{1}+p_{2}}}}$保存されます。

図 3-10は、相対論的観点から見た2つの粒子の非弾性衝突を示している。時間成分は${\displaystyle E_{1}/c}$そして​​${\displaystyle E_{2}/c}$合計すると、結果ベクトルのE/cとなり、エネルギーが保存されることを意味します。同様に、空間成分も${\displaystyle {\boldsymbol {p_{1}}}}$そして​​${\displaystyle {\boldsymbol {p_{2}}}}$これらを足し合わせると、結果ベクトルのpが形成される。予想通り、4元運動量は保存量である。しかし、全運動量の不変双曲線がエネルギー軸と交わる点によって与えられる融合粒子の不変質量は、衝突した個々の粒子の不変質量の合計とは等しくない。実際、それは個々の質量の合計よりも大きい。${\displaystyle m>m_{1}+m_{2}}$⁠ . ^{[ 41 ] : 94–97}

このシナリオの出来事を逆順に見ていくと、質量保存則が成り立たないことがよく起こることがわかります。不安定な素粒子が自発的に2つの軽い粒子に崩壊する場合、全エネルギーは保存されますが、質量は保存されません。質量の一部は運動エネルギーに変換されます。^{[ 43 ]： 134-138}

基準座標系の選択

図3-11。（上）実験室座標系。（右）運動量中心座標系。

解析を行うフレームを自由に選択できるため、特に都合の良いフレームを選ぶことができます。運動量とエネルギーの問題の解析では、通常、「運動量中心フレーム」（ゼロ運動量フレーム、またはCOMフレームとも呼ばれる）が最も都合の良いフレームです。これは、システムの全運動量の空間成分がゼロになるフレームです。図 3-11は、高速粒子が2つの娘粒子に分裂する様子を示しています。実験室フレームでは、娘粒子は元の粒子の軌道に沿った方向に優先的に放出されます。しかし、COMフレームでは、2つの娘粒子は反対方向に放出されますが、その質量と速度の大きさは一般的に同じではありません。^{[ 49 ]}

エネルギーと運動量の保存

相互作用する粒子のニュートン力学的な解析では、フレーム間の変換は簡単である。なぜなら、必要なのはすべての速度にガリレオ変換を適用することだけだからである。${\displaystyle v'=v-u}$⁠ 、勢い${\displaystyle p'=p-mu}$^{相互作用する粒子系の全運動量が、}ある座標系で保存されることが観測された場合、他のどの座標系でも同様に保存されることが観測される。 ^[ 43 ^{]： 241-245}

COM座標系における運動量保存則は、衝突前と衝突後の両方でp  =  0という条件に相当する。ニュートン力学の解析では、質量保存則は⁠を規定する。${\displaystyle m=m_{1}+m_{2}}$⁠。これまで検討してきた単純化された一次元シナリオでは、粒子の運動量を決定する前に必要な制約は、エネルギー条件という1つだけです。運動エネルギーの損失がない完全弾性衝突の一次元の場合、重心系における跳ね返る粒子の速度は、入射速度と正確に等しく、かつ逆向きになります。運動エネルギーが完全に失われる完全非弾性衝突の場合、跳ね返る粒子の速度はゼロになります。 ^{[ 43 ]： 241-245}

ニュートン運動量は次のように計算されます。${\displaystyle p=mv}$⁠、ローレンツ変換の下では適切に動作しない。速度の線形変換⁠${\displaystyle v'=v-u}$⁠ は、非常に非線形な ⁠ に置き換えられます 。${\displaystyle v^{\prime }=(v-u)/(1-{vu}/{c^{2}})}$そのため、ある座標系で運動量保存則を示す計算は、他の座標系では無効となる。アインシュタインは、運動量保存則を放棄するか、運動量の定義を変更するかのどちらかを選択しなければならなかった。彼は後者を選んだ。 ^{[ 41 ]： 104}

図3-12a。荷電パイ中間子の崩壊におけるエネルギー・運動量図。

図3-12b。荷電パイ中間子崩壊のグラフ計算機による解析。

エネルギーと運動量の相対論的保存則は、エネルギー、運動量、質量の3つの古典的な保存則に取って代わる。質量はもはや独立して保存されない。なぜなら、質量は全相対論的エネルギーに包含されるからである。これにより、全エネルギーが何の条件もなく保存されるため、相対論的エネルギー保存則は非相対論的力学よりも単純な概念となる。運動エネルギーが熱または内部位置エネルギーに変換されると、質量の増加として現れる。^{[ 43 ]： 127}

例：質量とエネルギーは等価であるため、素粒子の質量は通常、エネルギー単位で表され、1 MeV = 10⁶^電子 ボルトとなります。荷電パイ中間子は、質量が 139.57 MeV (電子質量の約 273 倍)の粒子です。これは不安定で、質量が 105.66  MeV (電子質量の約 207 倍) のミューオンと、質量がほとんど無視できる反ニュートリノに崩壊します。パイ中間子の質量とミューオンの質量の差は 33.91 MeV です 。

π ⁻→ μ ⁻+ ν_μ

図 3-12aは、パイ中間子の静止系におけるこの崩壊反応のエネルギー・運動量図を示している。ニュートリノは質量が無視できるほど小さいため、光速に非常に近い速度で移動する。光子と同様に、ニュートリノのエネルギーの相対論的表現は次のようになる。${\displaystyle E_{v}=pc,}$これは、その運動量の空間成分の値でもあります。運動量保存則を満たすために、ミューオンはニュートリノの運動量の空間成分と同じ値を持ちますが、方向は逆になります。

この崩壊反応のエネルギーに関する代数的解析はオンラインで入手可能なので^{[ 50 ]} 、図 3-12bでは代わりにグラフ計算機による解を示します。ニュートリノのエネルギーは29.79  MeV、ミューオンのエネルギーは33.91 MeV − 29.79 MeV = 4.12 MeVです。エネルギーの大部分は質量がほぼゼロのニュートリノによって運ばれます。

ポアンカレの慣習主義的な見解では、ユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学のどちらを選択するかの本質的な基準は、経済性と単純さである。実在論者は、アインシュタインが時空が非ユークリッドであることを発見したと言うだろう。慣習主義者は、アインシュタインは単に非ユークリッド幾何学を使う方が都合が良いと考えただけだと言うだろう。慣習主義者は、アインシュタインの分析は時空の幾何学が実際には何であるかについては何も述べていないと主張するだろう。^{[ 54 ]}

そうは言っても、

1. 一般相対性理論を平坦な時空の観点から表現することは可能でしょうか？
2. 一般相対性理論において、平坦な時空解釈が、通常の曲がった時空解釈よりも都合が良い状況は存在するのでしょうか？

最初の質問に対して、Deser、Grishchuk、Rosen、Weinbergなど多くの著者が、平坦多様体における場としての重力の様々な定式化を提示している。これらの理論は、「二重計量重力」、「一般相対性理論への場の理論的アプローチ」などと呼ばれている。^{[ 55 ] [ 56 ] [ 57 ] [ 58 ]} Kip Thorneはこれらの理論について一般向けの解説を提供している。^{[ 59 ] : 397–403}

平坦時空パラダイムは、物質が重力場を生成し、定規を円周方向から放射状に回転させると縮み、時計の進みが遅くなるという現象を引き起こすと仮定している。平坦時空パラダイムは、同じ物理現象を表しているという点で、曲がった時空パラダイムと完全に等価である。しかし、その数学的定式化は全く異なる。物理学者は、問題の要件に応じて、曲がった時空と平坦時空の手法を日常的に使い分けている。平坦時空パラダイムは、弱い場における近似計算を行う際に便利である。したがって、重力波の問題を解く際には平坦時空の手法が用いられる傾向があり、ブラックホールの解析には曲がった時空の手法が用いられる傾向がある。^{[ 59 ]： 397-403}

特殊相対性理論の時空対称群はポアンカレ群であり、これは3つのローレンツブースト、3つの回転、および4つの時空並進からなる10次元群である。一般相対性理論ではどのような対称性が適用されるのかを問うのは論理的である。扱いやすいケースとしては、重力場のすべての発生源から遠く離れた観測者から見た時空の対称性を考えることが挙げられる。漸近的に平坦な時空対称性に対する素朴な期待は、特殊相対性理論の平坦な時空の対称性、すなわちポアンカレ群を単純に拡張して再現することかもしれない。

1962年、ヘルマン・ボンディ、MG・ファン・デル・ブルク、AW・メッツナー^{[ 60 ]}、ライナー・K・ザックス^{[ 61 ]}は、伝播する重力波による無限遠でのエネルギーの流れを調査するために、この漸近対称性の問題に取り組んだ。彼らの最初のステップは、漸近的に平坦であるとはどういうことかを特徴づけるために、光速に近い無限遠における重力場に物理的に妥当な境界条件をいくつか決定することであった。その際、漸近対称群の性質について、そのような群が存在するという仮定さえも、事前の仮定は一切行わなかった。そして、最も妥当と思われる境界条件を設計した後、漸近的に平坦な重力場に適した境界条件の形式を不変に保つ、結果として生じる漸近対称性変換の性質を調査した。^{[ 62 ]： 35}

彼らが発見したのは、漸近対称変換が実際に群を形成し、この群の構造はたまたま存在する特定の重力場に依存しないということだった。これは、予想通り、少なくとも空間的無限遠では、時空の運動学を重力場の力学から分離できることを意味する。1962年の不可解な驚きは、BMS群の部分群である有限次元のポアンカレ群ではなく、漸近対称群として豊かな無限次元群（いわゆるBMS群）を発見したことだった。ローレンツ変換が漸近対称変換であるだけでなく、ローレンツ変換ではないが漸近対称変換である追加の変換も存在する。実際、彼らは超並進として知られる変換生成子の無限の追加を発見した。これは、長距離の弱い場の場合、一般相対性理論（GR）が特殊相対性理論に還元されないという結論を意味する。 ^{[ 62 ]： 35}

物理的な理由から、時空連続体は数学的には4次元の滑らかで連結したローレンツ多様体として定義される。${\displaystyle (M,g)}$これは滑らかなローレンツ計量を意味します${\displaystyle g}$署名がある${\displaystyle (3,1)}$指標は、時空の幾何学、および粒子や光線の測地線座標チャートを使用して基準フレーム内の観測者を表す。通常、デカルト座標${\displaystyle (x,y,z,t)}$が使用される。さらに、簡略化のために、測定単位は通常、光速が${\displaystyle c}$1に等しい。^{[ 64 ]}

基準座標系（観測者）はこれらの座標図のいずれかと関連付けることができ、そのような観測者はあらゆる事象を記述することができる。${\displaystyle p}$別の参照フレームは、2番目の座標図によって識別されることがあります。${\displaystyle p}$2人の観測者（それぞれの参照系に1人ずつ）が同じ出来事を記述する可能性がある。${\displaystyle p}$しかし、異なる記述が得られる。^{[ 64 ]}

通常、多様体を覆うには、多くの重なり合う座標チャートが必要です。2 つの座標チャートが与えられ、そのうちの 1 つは 多様体を含んでいます。${\displaystyle p}$（観察者を表す）と、${\displaystyle q}$（別の観測者を表す）座標図の交点は、両方の観測者が物理量を測定し、結果を比較できる時空領域を表す。2つの測定値セット間の関係は、この交点上の非特異座標変換によって与えられる。座標図​​を、その近傍で測定を実行できる局所的な観測者とみなす考え方は、物理的にも理にかなっている。なぜなら、実際に物理データを収集する方法は、局所的に収集することだからである。^{[ 64 ]}

例えば、2人の観測者のうち1人は地球上にいて、もう1人は木星へ向かう高速ロケットに乗っているとすると、彗星が木星に衝突する様子を観測できるかもしれない（これは、${\displaystyle p}$一般的に、彼らはこの衝突の正確な場所とタイミングについて意見が一致しないだろう。つまり、彼らは異なる4つ組を持つだろう。${\displaystyle (x,y,z,t)}$（異なる座標系を使用しているため）。運動学的記述は異なるものの、運動量保存則や熱力学第一法則といった力学的（物理的）法則は依然として成り立つ。実際、相対性理論は、これらの（そして他のすべての物理的）法則がすべての座標系で同じ形式をとらなければならないと規定している点で、これ以上のことを要求している。これにより、すべての物理量が表現されるテンソルが相対性理論に導入される。

測地線は、その測地線上の1点への接ベクトルが時間的、ヌル的、または空間的である場合に、時間的、ヌル的、または空間的であると言われます。時空における粒子と光線の経路は、それぞれ時間的測地線とヌル（光的）測地線で表されます。^{[ 64 ]}