署名（トポロジー）

位相幾何学の分野において、シグネチャは、 4 で割り切れる次元の有向多様体Mに対して定義される整数不変量です。

多様体のこの不変量は、4次元多様体に対するロクリン定理やヒルツェブルッフの署名定理から始まり、詳細に研究されてきました 。

次元4 kの連結かつ有向多様体M が与えられると、カップ積は「中間の」実コホモロジー群上の二次形式Qを生み出す。

${\displaystyle H^{2k}(M,\mathbf {R} )}$。

カップ製品の基本的なアイデンティティ

${\displaystyle \alpha^{p}\smile\beta^{q}=(-1)^{pq}(\beta^{q}\smile\alpha^{p})}$

p = q = 2 kのとき、積は対称であることがわかる。

${\displaystyle H^{4k}(M,\mathbf {R} )}$。

Mがコンパクトであると仮定すると、ポアンカレ双対性により、これは

${\displaystyle H^{0}(M,\mathbf {R} )}$

これは と同一視できる。したがって、これらの仮定の下では、カップ積はH ^{2 k} ( M , R )上の対称双線型形式を生じ、したがって二次形式Qを生じる。形式Q はポアンカレ双対性により非退化であり、それ自体と非退化的に対になる。^{[1]より一般的には、署名は}4n次元ポアンカレ双対性 を持つ任意の一般的なコンパクト多面体に対してこのように定義できる。${\displaystyle \mathbf {R} }$

Mのシグネチャは 定義によりQのシグネチャであり、Qを定義する任意の対角行列には正の要素と負の要素があります。^[2] Mが連結されていない場合、そのシグネチャは連結成分のシグネチャの合計として定義されます。 ${\displaystyle \sigma (M)}$${\displaystyle \sigma (M)=n_{+}-n_{-}}$${\displaystyle n_{+}}$${\displaystyle n_{-}}$

Mの次元が 4 で割り切れない場合、そのシグネチャは通常 0 と定義されます。L理論には別の一般化があります。シグネチャは 4 k次元 (単連結) 対称 L 群、または 4 k次元の二次 L 群として解釈でき、これらの不変量は他の次元では必ずしも消えるわけではありません。Kervaire不変量は、 4 k +2 次元のフレーム付き多様体 (二次 L 群) に対してmod 2 (つまり の要素)ですが、de Rham 不変量は、4 k +1次元の多様体(対称 L 群) に対して mod 2 不変量です。他の次元の L 群は消えます。 ${\displaystyle L^{4k},}$${\displaystyle L_{4k},}$${\displaystyle \mathbf {Z} /2}$${\displaystyle L_{4k+2}}$${\displaystyle L^{4k+1}}$

が奇数の 2 倍（偶数のみ）のとき、同じ構成から反対称双線型形式が得られます。このような形式にはシグネチャ不変量がありません。非退化の場合、このような形式はいずれも同値です。ただし、枠付き多様体がある場合に発生する形式の二次改良を行うと、結果として得られるε 二次形式は同値である必要はなく、Arf 不変量によって区別されます。多様体の結果として得られる不変量はKervaire 不変量と呼ばれます。 ${\displaystyle d=4k+2=2(2k+1)}$

• コンパクトな有向多様体MとNは定義により を満たし、キュネスの公式により を満たします。${\displaystyle \sigma (M\sqcup N)=\sigma (M)+\sigma (N)}$${\displaystyle \sigma (M\times N)=\sigma (M)\sigma (N)}$

• M が有向境界である場合、 .${\displaystyle \sigma (M)=0}$

• ルネ・トム（1954）は、多様体のシグネチャはコボルディズム不変量であり、特にポンチャギン 数の何らかの線形結合によって与えられることを示した。^[3]たとえば、4次元では、それは によって与えられる。フリードリヒ・ヒルツェブルッフ（1954）は、この線形結合の明示的な表現を多様体のL種数として見出した。${\displaystyle {\frac {p_{1}}{3}}}$

• ウィリアム・ブラウダー（1962）は、 4n次元ポアンカレ双対性を持つ単連結コンパクト多面体が、その署名がヒルツェブルッフ署名定理の表現を満たす場合にのみ、多様体とホモトピー同値であることを証明した。

• ロクリン定理によれば、スピン構造を持つ 4 次元単連結多様体のシグネチャは16 で割り切れます。

• ヒルツェブルッフの署名定理
• 乗法数列の種数
• ロクリン定理