ホモトピーリフティング特性

数学、特に代数位相幾何学におけるホモトピー理論において、ホモトピー持ち上げ特性（右持ち上げ特性のインスタンスまたは被覆ホモトピー公理としても知られる）は、位相空間Eから別の位相空間Bへの連続関数に関する技術的な条件である。これは、 Bで発生するホモトピーをEに「上階」に移動できるようにすることで、Bの「上」にEがあるという図式をサポートするために設計されている。

たとえば、被覆写像は、与えられたシートへの経路の局所的な持ち上げが一意であるという特性を持ちます。この一意性は、被覆写像のファイバーが離散空間であるためです。ホモトピー持ち上げ特性は、持ち上げる一意の方法が必要ない ベクトル束、ファイバー束、またはファイバー化への射影など、多くの状況で当てはまります。

すべての写像は位相空間間の連続関数であると仮定する。写像、空間が与えられたとき、 はホモトピーリフティング特性を持つと言える。^{[1] [2]}また、 はに関してホモトピーリフティング特性を持つと言える。 ${\displaystyle \pi \colon E\to B}$${\displaystyle Y\,}$${\displaystyle (Y,\pi )}$${\displaystyle \pi \,}$${\displaystyle Y}$

• 任意のホモトピー に対して、そして${\displaystyle f_{\bullet }\colon Y\times I\to B}$
• 任意の写像リフティング（すなわち、となる）に対して、${\displaystyle {\tilde {f}}_{0}\colon Y\to E}$${\displaystyle f_{0}=f_{\bullet }|_{Y\times \{0\}}}$${\displaystyle f_{\bullet }\circ \iota _{0}=f_{0}=\pi \circ {\tilde {f}}_{0}}$

ホモトピーリフティング（すなわち、 となる）が存在し、 も満たします。 ${\displaystyle {\tilde {f}}_{\bullet }\colon Y\times I\to E}$${\displaystyle f_{\bullet}}$${\displaystyle f_{\bullet }=\pi \circ {\tilde {f}}_{\bullet }}$${\displaystyle {\tilde {f}}_{0}=\left.{\tilde {f}}\right|_{Y\times \{0\}}}$

次の図はこの状況を示しています。

外側の四角形（点線の矢印なし）は、持ち上げ特性の仮定が真である場合にのみ可換です。持ち上げは、図を可換にする点線の矢印に対応します。この図は、ホモトピー拡大特性の図と双対です。この双対性は、エックマン-ヒルトン双対性と呼ばれます。 ${\displaystyle {\tilde {f}}_{\bullet }}$

写像がすべての空間に関してホモトピーリフティング特性を満たす場合、 はファイバ化と呼ばれます。または、単に はホモトピーリフティング特性を持つと言われることもあります。 ${\displaystyle \pi}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \pi}$${\displaystyle \pi}$

より弱いファイバ化の概念はセールファイバ化であり、このファイバ化ではホモトピーのリフティングはすべてのCW 複合体 に対してのみ必要となります。 ${\displaystyle Y}$

ホモトピー持ち上げ特性とホモトピー拡大特性には共通の一般化があります。 空間のペアが与えられた場合、簡単にするために と表記します。 さらに写像 が与えられた場合、次の条件を満たす場合、 はホモトピー持ち上げ拡大特性を持つと言えます。 ${\displaystyle X\supseteq Y}$${\displaystyle T\mathrel {:=} (X\times \{0\})\cup (Y\times [0,1])\subseteq X\times [0,1]}$${\displaystyle \pi \colon E\to B}$${\displaystyle (X,Y,\pi )}$

• 任意のホモトピー に対して、${\displaystyle f\colon X\times [0,1]\to B}$
• の任意の持ち上げに対して、 （ となる）を覆い、（ となる）を拡張するホモトピーが存在する。${\displaystyle {\tilde {g}}\colon T\to E}$${\displaystyle g=f|_{T}}$${\displaystyle {\tilde {f}}\colon X\times [0,1]\to E}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \pi {\tilde {f}}=f}$${\displaystyle {\tilde {g}}}$${\displaystyle \left.{\tilde {f}}\right|_{T}={\tilde {g}}}$

のホモトピー持ち上げ特性はを取ることによって得られるので、上記は単に となる。 ${\displaystyle (X,\pi )}$${\displaystyle Y=\emptyset }$${\displaystyle T}$${\displaystyle X\times \{0\}}$

のホモトピー拡大特性は、 を定数写像とすることで得られる。したがって、 Eへのすべての写像は、定数写像の の像点への持ち上げであることに変わりはない。 ${\displaystyle (X,Y)}$${\displaystyle \pi}$${\displaystyle \pi}$${\displaystyle \pi}$

• カバースペース
• 繊維化

• スティーンロッド、ノーマン（1951）。ファイバー束のトポロジー。プリンストン：プリンストン大学出版局。ISBN 0-691-00548-6。
• 胡詩仙（1959年）。ホモトピー理論（第3刷、1965年版）。ニューヨーク：Academic Press Inc. ISBN 0-12-358450-7。
• Husemoller, Dale (1994)。Fibre Bundles (第3版)。ニューヨーク: Springer。ISBN 978-0-387-94087-8。
• ハッチャー、アレン（2002）、代数的位相幾何学、ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-79540-0。
• Jean-Pierre Marquis (2006)「数学の認識論への道: ホモトピー理論」、J. Ferreiros およびJJ Gray編著『現代数学のアーキテクチャ』 239 ～ 260 ページ、オックスフォード大学出版局ISBN 978-0-19-856793-6  

• AV Chernavskii (2001) [1994]、「ホモトピーの被覆」、数学百科事典、EMS Press
• nラボにおけるホモトピーリフティング特性