ローレンツ変換

物理学において、ローレンツ変換は、時空内の座標系から、それに対して一定の速度で移動する別の座標系への 6 つのパラメータからなる線形 変換群です。それぞれの逆変換は、この速度の負の値によってパラメータ化されます。この変換は、オランダの物理学者ヘンドリック・ローレンツにちなんで名付けられています。

変換の最も一般的な形式は、x方向に制限された速度を表す実定数によってパラメータ化され、次のように表現されます^{[1] [2]。} ここで、 ( t、x、y、z )および( t ′、x ′、y ′、z ′)は、空間原点がt = t ′ =0で一致する 2 つのフレームにおけるイベントの座標です。プライム付きフレームは、プライムなしフレームからx軸に沿って速度vで移動しているように見えます。ここで、 cは光速、 はローレンツ因子です。速度vがcよりもはるかに小さい場合、ローレンツ因子は 1 とほとんど変わりませんが、v がc に近づくにつれて、無限に大きくなります。変換が意味をなすためには、 vの値がcよりも小さくなければなりません。${\displaystyle v,}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\\x'&=\gamma \left(x-vt\right)\\y'&=y\\z'&=z\end{aligned}}}$$${\textstyle \gamma =\left({\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\right)^{-1}}$${\displaystyle \gamma}$

速度を変換の等価形式で表すと^[3]${\textstyle \beta ={\frac {v}{c}},}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}ct'&=\gamma \left(ct-\beta x\right)\\x'&=\gamma \left(x-\beta ct\right)\\y'&=y\\z'&=z.\end{aligned}}}$$

参照フレームは、慣性フレーム（一定速度の相対運動）と非慣性フレーム（加速、曲線経路での移動、一定角速度の回転運動など）の 2 つのグループに分けられます。「ローレンツ変換」という用語は、通常、特殊相対性理論の文脈で、 慣性フレーム間の変換のみを指します。

各参照フレームでは、観測者は長さを測定するためにローカル座標系（この文脈では通常直交座標）を使用し、時間間隔を測定するために時計を使用することができます。イベントとは、ある瞬間に空間の一点、より正式には時空の一点で発生するものです。変換は、各フレームで観測者が測定したイベントの空間座標と時間座標を接続します。 ^{[nb 1]}

これらは、絶対的な空間と時間を仮定するニュートン物理学のガリレイ変換に取って代わるものです(ガリレイの相対性を参照)。ガリレイ変換は、光速よりはるかに遅い相対速度でのみ適切な近似となります。ローレンツ変換には、ガリレイ変換には現れない、直感に反する特徴がいくつかあります。たとえば、ローレンツ変換は、異なる速度で移動する観測者は異なる距離、経過時間、さらには異なるイベントの順序を測定する可能性がありますが、光の速度は常にすべての慣性基準系で同じであるという事実を反映しています。光速度の不変性は、特殊相対性理論の公理の 1 つです。

歴史的に見ると、この変換は、光の速度が基準フレームから独立していることを説明し、電磁気学の法則の対称性を理解しようとするローレンツらの試みの結果であった。この変換は後に特殊相対性理論の基礎となった。

ローレンツ変換は線形変換です。空間の回転が含まれることもあります。回転のないローレンツ変換はローレンツブーストと呼ばれます。ミンコフスキー空間(特殊相対性理論における時空の数学モデル) では、ローレンツ変換によって任意の 2 つのイベント間の時空間隔が保存されます。この特性は、ローレンツ変換を定義する特性です。ローレンツ変換は、原点の時空イベントが固定されたままの変換のみを記述します。ローレンツ変換は、ミンコフスキー空間の双曲回転と考えることができます。平行移動も含む、より一般的な変換のセットは、ポアンカレ群として知られています。

1887年以来、ウォルデマール・フォークト、ジョージ・フィッツジェラルド、ジョセフ・ラーモア、そしてヘンドリック・ローレンツ^[4]自身を含む多くの物理学者が、これらの方程式が意味する物理学について議論してきました^。[5] 1889年の初めに、オリバー・ヘビサイドはマクスウェル方程式から、電荷が光を伝えるエーテルに対して運動すると、球状の電荷分布を取り囲む電場は球対称性を失うはずであることを示しました。その後、フィッツジェラルドは、ヘビサイドの歪みの結果が分子間力の理論に適用できるのではないかと推測しました。数か月後、フィッツジェラルドは、1887年のマイケルソンとモーリーのエーテル風実験の不可解な結果を説明するために、運動している物体は収縮しているという推測を発表しました。 1892年、ローレンツは独立して同じ考えをより詳細に提示し、後にフィッツジェラルド・ローレンツ収縮仮説と呼ばれるようになった。^[6]彼らの説明は1905年以前には広く知られていた。^[7]

光伝導エーテル仮説を信じていたローレンツ (1892–1904) とラーモア (1897–1900) も、エーテルから運動フレームに変換されたときにマクスウェル方程式が不変となる変換を探した。彼らはフィッツジェラルド-ローレンツ収縮仮説を拡張し、時間座標も変更する必要があることを発見した (「局所時間」)。アンリ・ポアンカレは、光速度が運動フレームでは一定であるという仮定の下、時計同期の結果として局所時間 ( v / c、光速度に正規化された 2 つの基準フレームの相対速度の 1 次) に物理的な解釈を与えた。 ^{[8]ラーモアは、彼の方程式に内在する重要な}時間の遅れの特性を最初に理解した人物とされている。^[9]

1905年、ポアンカレは、この変換が数学的群の性質を持つことを初めて認識し、ローレンツにちなんでこの変換をローレンツと名付けました。^[10] 同年後半、アルベルト・アインシュタインは、相対性原理と慣性系における光速度の不変性を仮定してローレンツ変換を導き、機械論的エーテルを不要として放棄することで、現在では特殊相対性理論と呼ばれている理論を​​発表しました。[ ^11]

イベントとは、時空のある地点、またはより一般的には時空自体の地点で発生するものです。どの慣性系でも、イベントは時間座標ctと、その系における空間の位置を指定する直交座標 x、y、zのセットによって指定されます。下付き文字は個々のイベントにラベルを付けます。

アインシュタインの相対性理論の第二公準（cの不変性）から次のようになります。

光信号で結ばれたイベントのすべての慣性系において、左側の量はイベント間の時空間隔a ₁ = ( t ₁、x ₁、y ₁、z ₁ )およびa ₂ = ( t ₂、x ₂、y ₂、z ₂ )と呼ばれます。光信号で区切られる必要のない2 つのイベント間の間隔は、実際には不変です。つまり、空間の均質性と等方性を使用して示されるように、異なる慣性系での観測者の相対運動の状態とは無関係です。したがって、求められる変換は次の特性を持っている必要があります。

ここで、( t、x、y、z )は 1 つのフレームでイベントを定義するために使用される時空座標であり、( t ′、x ′、y ′、z ′)は別のフレームの座標です。まず、任意の4組の数値bがイベントa ₁およびa ₂に追加されると、( D2 ) が満たされることがわかります。このような変換は時空変換と呼ばれ、ここではこれ以上扱いません。次に、より単純な問題の原点を保存する線形解が、一般的な問題も解決することがわかります。

（最初の式を満たす解は自動的に2番目の式も満たします。分極恒等式を参照してください）。より単純な問題の解を見つけることは、さまざまなシグネチャの双線型形式を保存する古典群の理論を調べるだけです。^{[注 2]}（D3）の最初の方程式は、次のようにより簡潔に書くことができます。

ここで、(·, ·)は、( D3 )の右辺の式によって表されるR ⁴上の署名 (1, 3)の双線型形式を指します。右側で定義されている別の表記は、相対論的ドット積と呼ばれます。この双線型形式を備えたR ⁴として数学的に見た時空は、ミンコフスキー空間Mとして知られています。したがって、ローレンツ変換は、グループO(1, 3)、ローレンツグループ、または他のメトリック署名を好む人のために、O(3, 1) (ローレンツグループとも呼ばれます) の要素です。^{[nb 3]}次の式があります。

これはまさに双線型形式 ( D3 ) の保存であり、 Λの線型性と形式の双線型性により、( D2 ) が満たされることを意味します。ローレンツ群の要素は、回転とブーストとそれらの混合です。時空変換を含めると、非同次ローレンツ群またはポアンカレ群が得られます。

プライム付きの時空座標とプライムなしの時空座標の関係はローレンツ変換であり、一方のフレームの各座標は他方のフレームのすべての座標の線形関数であり、逆関数は逆変換です。フレームが互いにどのように移動するか、およびフレームが空間内で互いにどのように方向付けられるかに応じて、方向、速度、および方向を記述する他のパラメータが変換方程式に入ります。

一定（一様）速度で空間座標軸を回転させずに相対運動を記述する変換は、ローレンツブーストまたは単にブーストと呼ばれ、フレーム間の相対速度が変換のパラメータです。ローレンツ変換のもう 1 つの基本的なタイプは、空間座標のみの回転です。ブーストと同様に、相対運動がなく、フレームが単に傾いている（連続的に回転しているわけではない）ため、これらは慣性変換です。この場合、回転を定義する量は変換のパラメータです（たとえば、軸と角度の表現、またはオイラー角など）。回転とブーストの組み合わせは同次変換であり、原点を原点に戻します。

完全なローレンツ群O(3, 1)には、回転でもブーストでもない、原点を通る平面での反射である特殊な変換も含まれています。これらのうち 2 つを特に取り上げます。空間反転ではすべてのイベントの空間座標の符号が反転され、時間反転では各イベントの時間座標の符号が反転されます。

ブーストは、単なる時空の変位と混同されるべきではありません。この場合、座標系が単にシフトされるだけで、相対的な動きはありません。ただし、これらは時空間隔を不変にするため、特殊相対性理論によって強制される対称性としてもカウントされます。回転とブーストの組み合わせに続いて時空のシフトが起こったものは、非同次ローレンツ変換であり、ポアンカレ群の要素であり、非同次ローレンツ群とも呼ばれます。

フレームF内の「静止」観測者は、座標t、x、y、zでイベントを定義します。別のフレームF ′ はFに対して速度vで移動し、この「移動」フレームF ′内の観測者は、座標t ′、x ′、y ′、z ′ を使用してイベントを定義します。

各フレームの座標軸は平行（x軸とx ′軸は平行、y軸とy ′軸は平行、z軸とz ′軸は平行）で、相互に垂直のままであり、相対運動は一致するxx′軸に沿って行われます。t = t ′ = 0では、両方の座標系の原点は同じで、（x, y, z） =（x ′, y ′, z ′） =（0, 0, 0）です。 つまり、このイベントでは時間と位置が一致しています。 これらすべてが当てはまる場合、座標系は標準構成にある、または同期されていると言われます。

Fの観測者がイベントt、x、y、zを記録する場合、 F ′の観測者は同じイベントを座標^[13]で記録します。

ここで、vはx方向のフレーム間の相対速度、cは光速、 (小文字のgamma ) はローレンツ因子です。 $${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$$

ここで、v は変換のパラメータであり、与えられたブーストに対して定数ですが、連続した値の範囲を取ることができます。ここで使用されている設定では、正の相対速度v > 0はxx ′軸の正の方向に沿った動きであり、ゼロの相対速度v = 0は相対運動なし、負の相対速度v < 0はxx ′軸の負の方向に沿った相対運動です。相対速度vの大きさはc に等しいかそれを超えることはできないため、光速未満の速度− c < v < cのみが許可されます。対応するγの範囲は1 ≤ γ < ∞です。

vがこれらの制限外にある場合、変換は定義されません。光速 ( v = c )ではγ は無限大であり、光より速い場合( v > c ) γ は複素数であり、それぞれが変換を非物理的にします。空間座標と時間座標は測定可能な量であり、数値的には実数でなければなりません。

能動的な変換として、F′ の観測者は、変換の− vにより、イベントの座標がxx ′軸の負の方向に「ブースト」されることに気付きます。これは、座標系F′ がxx ′軸の正の方向にブーストされるのと同等の効果を持ちますが、イベントは変化せず、単に別の座標系、つまり受動的な変換で表されます。

逆の関係 ( t、x、y、z をt ′、x ′、y ′、z ′に関して) は、元の方程式のセットを代数的に解くことによって見つけることができます。より効率的な方法は、物理原理を使用することです。ここで、F ′ は「静止」フレームであり、Fは「移動」フレームです。相対性原理によれば、優先参照フレームは存在しないため、F ′からFへの変換は、 FからF ′への変換とまったく同じ形式を取らなければなりません。唯一の違いは、F がF ′に対して速度- vで移動することです(つまり、相対速度は同じ大きさですが、方向が反対です)。したがって、F ′の観測者がイベントt ′、x ′、y ′、z ′に気付いた場合、 Fの観測者は同じイベントを座標で 気付きます。

γの値は変化しない。相対速度の大きさはそのままに、相対速度の方向を反転させ、プライム付き変数とプライムなし変数を交換するというこの「トリック」は、あらゆる方向へのブーストの逆変換を見つけるのに常に適用される。^{[14] [15]}

場合によっては、 vの代わりにβ = v / c (小文字のベータ)を使用する方が便利なことがあります。これにより、 変換の対称性がはるかに明確になります。vの許容範囲とβの定義から、 −1 < β < 1が成り立ちます。 βとγの使用は、文献全体で標準的です。 $${\displaystyle {\begin{aligned}ct'&=\gamma \left(ct-\beta x\right)\,,\\x'&=\gamma \left(x-\beta ct\right)\,,\\\end{aligned}}}$$

ブースト速度がブーストベクトルを持つ任意のベクトル方向にあるとき、プライムなし時空座標系からプライムあり座標系への変換は^[16]、[1] で与えられる。${\displaystyle {\boldsymbol {v}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}={\boldsymbol {v}}/c}$

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}ct'{\vphantom {-\gamma \beta _{x}}}\\x'{\vphantom {1+{\frac {\gamma ^{2}}{1+\gamma }}\beta _{x}^{2}}}\\y'{\vphantom {{\frac {\gamma ^{2}}{1+\gamma }}\beta _{x}\beta _{y}}}\\z'{\vphantom {{\frac {\gamma ^{2}}{1+\gamma }}\beta _{y}\beta _{z}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &-\gamma \beta _{x}&-\gamma \beta _{y}&-\gamma \beta _{z}\\-\gamma \beta _{x}&1+{\frac {\gamma ^{2}}{1+\gamma }}\beta _{x}^{2}&{\frac {\gamma ^{2}}{1+\gamma }}\beta _{x}\beta _{y}&{\frac {\gamma ^{2}}{1+\gamma }}\beta _{x}\beta _{z}\\-\gamma \beta _{y}&{\frac {\gamma ^{2}}{1+\gamma }}\beta _{x}\beta _{y}&1+{\frac {\gamma ^{2}}{1+\gamma }}\beta _{y}^{2}&{\frac {\gamma ^{2}}{1+\gamma }}\beta _{y}\beta _{z}\\-\gamma \beta _{z}&{\frac {\gamma ^{2}}{1+\gamma }}\beta _{x}\beta _{z}&{\frac {\gamma ^{2}}{1+\gamma }}\beta _{y}\beta _{z}&1+{\frac {\gamma ^{2}}{1+\gamma }}\beta _{z}^{2}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}ct{\vphantom {-\gamma \beta _{x}}}\\x{\vphantom {1+{\frac {\gamma ^{2}}{1+\gamma }}\beta _{x}^{2}}}\\y{\vphantom {{\frac {\gamma ^{2}}{1+\gamma }}\beta _{x}\beta _{y}}}\\z{\vphantom {{\frac {\gamma ^{2}}{1+\gamma }}\beta _{y}\beta _{z}}}\end{bmatrix}},}$$

ここで、ローレンツ因子は です。変換行列の行列式は +1 で、そのトレースは です。変換の逆は の符号を反転することで得られます。この量は変換に対して不変です。 ${\displaystyle \gamma =1/{\sqrt {1-{\boldsymbol {\beta }}^{2}}}}$${\displaystyle 2(1+\gamma )}$${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$${\displaystyle c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}$

ローレンツ変換は、双曲関数を使用して3次元空間での円回転に似た方法でも導出できます。x方向のブーストの場合、結果は次のようになります。

ここで、ζ (小文字のゼータ) はラピディティと呼ばれるパラメータです( θ、ϕ、φ、η、ψ、ξなど、他の多くの記号も使用されます)。3 次元空間の直交 xy、yz、zx 平面における空間座標の回転に非常に似ていることから、ローレンツ ブーストは、 4 次元ミンコフスキー空間の xt、yt、zt 直交時間平面における時空座標の双曲回転と考えることができます。パラメータζ は双曲回転角であり、円回転の通常の角度に類似しています。この変換は、ミンコフスキー図で表すことができます。

双曲関数は、時空間区間における時間と空間座標の二乗の差から生じるものであり、和から生じるものではない。双曲関数の幾何学的意味は、変換においてx = 0またはct = 0を取ることで視覚化できる。結果を二乗して減算すると、座標値は一定だがζが変化する双曲曲線が得られる。これは、恒等式に従って曲線をパラメータ化する。 $${\displaystyle \cosh ^{2}\zeta -\sinh ^{2}\zeta =1\,.}$$

逆に、ct軸とx軸は、 ζが一定で座標が変化するように構成することができます。定義は、 ラピディティの定数と、時空におけるct軸の傾きとの間の関係を提供します。結果として、これら2つの双曲式は、ローレンツ因子と一致する恒等式です。 $${\displaystyle \tanh \zeta ={\frac {\sinh \zeta }{\cosh \zeta }}\,,}$$$${\displaystyle \cosh \zeta ={\frac {1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}\zeta }}}\,.}$$

相対速度とラピディティの観点からローレンツ変換を比較すると、または上記の式を使用すると、β、γ、ζの関係は次のようになります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\beta &=\tanh \zeta \,,\\\gamma &=\cosh \zeta \,,\\\beta \gamma &=\sinh \zeta \,.\end{aligned}}}$$

逆双曲正接をとると、ラピディティは$${\displaystyle \zeta =\tanh ^{-1}\beta \,.}$$

−1 < β < 1なので、 −∞ < ζ < ∞となります。 ζとβの関係から、正のラピディティζ > 0はxx ′軸の正の方向に沿った運動であり、ゼロのラピディティζ = 0は相対運動なし、負のラピディティζ < 0はxx ′軸の負の方向に沿った相対運動です。

逆変換は、座標系を切り替えるためにプライム付きとプライムなしの量を交換して、ラピディティζを否定して（→ − ζ） 、相対速度を否定することと等価になるため、得られる。したがって、

逆変換は、 x ′ = 0およびct ′ = 0の場合を考慮することによって同様に視覚化できます。

これまで、ローレンツ変換は1 つのイベントに適用されてきました。イベントが 2 つある場合、それらのイベントの間には空間的な分離と時間間隔があります。ローレンツ変換の線形性から、空間座標と時間座標の 2 つの値を選択し、それぞれにローレンツ変換を適用して減算すると、差のローレンツ変換が得られます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta t'&=\gamma \left(\Delta t-{\frac {v\,\Delta x}{c^{2}}}\right)\,,\\\Delta x'&=\gamma \left(\Delta x-v\,\Delta t\right)\,,\end{aligned}}}$$ 逆の関係 $${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta t&=\gamma \left(\Delta t'+{\frac {v\,\Delta x'}{c^{2}}}\right)\,,\\\Delta x&=\gamma \left(\Delta x'+v\,\Delta t'\right)\,.\end{aligned}}}$$

ここで、Δ（大文字のデルタ）は量の差を示します。たとえば、x座標の2つの値の場合はΔ x = x ₂ − x ₁などです。

空間的な点や瞬間ではなく 差異に基づくこれらの変換は、いくつかの理由で有用です。

• 計算や実験では、測定されたり関心の対象となる2点間の長さや時間間隔（例えば、移動中の車両の長さや、ある場所から別の場所まで移動するのにかかる時間）
• 速度の変換は、差を無限小にして方程式を割ることで簡単に導き出すことができ、このプロセスを加速度の変換についても繰り返すことができる。
• 座標系が決して一致しない場合（つまり、標準構成ではない場合）、および両方の観測者がFのイベントt ₀、x ₀、y ₀、z ₀とF ′のイベントt ₀ ′、x ₀ ′、y ₀ ′、z ₀ ′に同意できる場合、そのイベントを原点として使用でき、時空座標の差は、それぞれの座標とこの原点の差になります（たとえば、Δ x = x − x ₀、Δ x ′ = x ′ − x ₀ ′など）。

ローレンツ変換の重要な要件は光速度の不変性であり、この事実は変換の導出に使用され、変換自体にも含まれています。Fにおいてx方向の光パルスの式がx = ctである場合、 F ′ではローレンツ変換によりx ′ = ct ′が得られ、任意の− c < v < cに対してその逆も成り立ちます。

光速よりはるかに遅い相対速度の場合、ローレンツ変換は対応原理 に従ってガリレイ変換 に還元されます。非相対論的物理学は「遠隔での瞬間的な作用」の物理学であると言われることがあります。^[17]$${\displaystyle {\begin{aligned}t'&\approx t\\x'&\approx x-vt\end{aligned}}}$$

直感に反するが正しい変換の予測は次の 3 つです。

同時性の相対性

Fにおいて、 x 軸に沿って 2 つのイベントが同時に ( Δ t = 0 )発生するが、それらのイベントが非ゼロの変位Δ xによって分離されているとします。すると、 F ′では となり、移動する観測者から見ると、イベントはもはや同時ではないことがわかります。${\displaystyle \Delta t'=\gamma {\frac {-v\,\Delta x}{c^{2}}}}$

時間の遅れ

F内に静止した時計があるとします。そのフレーム内の同じ点で時間間隔が測定され、Δ x = 0となる場合、変換によりF ′内のこの間隔はΔ t ′ = γ Δ tとなります。逆に、 F ′内に静止した時計があるとします。そのフレーム内の同じ点で時間間隔が測定され、Δ x ′ = 0となる場合、変換により F 内のこの間隔はΔ t = γ Δ t ′となります。いずれにしても、各観測者は、動いている時計の刻み間の時間間隔を、自分の時計の刻み間の時間間隔よりも係数γだけ長く測定します。

長さの収縮

F内に、 x 軸に沿って一直線に並び、長さΔ x の棒が静止しているとします。F ′では、棒は速度- vで動くため、その長さは、反対側の端で同時に ( Δ t ′ = 0 ) 測定することによって測定する必要があります。これらの条件下では、逆ローレンツ変換によりΔ x = γ Δ x ′となります。Fでは、 2 つの測定は同時ではありませんが、棒はF内で静止しているので、これは問題になりません。そのため、各観測者は、動いている棒の端点間の距離を、自身のフレーム内で静止している同一の棒の端点間の距離よりも係数1/ γだけ短く測定します。長さの収縮は、長さに関連するあらゆる幾何学的量に影響するため、動いている観測者から見ると、面積と体積も運動の方向に沿って縮小して見えることになります。

ベクトルを使用すると、位置と速度を任意の方向に簡潔に表現できます。任意の方向への単一のブーストは、大きさ| v | = vがcに等しいかそれを超えることができない、つまり0 ≤ v < cである完全な相対速度ベクトル vに依存します。

相対運動の方向に平行な座標と時間だけが変化し、垂直な座標は変化しません。これを念頭に置いて、Fで測定された空間位置ベクトル rとF′で測定されたr ′ を、それぞれvに垂直な (⊥) 成分と平行な ( ‖ ) 成分に分割すると、 変換は次のようになります 。 ここで、·はドット積です。ローレンツ因子γ は、相対速度の大きさのみに依存するため、どの方向へのブーストに対しても定義が保持されます。大きさが0 ≤ β < 1である定義β = v / cも、一部の著者によって使用されています。 $${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{\perp }+\mathbf {r} _{\|}\,,\quad \mathbf {r} '=\mathbf {r} _{\perp }'+\mathbf {r} _{\|}'\,,}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-{\frac {\mathbf {r} _{\parallel }\cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}\right)\\\mathbf {r} _{\|}'&=\gamma (\mathbf {r} _{\|}-\mathbf {v} t)\\\mathbf {r} _{\perp }'&=\mathbf {r} _{\perp }\end{aligned}}}$$

相対運動の方向に単位ベクトル n = v / v = β / βを導入すると、相対速度は大きさv、方向nのv = v nとなり、ベクトルの射影と除去はそれぞれ次のようになる。 $${\displaystyle \mathbf {r} _{\parallel }=(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \,,\quad \mathbf {r} _{\perp }=\mathbf {r} -(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} }$$

結果を蓄積すると完全な変換が得られる。

投影と除去はr ′にも適用されます。逆変換では、rとr ′ を交換して観測座標を入れ替え、相対速度v → − v （または、大きさvは常に正なので、単位ベクトルn → − n）を反転して、

単位ベクトルには、単一のブーストに対する方程式を簡素化できるという利点があり、都合のよいときにvまたはβ のいずれかを復元でき、βとβγ を置き換えることでラピディティパラメータ化がすぐに得られます。複数のブーストには不便です。

相対速度とラピディティの間のベクトル関係は^[18] であり 、「ラピディティベクトル」は次のように定義できます 。それぞれは、いくつかの文脈で便利な略語として機能します。ζの大きさは、0 ≤ ζ < ∞に制限されたラピディティスカラーの絶対値であり、 0 ≤ β < 1の範囲に一致します。 $${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}=\beta \mathbf {n} =\mathbf {n} \tanh \zeta \,,}$$$${\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}=\zeta \mathbf {n} =\mathbf {n} \tanh ^{-1}\beta \,,}$$

座標速度とローレンツ因子を次のように定義する。

${\displaystyle \mathbf {u} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\,,\quad \mathbf {u} '={\frac {d\mathbf {r} '}{dt'}}\,,\quad \gamma _{\mathbf {v} }={\frac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}}}$

ベクトル変換の座標と時間の微分を取り、方程式を割ると、

${\displaystyle \mathbf {u} '={\frac {1}{1-{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}}}\left[{\frac {\mathbf {u} }{\gamma _{\mathbf {v} }}}-\mathbf {v} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {v} }}{\gamma _{\mathbf {v} }+1}}\left(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} \right)\mathbf {v} \right]}$

速度uとu ′ は、ある質量の大きい物体の速度です。これらは、第 3 の慣性系 (たとえばF '') の速度でもあり、その場合は定数でなければなりません。どちらかのエンティティを X で表します。すると、 X は F に対して速度uで移動します。または、それと同等に、 F′ に対して速度u ′で移動し、 F′ は F に対して速度vで移動します。逆変換も同様の方法で取得できます。または、位置座標と同様に、uとu ′ を交換し、 vを− vに変更します。

速度の変換は恒星の光行差、フィゾーの実験、相対論的ドップラー効果に役立ちます。

加速度のローレンツ変換は、速度ベクトルの微分をとり、それを時間微分で割ることによって同様に得ることができます。

一般に、4 つの量AとZ = ( Z _x、Z _y、Z _z )とそれらのローレンツ変換された対応物A ′とZ ′ = ( Z ′ _x、Z ′ _y、Z ′ _z )が与えられた場合、形式の関係は、 量が時空座標の変換と同様にローレンツ変換によって変換されることを意味します。 $${\displaystyle A^{2}-\mathbf {Z} \cdot \mathbf {Z} ={A'}^{2}-\mathbf {Z} '\cdot \mathbf {Z} '}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}A'&=\gamma \left(A-{\frac {v\mathbf {n} \cdot \mathbf {Z} }{c}}\right)\,,\\\mathbf {Z} '&=\mathbf {Z} +(\gamma -1)(\mathbf {Z} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -{\frac {\gamma Av\mathbf {n} }{c}}\,.\end{aligned}}}$$

Z (およびZ ′ ) をvに垂直な成分と平行な成分に分解する処理は位置ベクトルの場合とまったく同じであり、逆変換を取得する処理も同様です (観測量を入れ替えるために( A , Z )と( A ′, Z ′)を交換し、 n ↦ − nを代入して相対運動の方向を反転します)。

量( A、Z )は全体で4 つのベクトルを構成します。ここで、Aは「時間的要素」、Z は「空間的要素」です。AとZの例を次に示します。

与えられた物体（粒子、流体、場、物質など）について、AまたはZ が、その物体の電荷密度、質量密度、スピンなどの物体固有の特性に対応する場合、その特性はその物体の静止系で固定できます。次に、ローレンツ変換により、物体に対して一定速度で移動する系における対応する特性が得られます。これにより、非相対論的物理学で当然と考えられている概念が一部覆されます。たとえば、物体のエネルギーE は、非相対論的力学ではスカラーですが、相対論的力学ではスカラーではありません。これは、エネルギーがローレンツ変換によって変化するためです。その値は、さまざまな慣性系によって異なります。物体の静止系では、静止エネルギーとゼロの運動量を持ちます。ブーストされた系では、そのエネルギーは異なり、運動量を持つように見えます。同様に、非相対論的量子力学では、粒子のスピンは定数ベクトルですが、相対論的量子力学では、スピンsは相対運動に依存します。粒子の静止系では、スピン擬ベクトルは、ゼロの時間的量s _tを持つ通常の非相対論的スピンに固定できますが、ブーストされた観測者は、ゼロではない時間的成分と変化したスピンを知覚します。^[19]

すべての量が上記のような形で不変というわけではありません。たとえば、軌道角運動量 L は時間的量を持たず、電場 Eや磁場 Bも同様です。角運動量の定義はL = r × pであり、ブーストされたフレームでは、変更された角運動量はL ′ = r ′ × p ′です。座標と運動量の変換を使用してこの定義を適用すると、角運動量の変換が導かれます。Lはブーストに関連する別のベクトル量N = ( E / c ² ) r − t pで変換されることがわかります。詳細については、相対論的角運動量を参照してください。EフィールドとBフィールドの場合、ベクトル代数を使用して直接変換を取得することはできません。ローレンツ力はこれらのフィールドの定義であり、FではF = q ( E + v × B )ですが、 F ′ではF ′ = q ( E ′ + v ′ × B ′)です。電磁場の単位も示す効率的な方法で EM フィールド変換を導出する方法は、以下に示すテンソル代数を使用します。

全体を通して、イタリック体で太字でない大文字は 4×4 マトリックスであり、イタリック体でない太字は 3×3 マトリックスです。

座標を列ベクトルで書き、ミンコフスキー計量 η を正方行列として書き表すと、 時空間隔は（上付き文字Tは転置を表す） の形を取り 、ローレンツ変換に対して 不変になります。 ここで、Λはパラメータに依存する正方行列です。 $${\displaystyle X'={\begin{bmatrix}c\,t'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}\,,\quad \eta ={\begin{bmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\,,\quad X={\begin{bmatrix}c\,t\\x\\y\\z\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle X\cdot X=X^{\mathrm {T} }\eta X={X'}^{\mathrm {T} }\eta {X'}}$$$${\displaystyle X'=\Lambda X}$$

この記事のすべてのローレンツ変換の集合はと表記されます。この集合は行列の乗算とともに群を形成し、この文脈ではローレンツ群として知られています。また、上記の式X · Xは時空上の符号 (3,1) の二次形式であり、この二次形式を不変にする変換群は不定直交群O(3,1)、つまりリー群です。言い換えると、ローレンツ群は O(3,1) です。この記事で示されているように、言及されているリー群はすべて行列リー群です。この文脈では、合成の演算は行列の乗算に相当します。 ${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

時空区間の不変性から次の式が導かれ 、この行列方程式は時空区間の不変性を保証するためのローレンツ変換の一般条件を含んでいる。積の法則^[注4]を用いて方程式の 行列式をとると、次の式が直ちに得られる。 $${\displaystyle \eta =\Lambda ^{\mathrm {T} }\eta \Lambda }$$$${\displaystyle \left[\det(\Lambda )\right]^{2}=1\quad \Rightarrow \quad \det(\Lambda )=\pm 1}$$

ミンコフスキー計量をブロック行列として書き、ローレンツ変換を最も一般的な形で書き、 ブロック行列の乗算を実行すると、相対論的不変性を保証するためのΓ、a、b、Mに関する一般的な条件が得られます。すべての条件から直接抽出できる情報は多くありませんが、結果の1つは 有用です。b T ^b ≥ 0が常になので、次のようになります。 $${\displaystyle \eta ={\begin{bmatrix}-1&0\\0&\mathbf {I} \end{bmatrix}}\,,\quad \Lambda ={\begin{bmatrix}\Gamma &-\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\\-\mathbf {b} &\mathbf {M} \end{bmatrix}}\,,}$$$${\displaystyle \Gamma ^{2}=1+\mathbf {b} ^{\mathrm {T} }\mathbf {b} }$$$${\displaystyle \Gamma ^{2}\geq 1\quad \Rightarrow \quad \Gamma \leq -1\,,\quad \Gamma \geq 1}$$

Γ は時間座標を乗算し、これが時間対称性に影響を与えるため、負の不等式は予想外である可能性があります。正の等式が成り立つ場合、Γはローレンツ因子です。

行列式と不等式は、ローレンツ変換 (ここでは簡潔に LT と表記) を分類する 4 つの方法を提供します。特定のLTには、行列式記号と不等式が 1 つだけあります。これらの分類セットの交差(「n」字型の記号は「and」を意味します)によって与えられるすべての可能なペアを含む 4 つのセットがあります。

ここで、「+」と「−」は行列式の符号を示し、「↑」は≥、「↓」は≤で不等式を表します。

完全なローレンツ群は、 4つの互いに素な集合の和集合（「または」を意味する「u」字型の記号）に分割される。 $${\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{+}^{\uparrow }\cup {\mathcal {L}}_{-}^{\uparrow }\cup {\mathcal {L}}_{+}^{\downarrow }\cup {\mathcal {L}}_{-}^{\downarrow }}$$

群の部分群は、群の同じ演算（ここでは行列の乗算）に対して閉じていなければなりません。言い換えれば、特定の部分群からの 2 つのローレンツ変換ΛとLに対して、合成ローレンツ変換Λ LとL Λ は、ΛとLと同じ部分群になければなりません。これは常に当てはまるわけではありません。2 つの反時ローレンツ変換の合成は正時であり、2 つの不適切ローレンツ変換の合成は適切です。言い換えれば、集合、、、 はすべて部分群を形成しますが、十分な適切な正時変換を持たない不適切および/または反時変換を含む集合（例、、）は部分群を形成しません。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{+}^{\uparrow }}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{+}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\uparrow }}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{0}={\mathcal {L}}_{+}^{\uparrow }\cup {\mathcal {L}}_{-}^{\downarrow }}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{+}^{\downarrow }}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{-}^{\downarrow }}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{-}^{\uparrow }}$

ある慣性系でローレンツ共変4ベクトルを測定して という結果になり、別の慣性系（同じ方向と原点）で同じ測定を行って という結果になった場合、この2つの結果は という関係になります。 ここで、ブースト行列はプライムなしフレームとプライムありフレーム間の回転のないローレンツ変換を表し、 はプライムなしフレームから見たプライムありフレームの速度です。この行列は^{[20]で与えられます。}${\displaystyle X}$${\displaystyle X'}$$${\displaystyle X'=B(\mathbf {v} )X}$$${\displaystyle B(\mathbf {v} )}$${\displaystyle \mathbf {v} }$ $${\displaystyle B(\mathbf {v} )={\begin{bmatrix}\gamma &-\gamma v_{x}/c&-\gamma v_{y}/c&-\gamma v_{z}/c\\-\gamma v_{x}/c&1+(\gamma -1){\dfrac {v_{x}^{2}}{v^{2}}}&(\gamma -1){\dfrac {v_{x}v_{y}}{v^{2}}}&(\gamma -1){\dfrac {v_{x}v_{z}}{v^{2}}}\\-\gamma v_{y}/c&(\gamma -1){\dfrac {v_{y}v_{x}}{v^{2}}}&1+(\gamma -1){\dfrac {v_{y}^{2}}{v^{2}}}&(\gamma -1){\dfrac {v_{y}v_{z}}{v^{2}}}\\-\gamma v_{z}/c&(\gamma -1){\dfrac {v_{z}v_{x}}{v^{2}}}&(\gamma -1){\dfrac {v_{z}v_{y}}{v^{2}}}&1+(\gamma -1){\dfrac {v_{z}^{2}}{v^{2}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &-\gamma {\vec {\beta }}^{T}\\-\gamma {\vec {\beta }}&I+(\gamma -1){\dfrac {{\vec {\beta }}{\vec {\beta }}^{T}}{\beta ^{2}}}\end{bmatrix}},}$$

ここで、は速度の大きさ、はローレンツ因子です。この式は受動的な変換を表し、測定された量の座標がプライムされていないフレームからプライムされたフレームにどのように変化するかを記述します。能動的な変換は によって与えられます。 ${\textstyle v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}}$${\textstyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$${\displaystyle B(-\mathbf {v} )}$

フレームF ′がフレームFに対して速度uでブーストされ、別のフレームF ” がF ′に対して速度vでブーストされる場合、個別のブーストは となり 、 2 つのブーストの合成によりF ”とF の座標が接続され、 後続の変換は左側で作用します。uとv が同一直線上 (相対運動の同じ線に沿って平行または反平行) の場合、ブースト行列はB ( v ) B ( u ) = B ( u ) B ( v )と交換されます。 この合成変換は別のブーストB ( w )となり、w はuおよびvと同一直線上にあります。 $${\displaystyle X''=B(\mathbf {v} )X'\,,\quad X'=B(\mathbf {u} )X}$$$${\displaystyle X''=B(\mathbf {v} )B(\mathbf {u} )X\,.}$$

uとv が同一線上になく、異なる方向にある場合、状況はかなり複雑になります。異なる方向に沿ったローレンツブーストは可換ではありません。つまり、 B ( v ) B ( u )とB ( u ) B ( v )は等しくありません。これらの合成はそれぞれ単一のブーストではありませんが、各合成は時空間隔を保存するため、依然としてローレンツ変換です。2 つのローレンツブーストの合成は、ブーストの前後にR ( ρ ) B ( w )またはB ( w ) R ( ρ )の形式で空間座標上の回転が行われることと同等であることがわかります。wとw は合成速度であり、ρとρ は回転パラメーターです (軸角度変数、オイラー角など)。ブロック行列形式 の回転は、R ( ρ )が 3 次元回転行列 であり、任意の 3 次元ベクトルをある方向 (アクティブ変換) に回転させるか、同等に座標フレームを反対の方向 (パッシブ変換) に回転させると、単純にwとρ (またはwとρ ) を元のブーストパラメータuとvに結び付けるのは簡単ではありません。ブーストの合成では、R行列はウィグナー回転と呼ばれ、トーマス歳差運動を引き起こします。これらの記事では、 w、ρ、w、ρの表現を含む、合成変換行列の明示的な式が示されています。 $${\displaystyle \quad R({\boldsymbol {\rho }})={\begin{bmatrix}1&0\\0&\mathbf {R} ({\boldsymbol {\rho }})\end{bmatrix}}\,,}$$

この記事では、ρに対して軸角度表現が使用されています。回転は、単位ベクトルeの方向の軸を中心に、角度θ (右手の法則に従って、正は反時計回り、負は時計回り) で行われます。「軸角度ベクトル」は 便利な略語として役立ちます。 $${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}=\theta \mathbf {e} }$$

空間回転も、時空間隔を不変にするため、ローレンツ変換です。ブーストと同様に、異なる軸を中心とした連続的な回転は交換されません。ブーストとは異なり、任意の 2 つの回転の合成は 1 つの回転に相当します。ブースト行列と回転行列のその他の類似点と相違点は次のとおりです。

• 逆数: B ( v ) ⁻¹ = B (− v ) (反対方向の相対運動)、およびR ( θ ) ⁻¹ = R (− θ ) (同じ軸の周りの反対方向の回転)
• 相対運動/回転がない場合の恒等変換: B ( 0 ) = R ( 0 ) = I
• 単位行列式: det( B ) = det( R ) = +1。この特性により、これらは適切な変換になります。
• 行列の対称性: Bは対称（転置に等しい）ですが、Rは非対称ですが直交します（転置は逆行列に等しく、R ^T = R ⁻¹）。

最も一般的な適切なローレンツ変換Λ( v , θ )はブーストと回転を一緒に含み、非対称行列です。特殊なケースとして、Λ( 0 , θ ) = R ( θ )およびΛ( v , 0 ) = B ( v )です。一般的なローレンツ変換の明示的な形式は書きづらいため、ここでは示しません。それでも、変換行列の閉じた形式の表現は、群論的議論を使用して以下で示します。ブーストにはラピディティパラメータ化を使用する方が簡単です。その場合は、Λ( ζ , θ )およびB ( ζ )と書きます。

行列乗算を合成演算とする変換の集合 は、「制限ローレンツ群」と呼ばれる群を形成し、特殊不定直交群SO ⁺ (3,1) になります。(プラス記号は、時間次元の方向が保持されることを示します)。 $${\displaystyle \{B({\boldsymbol {\zeta }}),R({\boldsymbol {\theta }}),\Lambda ({\boldsymbol {\zeta }},{\boldsymbol {\theta }})\}}$$

簡単にするために、x 方向の微小なローレンツブーストを見てみましょう (他の方向のブーストや任意の軸周りの回転を調べる場合も、同じ手順に従います)。微小ブーストは恒等式から少し離れたブーストであり、ブースト行列をζ = 0について 1 次までテイラー展開することで得られます。 ここで、示されていない高次の項はζが小さいため無視でき、B _xはx方向のブースト行列にすぎません。行列の導関数は、(同じ変数に関するエントリの) 導関数の行列であり、導関数が最初に求められ、次にζ = 0で評価されることが理解されます。 $${\displaystyle B_{x}=I+\zeta \left.{\frac {\partial B_{x}}{\partial \zeta }}\right|_{\zeta =0}+\cdots }$$$${\displaystyle \left.{\frac {\partial B_{x}}{\partial \zeta }}\right|_{\zeta =0}=-K_{x}\,.}$$

今のところ、K _{x は}この結果によって定義されます（その重要性については後ほど説明します）。無限に小さなステップの無限数の極限では、指数関数の極限定義が使用されている 場合、行列指数関数の形で有限ブースト変換が得られます （指数関数の特徴付けも参照）。より一般的には^{[nb 5]}$${\displaystyle B_{x}=\lim _{N\to \infty }\left(I-{\frac {\zeta }{N}}K_{x}\right)^{N}=e^{-\zeta K_{x}}}$$

$${\displaystyle B({\boldsymbol {\zeta }})=e^{-{\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} }\,,\quad R({\boldsymbol {\theta }})=e^{{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} }\,.}$$

軸角ベクトルθとラピディティベクトルζは、（この特定の表現では）グループパラメータを構成する合計6つの連続変数であり、グループの生成元はK = ( K _x , K _y , K _z )とJ = ( J _x , J _y , J _z )であり、それぞれ明示的な形式を持つ行列のベクトルである^{[nb 6]}

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}K_{x}&={\begin{bmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\\end{bmatrix}}\,,\quad &K_{y}&={\begin{bmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}\,,\quad &K_{z}&={\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}}\\[10mu]J_{x}&={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\\\end{bmatrix}}\,,\quad &J_{y}&={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&-1&0&0\end{bmatrix}}\,,\quad &J_{z}&={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&-1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}\end{alignedat}}}$$

これらはすべて上記のK _xと類似した方法で定義されますが、ブースト生成子のマイナス符号は慣例的です。物理的には、ローレンツ群の生成子は時空における重要な対称性に対応します。Jは角運動量に対応する回転生成子、Kは時空におけるシステムの運動に対応するブースト生成子です。ある群パラメータtに依存する群内のC (0) = Iとなる滑らかな曲線C ( t )の、その群パラメータに関する導関数は、t = 0で評価され、対応する群生成子Gの定義として機能し、これは恒等関数からの微小変換を反映しています。滑らかな曲線は常に指数関数としてとらえることができます。これは、指数関数が常にすべてのtに対してt → exp( tG )を介してG を群に滑らかに戻すためです。この曲線は、 t = 0で微分すると再びGになります。

指数をテイラー級数で展開すると、 前のセクションで示したブースト行列と回転行列をコンパクトに再現する式が得られます。 $${\displaystyle B({\boldsymbol {\zeta }})=I-\sinh \zeta (\mathbf {n} \cdot \mathbf {K} )+(\cosh \zeta -1)(\mathbf {n} \cdot \mathbf {K} )^{2}}$$ $${\displaystyle R({\boldsymbol {\theta }})=I+\sin \theta (\mathbf {e} \cdot \mathbf {J} )+(1-\cos \theta )(\mathbf {e} \cdot \mathbf {J} )^{2}\,.}$$

一般的な適切なローレンツ変換はブーストと回転の積であると述べられている。無限小レベルでは積は 可換である。なぜなら線形項のみが必要となるからである（( θ · J )( ζ · K )や( ζ · K )( θ · J )のような積は高次の項として数えられ、無視できる）。前と同じように極限をとると、指数関数の形で有限変換が導かれる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda &=(I-{\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} +\cdots )(I+{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} +\cdots )\\&=(I+{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} +\cdots )(I-{\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} +\cdots )\\&=I-{\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} +{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} +\cdots \end{aligned}}}$$$${\displaystyle \Lambda ({\boldsymbol {\zeta }},{\boldsymbol {\theta }})=e^{-{\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} +{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} }.}$$

逆もまた真であるが、有限の一般ローレンツ変換をそのような因数に分解することは自明ではない。特に、 生成元が可換ではないためである。ブーストと回転に関して一般ローレンツ変換の因数を原理的に求める方法の説明については（これは通常、生成元JとKに関して分かりやすい表現を生成しない）、ウィグナー回転を参照のこと。一方、分解が生成元に関して与えられ、生成元に関して積を求める場合は、ベイカー・キャンベル・ハウスドルフの公式が適用される。 $${\displaystyle e^{-{\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} +{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} }\neq e^{-{\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} }e^{{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} },}$$

ローレンツ生成子を足し合わせたり、実数で乗算したりして、より多くのローレンツ生成子を得ることができます。言い換えると、すべてのローレンツ生成子の 集合 と、通常の行列の加算や行列と数との乗算を合わせると、実数上のベクトル空間が形成されます。 ^{[nb 7]}生成子J _x、 J _y、 J _z、 K _x 、 K _y、 K _{z は}Vの基底集合を形成し、軸角度ベクトルとラピディティベクトルの成分θ _x、 θ _y、 θ _z、 ζ _x、 ζ _y、 ζ _zは、この基底に対するローレンツ生成子の座標です。 ^{[nb 8]}$${\displaystyle V=\{{\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} +{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} \}}$$

ローレンツ生成子の 交換関係のうち 3 つは、 括弧[ A , B ] = AB − BAが交換子として知られている関係であり、その他の関係はx、y、z 成分の巡回置換(つまり、x を y に、y を z に、z を x に変更し、これを繰り返す) を取ることによって見つけることができます。 $${\displaystyle [J_{x},J_{y}]=J_{z}\,,\quad [K_{x},K_{y}]=-J_{z}\,,\quad [J_{x},K_{y}]=K_{z}\,,}$$

これらの交換関係と生成元のベクトル空間は、リー代数 の定義を満たします。要約すると、リー代数は、数体上のベクトル空間Vとして定義され、ベクトル空間の元に対する二項演算[ 、 ] (この文脈ではリー括弧と呼ばれる) を持ち、双線型性、交代化、ヤコビ恒等式の公理を満たします。ここで、演算 [ 、 ] はこれらすべての公理を満たす交換子であり、ベクトル空間は前述のようにローレンツ生成元Vの集合であり、体は実数の集合です。 ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3,1)}$

数学と物理学で使用される関連用語: 群生成子はリー代数の任意の要素です。群パラメータは、ある基底に関するリー代数の任意の要素を表す座標ベクトルの要素です。したがって、基底は、通常のベクトル空間の意味でリー代数の基底となる生成子の集合です。

リー代数からリー群への 指数写像は、 リー代数の原点の十分小さい近傍とリー群の単位元近傍との間の 1 対 1 の対応を提供します。ローレンツ群の場合、指数写像は単に行列指数です。全体的には、指数写像は 1 対 1 ではありませんが、ローレンツ群の場合は、射影的です。したがって、単位元の接続成分内の任意の群要素は、リー代数の要素の指数として表現できます。 $${\displaystyle \exp \,:\,{\mathfrak {so}}(3,1)\to \mathrm {SO} (3,1),}$$

ローレンツ変換には、すべての空間座標のみを反転するパリティ反転 と、 時間座標のみを反転する時間反転も含まれます。これは、これらの変換により時空間隔が不変になるためです。ここで、 I は3 次元単位行列です。これらは両方とも対称であり、それ自体が逆行列であり (反転 (数学)を参照)、それぞれ行列式が -1 です。この後者の特性により、これらは不適切な変換になります。 $${\displaystyle P={\begin{bmatrix}1&0\\0&-\mathbf {I} \end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle T={\begin{bmatrix}-1&0\\0&\mathbf {I} \end{bmatrix}}}$$

Λ が適切な正時ローレンツ変換である場合、 T Λは不適切逆時、P Λは不適切正時、TP Λ = PT Λは適切な逆時です。

他の2つの時空対称性は考慮されていません。時空間隔が不変であるためには、座標変換が次の形式であることが必須かつ十分であることが 示されます^[21] 。 ここで、Cは時間と空間の変換を含む定数列です。C ≠ 0の場合、これは非同次ローレンツ変換またはポアンカレ変換です。^{[22] [23]} C = 0の場合、これは同次ローレンツ変換です。ポアンカレ変換については、この記事ではこれ以上扱いません。 $${\displaystyle X'=\Lambda X+C}$$

座標の一般的な行列変換を行列方程式として記述すると 、4次元ベクトルとして表現できない他の物理量、例えば4次元時空における任意の次数のテンソルやスピノルの変換を定義できるようになります。対応するテンソルインデックス表記では、上記の行列式は次のようになります 。$${\displaystyle {\begin{bmatrix}{x'}^{0}\\{x'}^{1}\\{x'}^{2}\\{x'}^{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\Lambda ^{0}}_{0}&{\Lambda ^{0}}_{1}&{\Lambda ^{0}}_{2}&{\Lambda ^{0}}_{3}{\vphantom {{x'}^{0}}}\\{\Lambda ^{1}}_{0}&{\Lambda ^{1}}_{1}&{\Lambda ^{1}}_{2}&{\Lambda ^{1}}_{3}{\vphantom {{x'}^{0}}}\\{\Lambda ^{2}}_{0}&{\Lambda ^{2}}_{1}&{\Lambda ^{2}}_{2}&{\Lambda ^{2}}_{3}{\vphantom {{x'}^{0}}}\\{\Lambda ^{3}}_{0}&{\Lambda ^{3}}_{1}&{\Lambda ^{3}}_{2}&{\Lambda ^{3}}_{3}{\vphantom {{x'}^{0}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x^{0}{\vphantom {{x'}^{0}}}\\x^{1}{\vphantom {{x'}^{0}}}\\x^{2}{\vphantom {{x'}^{0}}}\\x^{3}{\vphantom {{x'}^{0}}}\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle {x'}^{\nu }={\Lambda ^{\nu }}_{\mu }x^{\mu },}$$

ここで、下限と上限のインデックスはそれぞれ共変成分と反変成分を表し、^[24]総和規則が適用されます。時間成分には値 0、空間成分には値 1、2、3 をとるギリシャ語インデックスを使用するのが標準的な規則ですが、ラテン語インデックスは空間成分に値 1、2、3 をとるだけです (Landau と Lifshitz の場合は逆)。最初のインデックス (左から右に読む) は、行列表記の行インデックスに対応することに注意してください。2 番目のインデックスは列インデックスに対応します。

変換行列は4次元時空座標だけでなく、すべての4次元ベクトルに対して普遍的である。Aが任意の4次元ベクトルである場合、テンソルインデックス表記では $${\displaystyle {A'}^{\nu }={\Lambda ^{\nu }}_{\mu }A^{\mu }\,.}$$

あるいは、 と書くこともできます。ここで、ダッシュ付きの添え字は、ダッシュ付きのフレームにおける A の添え字を表します。一般的なn成分オブジェクトの場合、 と書くことができます。ここで、 Πは、ローレンツ群 の適切な表現であり、すべてのΛに対するn × n行列です。この場合、添え字は時空添え字 (ローレンツ添え字と呼ばれることもあります) とは考えるべきではなく、添え字は1からnまであります。たとえば、Xがビスピノルの場合、添え字はディラック添え字と呼ばれます。 $${\displaystyle A^{\nu '}={\Lambda ^{\nu '}}_{\mu }A^{\mu }\,.}$$$${\displaystyle {X'}^{\alpha }={\Pi (\Lambda )^{\alpha }}_{\beta }X^{\beta }\,,}$$

共変インデックスを持つベクトル量もあります。これらは通常、反変インデックスを持つ対応するオブジェクトからインデックスを下げる操作によって得られます。たとえば、 ηは計量テンソル です。(リンク先の記事では、インデックスを上げる操作と下げる操作が数学的に実際に何であるかについての詳細情報も提供されています。) この変換の逆は によって与えられます 。 ここで、行列として見ると、η ^μνはη _μνの逆です。偶然にも、η ^μν = η _μνです。これはインデックスを上げると呼ばれます。共変ベクトルA _μを変換するには、最初にそのインデックスを上げ、次に反変4 -ベクトルの場合と同じ規則に従って変換し、最後にインデックスを下げます。 $${\displaystyle x_{\nu }=\eta _{\mu \nu }x^{\mu },}$$$${\displaystyle x^{\mu }=\eta ^{\mu \nu }x_{\nu },}$$$${\displaystyle {A'}_{\nu }=\eta _{\rho \nu }{\Lambda ^{\rho }}_{\sigma }\eta ^{\mu \sigma }A_{\mu }.}$$

しかし$${\displaystyle \eta _{\rho \nu }{\Lambda ^{\rho }}_{\sigma }\eta ^{\mu \sigma }={\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\mu }}_{\nu },}$$

つまり、これは逆ローレンツ変換の( μ , ν )成分である。 を（表記法として）定義し、 この表記法では次のように書くことができる。 $${\displaystyle {\Lambda _{\nu }}^{\mu }\equiv {\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\mu }}_{\nu },}$$$${\displaystyle {A'}_{\nu }={\Lambda _{\nu }}^{\mu }A_{\mu }.}$$

ここで微妙な点について。 の右辺の暗黙の合計は 、 Λ ^{−1 を}表す行列の行インデックス にわたって実行されます。したがって、行列の観点から見ると、この変換は、列ベクトルA _μに作用するΛの逆転置として考えられます。つまり、純粋な行列表記では、 $${\displaystyle {A'}_{\nu }={\Lambda _{\nu }}^{\mu }A_{\mu }={\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\mu }}_{\nu }A_{\mu }}$$$${\displaystyle A'=\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\mathrm {T} }A.}$$

これはまさに、共変ベクトル（列行列と考えられる）がローレンツ群の標準表現の双対表現に従って変換されることを意味します。この概念は一般的な表現に一般化され、 Λ をΠ(Λ)に置き換えるだけです。

AとB がベクトル空間UとV上の線型作用素である場合、線型作用素A ⊗ B はUとVのテンソル積上に定義され、^[25]に従ってU ⊗ Vと表記される。

このことから、 uとvがVの4元ベクトルであれば、u ⊗ v ∈ T ₂ V ≡ V ⊗ Vは次のように変換されること がすぐにわかる。

2 番目のステップではテンソル積の双線型性を使用し、最後のステップでは成分形式の 2 テンソルを定義します。正確に言うと、テンソルu ⊗ v の名前を変更するだけです。

これらの観察は明らかにより多くの因子に一般化され、ベクトル空間V上の一般テンソルは係数（成分！）と基底ベクトルおよび基底共ベクトルのテンソル積の和として表すことができるという事実を用いて、任意のテンソル量Tに対する変換法則に到達する。これは^[26]で与えられる。

ここで、Λ _χ′ ^ψは上で定義されています。この形式は、一般に、列ベクトルに対して動作する単一の行列 ( Π(Λ) ) を使用して、上で示した一般的なn成分オブジェクトの形式に簡約できます。この後者の形式が好まれる場合もあります。たとえば、電磁場テンソルの場合です。

ローレンツ変換は、磁場 Bと電場 Eが、電荷と観測者との相対運動の結果としての同じ力、つまり電磁力の単に異なる側面であることを示すためにも使用できます。^[27]電磁場が相対論的効果を示すという事実は、簡単な思考実験を行うことで明らかになります。^[28]

• 観測者はフレーム F で静止している電荷を測定します。観測者は静電場を検出します。このフレームでは電荷が静止しているため電流はなく、観測者は磁場を観測しません。
• フレーム F′ 内の他の観測者は、F と電荷に対して速度vで移動します。この観測者は、静止フレーム内で電荷が速度− vで移動するため、異なる電場を見ます。電荷の動きは電流に対応するため、フレーム F′ 内の観測者も磁場を見ます。

電場と磁場は空間と時間によって異なる方法で変換されますが、相対論的角運動量とブースト ベクトルとはまったく同じ方法で変換されます。

電磁場強度テンソルは 、 SI単位 では次のように表されます。相対性理論では、 SI単位系を主に選択しているテキストでも、SI単位系よりもガウス単位系が好まれることが多いです。これは、ガウス単位系では電場Eと磁気誘導Bの単位が同じなので、電磁場テンソルがより自然に表現されるからです。 ^[29] x方向のローレンツブーストを考えてみましょう。これは次のように表されます。 ^[30] ここでは、以下の操作で簡単に参照できるように、場テンソルを並べて表示しています。 $${\displaystyle F^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}0&-{\frac {1}{c}}E_{x}&-{\frac {1}{c}}E_{y}&-{\frac {1}{c}}E_{z}\\{\frac {1}{c}}E_{x}&0&-B_{z}&B_{y}\\{\frac {1}{c}}E_{y}&B_{z}&0&-B_{x}\\{\frac {1}{c}}E_{z}&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}{\text{(SI units, signature }}(+,-,-,-){\text{)}}.}$$ $${\displaystyle {\Lambda ^{\mu }}_{\nu }={\begin{bmatrix}\gamma &-\gamma \beta &0&0\\-\gamma \beta &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}},\qquad F^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}0&E_{x}&E_{y}&E_{z}\\-E_{x}&0&B_{z}&-B_{y}\\-E_{y}&-B_{z}&0&B_{x}\\-E_{z}&B_{y}&-B_{x}&0\end{bmatrix}}{\text{(Gaussian units, signature }}(-,+,+,+){\text{)}},}$$

一般的な変換則（T3）は $${\displaystyle F^{\mu '\nu '}={\Lambda ^{\mu '}}_{\mu }{\Lambda ^{\nu '}}_{\nu }F^{\mu \nu }.}$$

磁場については、 $${\displaystyle {\begin{aligned}B_{x'}&=F^{2'3'}={\Lambda ^{2}}_{\mu }{\Lambda ^{3}}_{\nu }F^{\mu \nu }={\Lambda ^{2}}_{2}{\Lambda ^{3}}_{3}F^{23}=1\times 1\times B_{x}\\&=B_{x},\\B_{y'}&=F^{3'1'}={\Lambda ^{3}}_{\mu }{\Lambda ^{1}}_{\nu }F^{\mu \nu }={\Lambda ^{3}}_{3}{\Lambda ^{1}}_{\nu }F^{3\nu }={\Lambda ^{3}}_{3}{\Lambda ^{1}}_{0}F^{30}+{\Lambda ^{3}}_{3}{\Lambda ^{1}}_{1}F^{31}\\&=1\times (-\beta \gamma )(-E_{z})+1\times \gamma B_{y}=\gamma B_{y}+\beta \gamma E_{z}\\&=\gamma \left(\mathbf {B} -{\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {E} \right)_{y}\\B_{z'}&=F^{1'2'}={\Lambda ^{1}}_{\mu }{\Lambda ^{2}}_{\nu }F^{\mu \nu }={\Lambda ^{1}}_{\mu }{\Lambda ^{2}}_{2}F^{\mu 2}={\Lambda ^{1}}_{0}{\Lambda ^{2}}_{2}F^{02}+{\Lambda ^{1}}_{1}{\Lambda ^{2}}_{2}F^{12}\\&=(-\gamma \beta )\times 1\times E_{y}+\gamma \times 1\times B_{z}=\gamma B_{z}-\beta \gamma E_{y}\\&=\gamma \left(\mathbf {B} -{\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {E} \right)_{z}\end{aligned}}}$$

電界の結果については $${\displaystyle {\begin{aligned}E_{x'}&=F^{0'1'}={\Lambda ^{0}}_{\mu }{\Lambda ^{1}}_{\nu }F^{\mu \nu }={\Lambda ^{0}}_{1}{\Lambda ^{1}}_{0}F^{10}+{\Lambda ^{0}}_{0}{\Lambda ^{1}}_{1}F^{01}\\&=(-\gamma \beta )(-\gamma \beta )(-E_{x})+\gamma \gamma E_{x}=-\gamma ^{2}\beta ^{2}(E_{x})+\gamma ^{2}E_{x}=E_{x}(1-\beta ^{2})\gamma ^{2}\\&=E_{x},\\E_{y'}&=F^{0'2'}={\Lambda ^{0}}_{\mu }{\Lambda ^{2}}_{\nu }F^{\mu \nu }={\Lambda ^{0}}_{\mu }{\Lambda ^{2}}_{2}F^{\mu 2}={\Lambda ^{0}}_{0}{\Lambda ^{2}}_{2}F^{02}+{\Lambda ^{0}}_{1}{\Lambda ^{2}}_{2}F^{12}\\&=\gamma \times 1\times E_{y}+(-\beta \gamma )\times 1\times B_{z}=\gamma E_{y}-\beta \gamma B_{z}\\&=\gamma \left(\mathbf {E} +{\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {B} \right)_{y}\\E_{z'}&=F^{0'3'}={\Lambda ^{0}}_{\mu }{\Lambda ^{3}}_{\nu }F^{\mu \nu }={\Lambda ^{0}}_{\mu }{\Lambda ^{3}}_{3}F^{\mu 3}={\Lambda ^{0}}_{0}{\Lambda ^{3}}_{3}F^{03}+{\Lambda ^{0}}_{1}{\Lambda ^{3}}_{3}F^{13}\\&=\gamma \times 1\times E_{z}-\beta \gamma \times 1\times (-B_{y})=\gamma E_{z}+\beta \gamma B_{y}\\&=\gamma \left(\mathbf {E} +{\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {B} \right)_{z}.\end{aligned}}}$$

ここで、β = ( β , 0, 0)が使用されています。これらの結果は によって要約でき 、メトリック シグネチャとは独立しています。SI 単位の場合は、E → E ⁄ cに置き換えてください。Misner、Thorne、Wheeler (1973) は、テンソル表現によって表される 幾何学的ビューに対して、この最後の形式を3 + 1ビューと呼び、 3 + 1ビュー を使用して達成することが困難な結果を簡単に取得して理解できることを強調しています。 明確に定義されたローレンツ変換特性を持つオブジェクト (実際には任意の滑らかな座標変換下) のみが幾何学的オブジェクトです。幾何学的ビューでは、電磁場は、空間と時間における 2 つの相互に依存しながらも別々の 3 ベクトル場ではなく、時空内の 6 次元の幾何学的オブジェクトです。場E (単独) と場B (単独) には、明確に定義されたローレンツ変換特性がありません。数学的な基礎は、すぐに(T3)をもたらす方程式(T1)と(T2)です。プライム付きテンソルとプライムなしテンソルは時空における同じイベントを参照していることに注意する必要がある。したがって、時空依存性を持つ完全な方程式は次のようになる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} _{\parallel '}&=\mathbf {E} _{\parallel }\\\mathbf {B} _{\parallel '}&=\mathbf {B} _{\parallel }\\\mathbf {E} _{\bot '}&=\gamma \left(\mathbf {E} _{\bot }+{\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {B} _{\bot }\right)=\gamma \left(\mathbf {E} +{\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {B} \right)_{\bot },\\\mathbf {B} _{\bot '}&=\gamma \left(\mathbf {B} _{\bot }-{\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {E} _{\bot }\right)=\gamma \left(\mathbf {B} -{\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {E} \right)_{\bot },\end{aligned}}}$$$${\displaystyle F^{\mu '\nu '}={\Lambda ^{\mu '}}_{\mu }{\Lambda ^{\nu '}}_{\nu }F^{\mu \nu },}$$$${\displaystyle F^{\mu '\nu '}\left(x'\right)={\Lambda ^{\mu '}}_{\mu }{\Lambda ^{\nu '}}_{\nu }F^{\mu \nu }\left(\Lambda ^{-1}x'\right)={\Lambda ^{\mu '}}_{\mu }{\Lambda ^{\nu '}}_{\nu }F^{\mu \nu }(x).}$$

長さの収縮は電荷密度 ρと電流密度 Jに影響を及ぼし、時間の遅れは電荷（電流）の流量に影響を及ぼします。そのため、電荷と電流の分布はブースト下では関連して変換される必要があります。それらは、空間時間およびエネルギー運動量の4元ベクトルとまったく同じように変換されます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {j} '&=\mathbf {j} -\gamma \rho v\mathbf {n} +\left(\gamma -1\right)(\mathbf {j} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \\\rho '&=\gamma \left(\rho -\mathbf {j} \cdot {\frac {v\mathbf {n} }{c^{2}}}\right),\end{aligned}}}$$

あるいは、より単純な幾何学的観点から言えば、 $${\displaystyle j^{\mu '}={\Lambda ^{\mu '}}_{\mu }j^{\mu }.}$$

電荷密度は 4 次元ベクトルの時間成分として変換されます。これは回転スカラーです。電流密度は 3 次元ベクトルです。

マクスウェル方程式はローレンツ変換に対して不変です。

式(T1)は、ローレンツ群のビスピノル表現を含むあらゆる表現に対してそのまま成り立つ。(T2)では、 Λのすべての出現をビスピノル表現Π(Λ)に置き換えるだけで、

たとえば、上記の式は、2 つの自由電子を記述するフォック空間における状態の変換である可能性があります。

量子場の理論における一般的な非相互作用多粒子状態（フォック空間状態）は、次の規則に従って変換される^[31]。

ここでW (Λ, p )はウィグナーの小群^[32]であり、D ^{( j )は}SO(3)の(2j + 1)次元表現である。

• オコナー、ジョン J.; ロバートソン、エドマンド F. (1996) 『特殊相対性理論の歴史』
• ブラウン、ハーヴェイ R. (2003)、マイケルソン、フィッツジェラルド、ローレンツ: 相対性理論の起源の再考

• Ernst, A.; Hsu, J.-P. (2001)、「1887 年に Voigt が提唱した光の普遍速度の最初の提案」(PDF)、Chinese Journal of Physics、39 (3): 211–230、Bibcode :2001ChJPh..39..211E、 2011-07-16 にオリジナル(PDF)からアーカイブ
• ソーントン、スティーブン・T.; マリオン、ジェリー・B. (2004)、粒子とシステムの古典的ダイナミクス（第5版）、ベルモント、[CA.]：ブルックス/コール、pp. 546–579、ISBN 978-0-534-40896-1
• Voigt、Woldemar (1887)、「Über das Doppler'sche princip」、Nachrichten von der Königlicher Gesellschaft den Wissenschaft zu Göttingen、2 : 41–51

• ローレンツ変換の導出。この Web ページには、グループ プロパティに特に重点を置いたローレンツ変換のより詳細な導出が含まれています。
• 特殊相対性理論のパラドックス。この Web ページでは、次のページで図解されているローレンツ変換によって解決される問題が提示されています。
• 相対性理論 2011-08-29ウェイバックマシンにアーカイブ– オンライン教科書の章
• ワープ特殊相対性シミュレータ。日常の物体に対するローレンツ変換を示すコンピュータ プログラム。
• ローレンツ変換を視覚化したYouTubeのアニメーション クリップ。
• YouTubeの MinutePhysics 動画では、機械的なミンコフスキー図を使ってローレンツ変換を説明し、視覚化しています。
• 仮想ミンコフスキー図でローレンツ変換を示すDesmos上のインタラクティブ グラフ(グラフ作成)
• 点と双曲線によるローレンツ変換を示す Desmos 上のインタラクティブ グラフ
• John de Pillis によるローレンツ フレームのアニメーション。 ガリレイ フレームとローレンツ フレーム、さまざまなパラドックス、電磁波現象などのオンライン フラッシュ アニメーション。