ブルニアンリンク

位相幾何学の一分野である結び目理論において、ブルニアンリンクとは、1 つの要素を削除すると、自明なリンクされていない円の集合になる非自明なリンクです。言い換えると、任意のループを切断すると、他のすべてのループが解放されます (そのため、2 つのループを直接リンクすることはできません)。

ブルニアンという名前はヘルマン ブルンにちなんで付けられています。 Brunn の 1892 年の記事「Über Verkettung 」には、そのようなリンクの例が含まれていました。

最もよく知られ、最も単純なブルンリンクは、3 つの結び目のないリンクであるボロミアン環です。ただし、3 以上のすべての数に対して、その数のループを含むブルン特性を持つリンクが無限に存在します。ボロミアン環とは異なる、比較的単純な 3 成分のブルンリンクをいくつか示します。

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  12 交差リンク。
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  18クロスリンク。
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  24クロスリンク。

6交差ボロミアン環以外の最も単純なブルニアンリンクは、おそらく10交差のL10a140リンクである。^[1]

n成分ブルニアンリンクの例としては、「ラバーバンド」ブルニアンリンクが挙げられます。このリンクでは、各成分が次の成分の周りをaba ⁻¹ b ⁻¹としてループし、最後の成分が最初の成分の周りをループして円を形成します。^[2]

^{2020年には、 [3]}で非常に柔軟な幾何学的位相幾何学手法を用いて、より複雑な新しいブルニアンリンクが発見されました。第6節を参照してください^。[3]

ブルニアンリンクを幾何学的な円から構成することは不可能です。より一般的には、リンクの各コンポーネントが円であり、2 つのコンポーネントがリンクされていないという特性がある場合、それは自明です。マイケル・フリードマンとリチャード・スコラによる証明では、リンクを含む 3 次元空間を4 次元双曲空間のポアンカレ球モデルの境界として埋め込み、円の双曲凸包を考慮します。これらは双曲空間の 2 次元部分空間であり、その交差パターンは円のペアごとのリンクを反映しています。つまり、2 つの円がリンクされている場合、それらの包には交点がありますが、円のペアがリンクされていないという仮定では、包は互いに素です。ポアンカレ球の断面を同心円状の三次元球でとると、各球と円の殻との交点は再び円でできたリンクとなり、この断面群はすべての円の連続的な動きを提供し、各円は他の円と交差することなく一点に縮小される。^[4]

ブルニアンリンクは、ジョン・ミルナーによってリンクホモトピーまで分類され(Milnor 1954)、彼が導入した不変量は現在ミルナー不変量と呼ばれています。

( n + 1) 成分の Brunnian リンクは、 n成分の非リンクのリンク グループ(この場合は (一般にはそうではないが)リンク補集合の基本グループ) の要素として考えることができます。これは、最後のリンクを削除すると、他のリンクが非リンクになるからです。n 成分の非リンクのリンク グループは、 n個の生成元F _n上の自由グループです。これは、単一のリンクのリンク グループが非結び目の結び目グループ(整数) であり、非リンク和のリンク グループは、成分のリンク グループの 自由積であるためです。

リンク群のすべての要素がブルニアンリンクを与えるわけではない。他の要素を削除すると、残りのn個の要素のリンクも解除される必要があるためである。ミルナーは、ブルニアンリンクに対応する群要素は、自由群の下中心級数の次数付きリー代数に関連しており、これは自由リー代数における「関係」として解釈できることを示した。

2021 年には、3 次元球面のブルニアンリンクに対して、「サテライト和」と「サテライトタイ」と呼ばれる 2 つの特別な衛星操作が調査されました。どちらも、ほぼすべてのブルニアンリンクから無限に多くの異なるブルニアンリンクを構築するために使用できます。^[5]ブルニアンリンクの幾何学的分類定理が与えられました。^[5]さらに興味深いことに、ブルニアンリンクに対して、JSJ 分解よりも単純な、サテライト和とサテライトタイに関する標準的な幾何学的分解が開発されました。その中でブルニアンリンクの構成要素は、ホップリンク、双曲型ブルニアンリンク、および非リンク補集合内の双曲型ブルニアンリンクであることが判明し、最後のものは 3 次元球面のブルニアンリンクにさらに縮小できます。^[5]

ブルニアンリンクは、代数的位相幾何学ではマッシー積を介して理解できます。マッシー積は、その項のすべての ( n − 1) 重積が消える場合にのみ定義されるn重積です。これは、すべての ( n  − 1) コンポーネントのサブリンクがリンクされていないが、全体のnコンポーネントリンクが非自明にリンクされているという  ブルニアン特性に対応します。

ブルニアン組紐は、その弦の 1 つを除去すると自明になる組紐です。ブルニアン組紐は組紐群のサブグループを形成します。2 次元円板上のブルニアンではない 2 次元球面上のブルニアン組紐は、2 次元球面のホモトピー群に非自明な要素を生じます。たとえば、ボロミアン環に対応する「標準」組紐はホップファイバリングS ³  →  S ²を生じ、これを反復すると (日常の組紐と同様に) ブルニアンになります。

多くの解剖パズルや一部の機械パズルはブルニアン リンクのバリエーションであり、残りの部分と部分的にしかリンクされていない 1 つのピースを解放して構造を解体することが目的です。

ブルニアン チェーンは、レインボー ルームやワンダー ルームなどの装置を使用して、ゴムバンドから着用可能な装飾品を作成するためにも使用されます。

• Berrick, A. Jon; Cohen, Frederick R.; Wong, Yan Loi; Wu, Jie (2006)、「構成、組紐、ホモトピー群」、アメリカ数学会誌、19 (2): 265–326、doi : 10.1090/S0894-0347-05-00507-2、MR  2188127。
• ヘルマン・ブルン、「Über Verkettung」、J. ミュンシュ。ベル、XXII。 77 ～ 99 年 (1892 年)。JFM  24.0507.01 (ドイツ語)
• ミルナー、ジョン(1954 年 3 月)、「リンク グループ」、Annals of Mathematics、59 (2)、Annals of Mathematics: 177–195、doi :10.2307/1969685、JSTOR  1969685
• ロルフセン、デール（1976）、結び目とリンク、数学講義シリーズ、第7巻、カリフォルニア州バークレー：Publish or Perish、ISBN 0-914098-16-0、MR  0515288

ウィキメディア・コモンズには、ブルニアン・リンクに関連するメディアがあります。

• 「ボロメオリンクはそんなに珍しいのか？」、スラヴィク・ジャブラン著（ジャーナルFormaに掲載されたオリジナルの形式でもこちらから入手可能（PDF ファイル）Wayback Machineに 2021-02-28 にアーカイブ）。
• 「Brunnian_link」、The Knot Atlas。