マッセイ製品

代数的位相幾何学において 、マッシー積は(Massey 1958) で導入された高次のコホモロジー演算であり、カップ積を一般化したものである。マッシー積は、アメリカの代数的位相幾何学者ウィリアム・S・マッシーによって考案された。

を微分次数代数のコホモロジー代数の元とします。 の場合、Massey 積は のサブセットです(ただし ) 。 ${\displaystyle a,b,c}$${\displaystyle H^{*}(\Gamma )}$ ${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle ab=bc=0}$${\displaystyle \langle a,b,c\rangle }$${\displaystyle H^{n}(\Gamma )}$${\displaystyle n=\deg(a)+\deg(b)+\deg(c)-1}$

マッシー積は、の元の同値類に要素を持ち上げて、それらのマッシー積を取り、コホモロジーまで押し下げることによって代数的に定義されます。これにより、明確に定義されたコホモロジー類が得られる場合もあれば、不確定性が生じる場合もあります。 ${\displaystyle a,b,c}$${\displaystyle u,v,w}$${\displaystyle \ガンマ}$

を と定義する。の元のコホモロジー類は と表記される。3つのコホモロジー類のマッセイ三重積は と定義される。 ${\displaystyle {\bar {u}}}$${\displaystyle (-1)^{\deg(u)+1}u}$${\displaystyle u}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle [u]}$

${\displaystyle \langle [u],[v],[w]\rangle =\{[{\bar {s}}w+{\bar {u}}t]\mid ds={\bar {u}}v,dt={\bar {v}}w\}.}$

3 つのコホモロジー類のマッセイ積は の元ではなく、 の元の集合であり、空の場合もあり、複数の元を含む場合もあります。 が次数を持つ場合、マッセイ積は次数 を持ち、 は微分 から来ます。 ${\displaystyle H^{*}(\Gamma )}$${\displaystyle H^{*}(\Gamma )}$${\displaystyle u,v,w}$${\displaystyle i,j,k}$${\displaystyle i+j+k-1}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle d}$

マッシー積は、積とが両方とも正確である場合に空ではない。この場合、そのすべての要素は商群の同じ要素に含まれる。 ${\displaystyle uv}$${\displaystyle vw}$

${\displaystyle \displaystyle H^{*}(\Gamma )/([u]H^{*}(\Gamma )+H^{*}(\Gamma )[w]).}$

したがって、マッシー積は、最初の 2 つまたは最後の 2 つの積がゼロになり、上記の商群の値を取るクラスの 3 つ組で定義された関数と見なすことができます。

もっと簡単に言えば、2 つの対積とが両方ともホモロジー ( ) で消える場合、つまり、いくつかのチェーンとについて およびである場合、三重積は「2 つの異なる理由」で消えます — それはおよびの境界です(ホモロジーの要素はサイクルであるため、および であるため)。境界チェーンとには不確定性がありますが、これはホモロジーに移ると消えます。また、と は同じ境界を持つため、これらを減算すると (符号規則は次数を正しく処理することです)、コサイクルが得られ (差の境界が消えます)、コホモロジーの明確に定義された要素が得られます — このステップは、n次元マップ/チェーンのヌルホモトピー/ヌルホモロジーにおける不確定性に関して st ホモトピーまたはホモロジー群を定義することに類似しています。 ${\displaystyle [u][v]}$${\displaystyle [v][w]}$${\displaystyle [u][v]=[v][w]=0}$${\displaystyle uv=ds}$${\displaystyle vw=dt}$${\displaystyle s}$${\displaystyle t}$${\displaystyle [u][v][w]}$${\displaystyle sw}$${\displaystyle ut}$${\displaystyle d(sw)=ds\cdot w+s\cdot dw,}$${\displaystyle [dw]=0}$${\displaystyle s}$${\displaystyle t}$${\displaystyle sw}$${\displaystyle ut}$${\displaystyle n+1}$

幾何学的には、多様体の特異コホモロジーでは、ポアンカレ双対性に従って、積を境界多様体と交差の観点から双対的に解釈できます。コサイクルの双対はサイクルであり、多くの場合、閉じた多様体（境界なし）として表現できます。積の双対は交差であり、境界積の減算の双対は、2 つの境界多様体を境界に沿って接着し、マッシー積のホモロジー類双対を表す閉じた多様体を取得することです。実際には、多様体のホモロジー類は常に多様体で表現できるわけではありません。表現するサイクルには特異点がある場合がありますが、この注意点があれば、双対の図は正しいです。

より一般的には、n個の元のn重マッシー積は、次の形式の元の集合として定義される。 ${\displaystyle \langle a_{1,1},a_{2,2},\ldots ,a_{n,n}\rangle }$${\displaystyle H^{*}(\Gamma )}$

${\displaystyle {\bar {a}}_{1,1}a_{2,n}+{\bar {a}}_{1,2}a_{3,n}+\cdots +{\bar {a}}_{1,n-1}a_{n,n}}$

方程式のすべての解について

${\displaystyle da_{i,j}={\bar {a}}_{i,i}a_{i+1,j}+{\bar {a}}_{i,i+1}a_{i+2,j}+\cdots +{\bar {a}}_{i,j-1}a_{j,j}}$、

および で、を表します。 ${\displaystyle 1\leq i\leq j\leq n}$${\displaystyle (i,j)\neq (1,n)}$${\displaystyle {\bar {u}}}$${\displaystyle (-1)^{\deg(u)}u}$

高次のマッシー積は、これらの方程式が解ける場合に限り、0 コホモロジー類を含むという意味で、すべての に対して後者の方程式系を解く際の障害物と考えることができます。このn重マッシー積は順序コホモロジー演算であり、空でなくなるためには多くの低次のマッシー演算に 0 が含まれる必要があり、さらに、それが表すコホモロジー類はすべて、低次の演算を含む項によって異なります。2 重マッシー積は通常のカップ積にすぎず、1 次コホモロジー演算であり、3 重マッシー積は上で定義した 3 重マッシー積と同じで、2 次コホモロジー演算です。 ${\displaystyle \langle a_{1,1},a_{2,2},\ldots ,a_{n,n}\rangle }$${\displaystyle 1\leq i\leq j\leq n}$${\displaystyle n-1}$

J.ピーター・メイ（1969）は、マトリック・マッシー積 と呼ばれるさらなる一般化を説明しました。これは、アイレンバーグ・ムーアスペクトル列の微分を記述するために使用できます。

ボロミアン環の補環^[1]は、三重マッシー積が定義され、ゼロでない例を示しています。補環のコホモロジーは、アレクサンダー双対性を使用して計算できることに注目してください。u、v、およびw が3 つの環の 1 共鎖双対である場合、任意の 2 つの積は対応する連結数の倍数であるためゼロになりますが、3 つの要素すべてのマッシー積はゼロでないため、ボロミアン環は連結されていることがわかります。代数は幾何学を反映しています。つまり、環はペアごとに連結されておらず、ペアごとの (2 重) 積が消えることに対応していますが、全体的には連結されており、3 重積が消えないことに対応しています。

より一般的には、n成分のブルニアンリンク(任意の n成分サブリンクはリンクされていないが、全体のn成分リンクは非自明にリンクされているリンク)はn倍のマッセイ積に対応し、n 成分サブリンクのリンク解除はn 倍のマッセイ積の消失に対応し、全体のn成分リンクはn倍のマッセイ積 の非消失に対応します。${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle (n-1)}$

上原とマッシー（1957）はマッシーの三重積を用いてホワイトヘッド積がヤコビ恒等式を満たすことを証明した。

高次のマッシー積は、ツイスト K 理論をAtiyah–Hirzebruch スペクトル列(AHSS)によって計算するときに現れます。特に、Hがツイスト 3 クラスの場合、Atiyah と Segal (2006) は、合理的に、クラスxに作用する AHSS の高次微分は、p個のHのコピーと 1 個のxのコピーのマッシー積で与えられることを示しました。 ${\displaystyle d_{2p+1}\ }$

多様体が形式的である場合（デニス・サリバンの意味で）、その空間上のすべてのマッシー積は消えなければなりません。したがって、与えられた多様体が形式的ではないことを示すための1つの戦略は、非自明なマッシー積を示すことです。ここで、形式的多様体とは、そのド・ラーム複体の有限次元「最小モデル」から（「形式的に」）有理ホモトピー型を演繹できる多様体です。デリーニュら（1975）は、コンパクトなケーラー多様体が形式的であることを示しました。

Salvatore & Longoni (2005) は、Massey 積を使用して、レンズ空間内の 2 点の配置空間のホモトピー型が、レンズ空間の 単純なホモトピー型に非自明に依存することを示しています。

• 戸田ブラケット

• アティヤ、マイケル、シーガル、グレアム(2006)、「ツイスト K 理論とコホモロジー」、SS チャーンに触発されて、南海数学論文集、第 11 巻、ハッケンサック、ニュージャージー: World Scientific Publishers、pp. 5–43、arXiv : math.KT/0510674、doi :10.1142/9789812772688_0002、ISBN 978-981-270-061-2、MR  2307274、S2CID  119726615
• ドリーニュ、ピエール、グリフィス、フィリップ、モーガン、ジョン、サリバン、デニス(1975)、「ケーラー多様体の実ホモトピー理論」、Inventiones Mathematicae、29 (3): 245–274、Bibcode :1975InMat..29..245D、doi :10.1007/BF01389853、MR  0382702、S2CID  1357812
• Massey, William S. (1958)、「高次コホモロジー演算」、Symposium internacional de topología algebraica (代数トポロジーに関する国際シンポジウム)、メキシコシティ: メキシコ国立自治大学およびユネスコ、pp. 145–154、MR  0098366
• メイ、J.ピーター（1969）、「マトリック・マッシー積」、代数ジャーナル、12（4）：533–568、doi：10.1016/0021-8693（69）90027-1、MR  0238929
• McCleary, John (2001)、「スペクトル列のユーザーガイド」、Cambridge Studies in Advanced Mathematics、第58巻（第2版）、Cambridge University Press、ISBN 978-0-521-56759-6、MR  1793722、第 8 章、「Massey 積」、pp. 302–304、「高次 Massey 積」、pp. 305–310、「マトリックス Massey 積」、pp. 311–312{{citation}}: CS1 maint: postscript (link)
• サルヴァトーレ、パオロ; ロンゴーニ、リカルド (2005)、「配置空間はホモトピー不変ではない」、トポロジー、44 (2): 375–380、arXiv : math/0401075、doi :10.1016/j.top.2004.11.002、MR  2114713、S2CID  15874513
• 上原 宏、マッシー、ウィリアム S. (1957)、「ホワイトヘッド積のヤコビ恒等式」、代数幾何学と位相幾何学、S. レフシェッツ記念シンポジウム、プリンストン、ニュージャージー州:プリンストン大学出版局、pp. 361–377、MR  0091473

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• RR Bruner (2009 年 6 月 2 日)。「An Adams Spectral Sequence Primer」(PDF) 。2013 年 1 月 7 日のオリジナル(PDF)からアーカイブ。– ブルーナーのメモ
• Juan S (2012 年 8 月 1 日)。「Adams スペクトル シーケンスの Massey 製品」。Stack Exchange。– これらの計算方法を理解するのに役立つ参考資料が含まれています
• Daniel Grady (2015 年 2 月 25 日)。「Massey 積と A ∞ {\displaystyle A_{\infty }} 構造」。MathOverflow。