連続マッピングの次数

位相幾何学において、同じ次元の2 つのコンパクトな有向多様体間の連続写像の次数とは、写像の下で領域多様体が値域多様体の周りを包む回数を表す数値です。次数は常に整数ですが、方向に応じて正または負になることがあります。

写像の次数は、ブラウワー^[1]によって初めて定義され、ブラウワーは次数がホモトピー不変（ホモトピー間で不変）であることを示し、それを使ってブラウワーの不動点定理を証明した。現代数学では、写像の次数は位相幾何学で重要な役割を果たしている。物理学では、連続写像（たとえば、空間から何らかの秩序パラメータセットへの写像）の次数は位相量子数の一例である。

最も単純かつ最も重要なケースは、 -球面からそれ自身への連続写像の次数である（ の場合、これは巻き数と呼ばれる）。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle n=1}$

を連続写像とします。すると、 はプッシュフォワード準同型を誘導します。ここで、 は番目のホモロジー群です。 という事実を考慮すると、 は、ある固定された に対して という形式でなければならないことがわかります。これはの次数と呼ばれます。 ${\displaystyle f\colon S^{n}\to S^{n}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f_{*}\colon H_{n}\left(S^{n}\right)\to H_{n}\left(S^{n}\right)}$${\displaystyle H_{n}\left(\cdot \right)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle H_{n}\left(S^{n}\right)\cong \mathbb {Z} }$${\displaystyle f_{*}}$${\displaystyle f_{*}\colon x\mapsto \alpha x}$${\displaystyle \alpha \in \mathbb {Z} }$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle f}$

XとY を閉じた連結な向き 付けられた m次元多様体とします。ポアンカレ双対性は、多様体のトップホモロジー群がZと同型であることを意味します。向きを選択することは、トップホモロジー群の生成元を選択することを意味します。

連続写像f  : X → Y はH _m ( X )から H _m ( Y )への準同型写像f _{∗を誘導する。[} X ]、それぞれ [ Y ] をH _m ( X )、それぞれH _m ( Y )の選択生成子（またはX、Yの基本類）とする。このとき、fの次数はf _* ([ X ])と定義される。言い換えれば、

${\displaystyle f_{*}([X])=\deg(f)[Y]\,.}$

y がYに含まれ、f ⁻¹ ( y ) が有限集合である場合、 fの次数は、f ⁻¹ ( y )の各点におけるXのm番目の局所ホモロジー群を考慮することによって計算できます。つまり、の場合、 ${\displaystyle f^{-1}(y)=\{x_{1},\dots ,x_{m}\}}$

${\displaystyle \deg(f)=\sum _{i=1}^{m}\deg(f|_{x_{i}})\,.}$

微分位相幾何学の言語では、滑らかな写像の次数は次のように定義できる。fが滑らかな写像であり、その定義域がコンパクト多様体であり、p がfの正規値である場合、有限集合を考える。

${\displaystyle f^{-1}(p)=\{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\}\,.}$

p が正規の値であることにより、各x _iの近傍において、写像fは局所微分同相写像になります。微分同相写像は、向きを保存するか向きを反転するかのいずれかです。fが向きを保存する点x _iの数をrとし、向きを反転する点の数をsとします。fの共域が連結されている場合、数r  −  s はpの選択とは独立しており( nは独立ですが)、 fの次数はr  −  sと定義されます。この定義は、上記の代数的位相定義と一致します。

同じ定義は境界を持つコンパクト多様体にも適用できますが、その場合、f はXの境界をYの境界に送る必要があります。

2 を法とする次数(deg ₂ ( f )) を前と同じ方法で定義することもできますが、 Z ₂ホモロジーにおける基本クラスを取ります。この場合、deg ₂ ( f ) はZ ₂ ( 2 つの元を持つ体)の元であり、多様体は向き付け可能である必要はなく、n が前と同じようにpの逆像の数である場合、deg ₂ ( f ) はn を法として 2 になります。

微分形式の積分は、 (C ^∞ -)特異ホモロジーとド・ラーム・コホモロジーのペアリングを与える：、ここで はサイクルによって表されるホモロジー類とド・ラーム・コホモロジー類を表す閉じた形式である。向き付け可能なm-多様 体間の滑らかな写像f : X → Yに対して、${\textstyle \langle c,\omega \rangle =\int _{c}\omega }$${\displaystyle c}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \omega}$

${\displaystyle \left\langle f_{*}[c],[\omega ]\right\rangle =\left\langle [c],f^{*}[\omega ]\right\rangle ,}$

ここでf _∗とf ^{∗ は}それぞれ鎖と形式上の誘導写像である。f _∗ [ X ] = deg f · [ Y ]なので、

${\displaystyle \deg f\int _{Y}\omega =\int _{X}f^{*}\omega \,}$

Y上の任意のm形式ωに対して。

が有界領域で滑らかで、の正規の値であり、次数は次の式で定義される。 ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f:{\bar {\Omega}}\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle f}$${\displaystyle p\notin f(\partial \Omega )}$${\displaystyle \deg(f,\Omega ,p)}$

${\displaystyle \deg(f,\Omega ,p):=\sum _{y\in f^{-1}(p)}\operatorname {sgn} \det(Df(y))}$

ここで、はのヤコビ行列です。 ${\displaystyle Df(y)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle y}$

この次数の定義は、がに近い点であるような非正規な値に対して自然に拡張される。位相次数は の境界上の面積分を使用して計算することもできる。[ 2 ]^が連結なn次元多面体である場合、次数はその面の特定の細分上の行列式の和として表すことができる。^[3]${\displaystyle p}$${\displaystyle \deg(f,\Omega ,p)=\deg \left(f,\Omega ,p'\right)}$${\displaystyle p'}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle \オメガ}$

この度合いは以下の性質を満たす: ^[4]

• ならば、 となるようなが存在する。${\displaystyle \deg \left(f,{\bar {\Omega }},p\right)\neq 0}$${\displaystyle x\in \Omega }$${\displaystyle f(x)=p}$
• ${\displaystyle \deg(\operatorname {id} ,\Omega ,y)=1}$すべてに対して。${\displaystyle y\in \Omega }$
• 分解プロパティ:がおよびの互いに素な部分である場合。$${\displaystyle \deg(f,\Omega ,y)=\deg(f,\Omega _{1},y)+\deg(f,\Omega _{2},y),}$$${\displaystyle \オメガ _{1},\オメガ _{2}}$${\displaystyle \Omega =\Omega _{1}\cup \Omega _{2}}$${\displaystyle y\not \in f{\left({\overline {\Omega }}\setminus \left(\Omega _{1}\cup \Omega _{2}\right)\right)}}$
• ホモトピー不変性:およびとなるホモトピーを介して、およびがホモトピー同値である場合、となります。${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle F(t)}$${\displaystyle F(0)=f,\,F(1)=g}$${\displaystyle p\notin F(t)(\partial \Omega )}$${\displaystyle \deg(f,\Omega ,p)=\deg(g,\Omega ,p)}$
• 関数は上で局所的に一定です。${\displaystyle p\mapsto \deg(f,\Omega ,p)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}-f(\partial \Omega )}$

これらの特性は次数を一意に特徴づけ、次数はそれらによって公理的に定義することができます。

同様の方法で、境界を持つコンパクトな有向多様体間の写像の次数を定義できます。

写像の次数はホモトピー不変量です。さらに、球面からそれ自身への連続写像の場合、次数は完全なホモトピー不変量です。つまり、2 つの写像がホモトピックとなるのは、次の場合のみです。 ${\displaystyle f,g:S^{n}\to S^{n}\,}$${\displaystyle \deg(f)=\deg(g)}$

言い換えれば、次数はと の間の同型です。 ${\displaystyle \left[S^{n},S^{n}\right]=\pi _{n}S^{n}}$${\displaystyle \mathbf {Z} }$

さらにホップの定理によれば、任意の-次元閉有向多様体Mに対して、2つの写像がホモトピックとなるのは、${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f,g:M\to S^{n}}$${\displaystyle \deg(f)=\deg(g).}$

n球面の自己写像がn+1球面からn球面への写像に拡張可能であるのは、 の場合に限ります。(ここで、関数F は、 f がFの への制限であるという意味でf を拡張します。) ${\displaystyle f:S^{n}\to S^{n}}$${\displaystyle F:B_{n+1}\to S^{n}}$${\displaystyle \deg(f)=0}$${\displaystyle S^{n}}$

n次元ボックスB （ n個の区間の積）からへの連続関数fの位相次数deg( f , B ,0)を計算するアルゴリズムがある。ここでfは算術式の形で与えられる。^[5]このアルゴリズムの実装は、次数を計算するソフトウェアツールTopDeg（LGPL-3）で利用できる。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

• 被覆数、似た名前の用語。これは巻き数を一般化するものではなく、ボールによる集合の被覆を表すものであることに注意する。
• 密度（多面体）、多面体の類似物
• 位相次数理論

• フランダース、H. (1989)。微分形式と物理科学への応用。ドーバー。
• ヒルシュ、M. (1976)。微分位相幾何学。シュプリンガー・フェアラーク。ISBN 0-387-90148-5。
• ミルナー、JW (1997)。微分可能視点からの位相幾何学。プリンストン大学出版局。ISBN 978-0-691-04833-8。
• Outerelo, E.; Ruiz, JM (2009).マッピング次数理論. アメリカ数学会. ISBN 978-0-8218-4915-6。

• 「ブラウワー度」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• Rade T. Zivaljevic によるマッピング学位について詳しく見てみましょう。