分割補題

数学、特にホモロジー代数において、分割補題は、任意のアーベル圏において、以下の命題が短い完全列に対して同値であることを述べている。

0\longrightarrow A\mathrel {\overset {q}{\longrightarrow }} B\mathrel {\overset {r}{\longrightarrow }} C\longrightarrow 0.

左分割
射 $t : B \to A$ が存在し、 $tq は$ $A$ 上の恒等写像であり、 $id$ $A で$ あり、
右分割
射 $u : C \to B$ が存在し、 $ru は$ $C$ 上の恒等写像であり、 $id C で$ あり、
直和
$B$ から $A$ と $C$ の直和への同型 $h が$ 存在し、 $hq は$ $A$ の直和への自然な射影であり、は直和の $C$ への自然な射影である。 $rh^{-1}$

これらのステートメントのいずれかが成り立つ場合、シーケンスは分割完全シーケンスと呼ばれ、シーケンスは分割すると言われます。

上記の短い完全列では、列が分割されるため、最初の同型定理を改良することができ、次のようになります。

C ≅ B /ker r ≅ B / q (A)

（つまり、

C は

r

の共像または

q

の余核と同型である）

に：

B = q (A) \oplus u (C) ≅ A \oplus C

$ここで、最初の同型定理はC$ への射影に過ぎません。

これは、線型代数における階数零定理（形式 $V ≅ ker$ $T$ $\oplus im$ $T$ $）$ のカテゴリカル一般化です。

アーベル群のカテゴリの証明

$3. \Rightarrow 1.$ そして $3. \Rightarrow 2.$

まず、3. が 1. と 2. の両方を意味することを示すために、3. を仮定し、直和の $Aへの自然射影を$ $t$ として、直和への $C$ の自然注入を $uとして取ります。$

$1. \Rightarrow 3.$

1. が 3. を意味することを証明するには、まずBの任意の要素が集合 ( $ker t + im q$ ) に含まれることに注意します。これは、 $B$ のすべての $bについて、$ $b$ $= ($ $b$ $-$ $qt$ $($ $b$ $)) +$ $qt$ $($ $b$ $)$ であるためです。qt $($ $b$ $) は$ $im$ $q$ に含まれ、 $b$ $-$ $qt$ $($ $b$ $)$ $は$ $ker$ $t$ に含まれます。

t (b - qt (b)) = t (b) - tqt (b) = t (b) - (tq) t (b) = t (b) - t (b) = 0.

次に、 $im$ $q$ と $ker$ $t$ の交点は0 です。なぜなら、 $A$ に $a が存在して$ $q$ $($ $a$ $) =$ $b$ かつ $t$ $($ $b$ $) = 0$ である場合、 $0 =$ $tq$ $($ $a$ $) =$ $a$ であり、したがって $b$ $= 0$ だからです。

$これは、 B が$ $im q$ と $ker t$ の直和であることを証明します。したがって、 $B$ のすべての $b$ について、 $b は$ $A$ の $a$ 、 $ker$ $t$ の $k$ によって一意に識別でき、 $b$ $=$ $q$ $($ $a$ $) +$ $k$ となります。

正確には、 $ker r = im q$ です。部分列 $B ⟶ C ⟶ 0は、$ $r$ が全射であることを意味します。したがって、 $C$ の任意の $cに対して、$ $c$ $=$ $r$ $($ $b$ $) =$ $r$ $($ $q$ $($ $a$ $) +$ $k$ $) =$ $r$ $($ $k$ $)$ となるような $b$ $=$ $q$ $($ $a$ $) +$ $k$ が存在します。したがって、Cの任意のcに対して、c = r ( k ) かつr (ker t ) = Cとなるようなk がker tに存在します。

$r (k) = 0$ ならば、 $k は$ $im q$ に含まれます。 $im q$ と $ker t = 0$ の共通部分があるため、 $k = 0$ です。したがって、制約 $r : ker t \to C$ は同型であり、 $ker t は$ $C$ と同型です。

最後に、 $0 ⟶$ $A$ $⟶$ $B$ の正確さにより、 $im qは$ $A$ と同型です。したがって、Bは $A$ と $C$ の直和と同型であり、これは(3)を証明します。

$2. \Rightarrow 3.$

2. が 3. を意味することを示すために、同様の議論に従います。 $B$ の任意のメンバーは、集合 $ker r + im u$ に含まれます。なぜなら、 $B$ のすべての $b$ について、 $b$ $= ($ $b$ $-$ $ur$ $($ $b$ $)) +$ $ur$ $($ $b$ $)であり、これは$ $ker$ $r$ $+ im$ $u$ に含まれるからです。 $ker$ $r$ と $im$ $u$ の共通部分は $0$ です。なぜなら、 $r$ $($ $b$ $) = 0$ かつ $u$ $($ $c$ $) =$ $b$ の場合、 $0 =$ $ru$ $($ $c$ $) =$ $c と$ なるからです。

正確には、 $im q = ker r$ であり、 $q は$ 単射なので、 $im q は$ $A$ と同型であり、したがって $A は$ $ker r$ と同型です。 $ru$ は単射なので、 $u は$ 単射であり、したがって $im u は$ $C$ と同型です。したがって、 $B は再び$ $A$ と $C$ の直和です。

分割補題の別の「抽象的なナンセンス」証明は、完全にカテゴリー理論の用語で定式化される可能性があります。

非可換群

ここで述べた形式では、分割補題は群の完全なカテゴリでは成立せず、これはアーベルカテゴリではありません。

部分的に正しい

これは部分的に正しい。群の短い正確なシーケンスが左分割または直和 (1. または 3.) である場合、すべての条件が成り立つ。直和の場合、加数から注入したり加数に射影したりできるため、これは明らかである。左分割シーケンスの場合、写像 $t \times r : B \to A \times C は$ 同型を与えるため、 $B は$ 直和 (3.) であり、したがって同型を反転して自然な注入 $C \to A \times Cと合成すると、$ $r$ を分割する注入 $C \to B$ (2.) が得られる。

しかし、群の短い正確な列が右分割されている場合 (2.)、左分割や直和である必要はありません (1. も 3. も成り立ちません)。問題は、右分割の像が正規である必要がないことです。この場合に正しいのは、 $B は$ 半直積ですが、一般には直積ではないということです。

反例

反例として、最小の非可換群 $B ≅ S 3$ 、つまり $3$ 文字上の対称群を取ります。A $を$ 交代部分群とし、 $C = B / A ≅ {\pm1$ } とします。qと $r を$ それぞれ包含写像と符号写像とすると、

0\longrightarrow A\mathrel {\stackrel {q}{\longrightarrow }} B\mathrel {\stackrel {r}{\longrightarrow }} C\longrightarrow 0

は短完全列です。3. は $S 3$ がアーベル的でないために成立しませんが、2. は成り立ちます。生成元を任意の2 サイクルにマッピングすることにより、 $u : C \to B$ を定義できます。完全を期すために、1. が成立しないことに注意してください。任意のマップ $t$ $:$ $B$ $\to$ $A$ は、マップが群準同型でなければならないため、すべての 2 サイクルを恒等写像にマッピングする必要がありますが、2 サイクルの位数は2 であり、これは $A が$ $S$ $3$ の交代部分群、つまり位数 3の巡回群であるため、恒等元 (単位元は 3) 以外のAの要素の位数で割り切れません。しかし、すべての順列は2 サイクルの積であるため、 $t は$ 自明なマップであり、 $tq$ $:$ $A$ $\to$ $A$ は自明なマップであり、恒等写像ではありません。

参考文献

サンダース・マックレーン：ホモロジー。1975年版の再版、Springer Classics in Mathematics、ISBN 3-540-58662-8、p. 16
アレン・ハッチャー：代数的位相幾何学。2002年、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-79540-0、p. 147

アーベル群のカテゴリの証明

3. ⇒ 1.そして3. ⇒ 2.

1. ⇒ 3.

2. ⇒ 3.

非可換群

部分的に正しい

反例

参考文献

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ホモロジー代数

任意のアーベル圏

短い完全列

$3. \Rightarrow 1.$ そして $3. \Rightarrow 2.$

$1. \Rightarrow 3.$

$2. \Rightarrow 3.$