アダムススペクトル列

数学において、アダムス スペクトル列は、 J. フランク アダムス (1958)によって導入された、位相空間の安定ホモトピー群を計算するスペクトル列です。すべてのスペクトル列と同様に、これは計算ツールであり、ホモロジー理論を現在安定ホモトピー理論と呼ばれる理論に関連付けます。これは、フランスのアンリ カルタンとジャン ピエール セールの学派によって適用された「ホモトピー群の除去」と呼ばれる手法をホモロジー代数を使用して再定式化したもの、および拡張したものです。

以下のすべてに対して、素数p を一度だけ固定します。すべての空間はCW 複体であると仮定します。通常の コホモロジー群は を意味すると理解されます。 ${\displaystyle H^{*}(X)}$${\displaystyle H^{*}(X;\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )}$

代数的位相幾何学の主な目的は、任意の空間XとYの間の、ホモトピーを除くすべての写像の集合を理解することです。これは非常に野心的です。特に、Xが のとき、これらの写像はYのn番目のホモトピー群を形成します。より合理的な (しかし、それでも非常に難しい!) 目標は、サスペンション ファンクタを多数回適用した後に残る写像の集合 (ホモトピーを除く)を理解することです。これを、 XからYへの安定写像の集合と呼びます。(これが安定ホモトピー理論の出発点です。このトピックのより現代的な扱いは、スペクトルの概念から始まります。Adams の元の研究ではスペクトルを使用しておらず、このセクションでは内容をできるだけ初歩的なものにするために、スペクトルについてこれ以上言及することは避けます。) ${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle [X,Y]}$

この集合はアーベル群であることが判明し、XとY が適切な空間である場合、この群は有限生成されます。 この群が何であるかを理解するために、まず素数p を分離します。 のp捩れを計算するために、コホモロジーを調べます。を Hom( H ^* ( Y ), H ^* ( X )) に送信します。 コホモロジー群は通常、計算しやすいため、これは良い考えです。 ${\displaystyle [X,Y]}$${\displaystyle [X,Y]}$${\displaystyle [X,Y]}$

鍵となるアイデアは、 が単なる次数付きアーベル群以上のものであり、さらに次数付き環（カップ積を介して）以上のものであるということです。コホモロジー関数の表現可能性により、 H ^* ( X )は、その安定コホモロジー演算の代数であるスティーンロッド代数A上のモジュールになります。 H ^* ( X ) をAモジュールとして考えると、カップ積構造がいくらか忘れられますが、得られるものは非常に大きく、 Hom( H ^* ( Y ), H ^* ( X )) はA線型と見なすことができます。アプリオリには、Aモジュールは、 F _p上のベクトル空間のマップと見なしたときよりも[ X , Y ] を認識しません。しかし、 Aモジュールのカテゴリで Hom の導来関数Ext _A ^r ( H ^* ( Y ), H ^* ( X ))を検討できるようになりました。これらはH ^* ( Y )のグレーディングから 2 番目のグレーディングを取得し、代数データの 2 次元「ページ」を取得します。Ext グループは Hom の代数構造の保存の失敗を測定するように設計されているため、これは合理的なステップです。 ${\displaystyle H^{*}(X)}$

これらすべてのポイントは、Aが非常に大きいため、上記のコホモロジー データのシートに、[ X、Y ] のpプライマリ部分(ホモトピー データ) を復元するために必要なすべての情報が含まれていることです。コホモロジーは計算可能であるように設計され、ホモトピーは強力になるように設計されているため、これは大きな成果です。これが Adams スペクトル シーケンスの内容です。

古典的なアダムススペクトル列は、任意の有限型の連結スペクトル に対して記述することができ、これはに対してであり、各次数において有限生成アーベル群であることを意味する。すると、スペクトル列^{[1] : 41}が存在し、 ${\displaystyle X}$${\displaystyle \pi _{i}(X)=0}$${\displaystyle i<0}$${\displaystyle \pi _{i}(X)}$${\displaystyle E_{*}^{*,*}(X)}$

1. ${\displaystyle E_{2}^{s,t}={\text{Ext}}_{A_{p}}^{s,t}(H^{*}(X),\mathbb {Z} /p)}$改良スティーンロッド代数${\displaystyle A_{p}}$${\displaystyle p}$
2. 有限型のは、 （p進整数）のフィルタリングに関連付けられた二階数群である。${\displaystyle X}$${\displaystyle E_{\infty }^{*,*}}$${\displaystyle \pi _{*}(X)\otimes \mathbb {Z} _{p}}$

これは に対して を意味することに注意してください。これは、球スペクトルのホモトピー群、つまり球の安定ホモトピー群の -ねじれを計算します。また、任意の CW 複体に対してサスペンション スペクトル を考慮することができるため、これは前の定式化のステートメントも与えます。 ${\displaystyle X=\mathbb {S} }$${\displaystyle p}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \Sigma ^{\infty }Y}$

この記述は、 - モジュールを何らかの連結スペクトル（または位相空間）のコホモロジー群に 置き換えることで、もう少し一般化されます。これは、スペクトル列の構築で の「自由な」解決を- モジュールとして使用するため、 を第 2 のエントリとして Ext 群を計算できるためです。したがって、次の -page を持つスペクトル列が得られます。${\displaystyle {\mathcal {A}}_{p}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$${\displaystyle H^{*}(Y)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle H^{*}(X)}$${\displaystyle {\mathcal {A}}_{p}}$${\displaystyle H^{*}(Y)}$${\displaystyle E_{2}}$

${\displaystyle E_{2}^{t,s}={\text{Ext}}_{{\mathcal {A}}_{p}}^{s,t}(H^{*}(X),H^{*}(Y))}$

これは、と間の写像のホモトピー類の安定ホモトピー群の -捩れのフィルタリングの次数付き部分に同型であるという収束特性を持ち、つまり${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle E_{2}^{s,t}\Rightarrow \pi _{k}^{\mathbb {S} }([X,Y])\otimes \mathbb {Z} _{p}}$

例えば、両方のスペクトルを球スペクトルとすると、アダムススペクトル列は収束特性を持つ。${\displaystyle X=Y=\mathbb {S} }$

${\displaystyle E_{2}^{t,s}={\text{Ext}}_{{\mathcal {A}}_{p}}^{s,t}(H^{*}(\mathbb {S} ),H^{*}(\mathbb {S} ))\Rightarrow \pi _{*}(\mathbb {S} )\otimes \mathbb {Z} _{p}}$

球面の安定ホモトピー群の計算にアプローチするための技術的なツールを提供します。最初の項の多くは、純粋に代数的な情報から明示的に計算できることがわかります^{[2] pp 23–25}。また、 を書き直すことができるので、-page は${\displaystyle H^{*}(\mathbb {S} )=\mathbb {Z} /p}$${\displaystyle E_{2}}$

${\displaystyle E_{2}^{t,s}=\operatorname {Ext} _{{\mathcal {A}}_{p}}^{s,t}(\mathbb {Z} /p,\mathbb {Z} /p)\Rightarrow \pi _{*}(\mathbb {S} )\otimes \mathbb {Z} _{p}}$

以下に、 の計算情報を記載します。 ${\displaystyle p=2}$

アダムズ決議を 考慮すると

${\displaystyle \cdots \to H^{*}(F_{2})\to H^{*}(F_{1})\to H^{*}(F_{0})\to H^{*}(X)}$

項は次のように表される。${\displaystyle E_{1}}$

${\displaystyle E_{1}^{s,t}=\operatorname {Hom} _{{\mathcal {A}}_{p}}^{t}(H^{*}(F_{s}),H^{*}(Y))}$

次数付きHom群の場合、-pageは次のように書ける。${\displaystyle E_{1}}$

${\displaystyle E_{1}={\begin{array}{c|ccc}3&\vdots &\vdots &\vdots \\2&{\text{Hom}}^{2}(H^{*}(F_{0}),H^{*}(Y))&{\text{Hom}}^{2}(H^{*}(F_{1}),H^{*}(Y))&{\text{Hom}}^{2}(H^{*}(F_{2}),H^{*}(Y))&\cdots \\1&{\text{Hom}}^{1}(H^{*}(F_{0}),H^{*}(Y))&{\text{Hom}}^{1}(H^{*}(F_{1}),H^{*}(Y))&{\text{Hom}}^{1}(H^{*}(F_{2}),H^{*}(Y))&\cdots \\0&{\text{Hom}}^{0}(H^{*}(F_{0}),H^{*}(Y))&{\text{Hom}}^{0}(H^{*}(F_{1}),H^{*}(Y))&{\text{Hom}}^{0}(H^{*}(F_{2}),H^{*}(Y))&\cdots \\\hline &0&1&2\end{array}}}$

したがって、の次数は、ジェネレータを見つける前にアダムス解像度でどれだけ「深く」進むかと考えることができます。 ${\displaystyle s}$

シーケンス自体はアルゴリズム的なデバイスではありませんが、特定のケースで問題解決に役立ちます。

番目のアダムス微分は常に左に1、上に進みます。つまり、${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle d_{r}\colon E_{r}^{s,t}\to E_{r}^{s+r,t+r-1}}$。

最も簡単な計算法としては、アイレンバーグ・マクレーンスペクトルを用いたものやがある。[ ^{1] : 48}最初のケースでは、ページ${\displaystyle X=H\mathbb {Z} }$${\displaystyle X=H\mathbb {Z} /(p^{k})}$${\displaystyle E_{1}}$

${\displaystyle E_{1}^{s,t}={\begin{cases}\mathbb {Z} /p&{\text{ if }}t=s\\0&{\text{ otherwise }}\end{cases}}}$

はスペクトル列が折りたたまれたものなので、 となる。これは次のように書き直すことができる。${\displaystyle E_{1}=E_{\infty }}$

${\displaystyle {\text{Ext}}_{{\mathcal {A}}_{p}}^{s,t}(H^{*}(H\mathbb {Z} ),\mathbb {Z} /p)={\begin{cases}\mathbb {Z} /p&{\text{ if }}t=s\\0&{\text{ if }}t\neq s\end{cases}}}$

-ページを与える。他のケースでは、コファイバーシーケンスがあることに注意する${\displaystyle E_{2}}$

${\displaystyle H\mathbb {Z} \xrightarrow {\cdot p^{k}} H\mathbb {Z} \to H\mathbb {Z} /p^{k}\to \Sigma H\mathbb {Z} }$

これはコホモロジーの分裂をもたらし、-加群も同様となる。すると、の-ページは次のように読める。${\displaystyle H^{*}(H\mathbb {Z} /p^{k})=H^{*}(H\mathbb {Z} )\oplus H^{*}(\Sigma H\mathbb {Z} )}$${\displaystyle {\mathcal {A}}_{p}}$${\displaystyle E_{2}}$${\displaystyle H^{*}(H\mathbb {Z} /p)}$

${\displaystyle E_{2}^{s,t}={\begin{cases}\mathbb {Z} /p&{\text{if }}t-s=0,1\\0&{\text{otherwise }}\end{cases}}}$

予想されるページは${\displaystyle E_{\infty }}$

${\displaystyle E_{\infty }^{s,t}={\begin{cases}\mathbb {Z} /p^{k}&{\text{ if }}t=s\\0&{\text{ otherwise }}\end{cases}}}$。

このスペクトル列がこのページに収束する唯一の方法は、アダムス次数を持つすべての要素でサポートされている非自明な微分が存在する場合です。 ${\displaystyle (s,s+1)}$

アダムスがスペクトル列を最初に利用したのは、ホップ不変量1 問題の最初の証明でした。ホップ不変量 1 問題は、 n = 1、2、4、または 8 の場合のみ除算代数構造を許容します。その後、アダムスはK 理論のコホモロジー演算を使用して、はるかに短い証明を見つけました。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

トム同型定理は微分位相幾何学と安定ホモトピー理論を関連付けるものであり、アダムススペクトル列が初めて広く使われたのはこの定理においてである。1960 年、ジョン・ミルナーとセルゲイ・ノビコフはアダムススペクトル列を使用して複素コボルディズムの係数環を計算した。さらに、ミルナーとCTC ウォールはスペクトル列を使用して、有向コボルディズム環の構造に関するトムの予想を証明した。2 つの有向多様体は、それらのポンチャギン数とシュティーフェル・ホイットニー数が一致する場合にのみコボルダントとなる。

上のスペクトル列を について用いると、いくつかの項を明示的に計算することができ、球面の最初の安定ホモトピー群のいくつかを与えることができる。^[2]について、これは-pageを${\displaystyle X=Y=\mathbb {S} }$${\displaystyle p=2}$${\displaystyle E_{2}}$

${\displaystyle E_{2}^{s,t}={\text{Ext}}_{{\mathcal {A}}_{2}}^{s,t}(\mathbb {Z} /2,\mathbb {Z} /2)}$

これは、まずアダムス分解を見ることによって行うことができます。は次数 なので、射影が得られます。${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$${\displaystyle 0}$

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{2}\cdot \iota \to \mathbb {Z} /2}$

ここで は次数 で示される生成元を持つ。核はを生成する許容単項式のすべての要素から構成されるため、写像${\displaystyle {\mathcal {A}}_{2}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \iota }$${\displaystyle K_{0}}$${\displaystyle Sq^{I}\iota }$${\displaystyle Sq^{I}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}_{2}}$

${\displaystyle \bigoplus _{I{\text{ admissible}}}{\mathcal {A}}_{2}\cdot Sq^{I}\iota \to K_{0}}$

そして、直和で に写像する各生成子を と表し、残りの生成子を に対してと表す。例えば、${\displaystyle Sq^{i}\iota }$${\displaystyle \alpha _{i}}$${\displaystyle Sq^{I}\alpha _{j}}$${\displaystyle j}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{1}\mapsto Sq^{1}\iota &&Sq^{2}\alpha _{1}\mapsto Sq^{2,1}\iota \\\alpha _{2}\mapsto Sq^{2}\iota &&Sq^{1}\alpha _{2}\mapsto Sq^{3}\iota \\\alpha _{4}\mapsto Sq^{4}\iota &&Sq^{3}\alpha _{1}\mapsto Sq^{3,1}\iota \\\alpha _{8}\mapsto Sq^{8}&&Sq^{2}\alpha _{2}\mapsto Sq^{3,1}\iota \end{aligned}}}$

の最後の2つの要素が同じ要素にマップされていることに注目してください。これはAdem関係からわかります。また、カーネルには次のような要素があります。${\displaystyle \alpha _{i}}$${\displaystyle Sq^{1}\alpha _{1}}$

${\displaystyle Sq^{1}\alpha _{1}\mapsto Sq^{1}Sq^{1}\iota =0}$

これはAdem関係によるものです。 のこの要素のジェネレータを と呼びます。同じプロセスを適用してカーネル を取得し、それを解決し、などと繰り返すことができます。これを行うと、次のようなページが得られます。${\displaystyle F_{2}}$${\displaystyle \beta _{2}}$${\displaystyle K_{1}}$${\displaystyle E_{1}}$

${\displaystyle E_{1}^{s,t}={\begin{array}{c|ccc}\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\4&Sq^{4}\iota ,Sq^{3,1}\iota &Sq^{2,1}\alpha _{1},Sq^{3}\alpha _{1},Sq^{2}\alpha _{2},\alpha _{4}&Sq^{2}\beta _{2}&\cdots \\3&Sq^{3}\iota ,Sq^{2,1}\iota &Sq^{2}\alpha _{1},Sq^{1}\alpha _{2}&Sq^{1}\beta _{2}&\cdots \\2&Sq^{2}\iota &\alpha _{2},Sq^{1}\alpha _{1}&\beta _{2}&\cdots \\1&Sq^{1}\iota &\alpha _{1}&0&\cdots \\0&\iota &0&0&\cdots \\\hline &0&1&2\end{array}}}$

これは比較的容易にコンピュータで次数まで拡張できます。発見された生成元と関係を使用すると、比較的容易に -page を計算できます。ホモトピー理論家は、水平インデックスが を表し、垂直インデックスがを表すようにこれらの要素を並べ替えて、 -pageの異なるタイプの図を作成することを好む場合があります^{[2] 21 ページ}。詳細については、上の図を参照してください。 ${\displaystyle 100}$${\displaystyle E_{2}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle t-s}$${\displaystyle E_{2}}$

アダムス・ノビコフスペクトル列は、ノビコフ (1967) によって導入されたアダムススペクトル列の一般化であり、通常のコホモロジーが一般化されたコホモロジー理論、多くの場合は複素ボルディズムまたはブラウン・ピーターソンコホモロジーに置き換えられています。これには、問題のコホモロジー理論の安定コホモロジー演算の代数の知識が必要ですが、古典的なアダムススペクトル列ではまったく処理できない計算が可能になります。

• ポストニコフシステム
• スティーンロッド代数
• スペクトル（トポロジー）
• アダムズ決議
• ラヴェネルの推測

• ブルーナー、ロバート R. (2009 年 6 月 2 日)、「アダムス スペクトル シーケンス入門」(PDF)
• ハッチャー、アレン、「アダムススペクトルシーケンス」（PDF）、スペクトルシーケンス