離散モース理論

離散モース理論は、ロビン・フォーマンによって開発されたモース理論の組み合わせ論的適応である。この理論は、配置空間、 ^[1]ホモロジー計算、^{[2] [3]}ノイズ除去、^[4]メッシュ圧縮、^[5]位相データ解析など、応用数学やコンピュータサイエンスのさまざまな分野でさまざまな実用的な応用がある。^[6]

をCW複体とし、そのセルの集合を と表記します。接続関数を次のように定義します。 の2つのセルとが与えられたとき、の境界から への接続写像の次数をとします。境界演算子は によって生成される自由アーベル群の自己準同型で、によって定義されます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ ${\displaystyle \kappa \colon {\mathcal {X}}\times {\mathcal {X}}\to \mathbb {Z} }$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle {\mathcal {X}}}$${\displaystyle \kappa (\sigma ,~\tau )}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle \partial}$${\displaystyle {\mathcal {X}}}$

${\displaystyle \partial (\sigma )=\sum _{\tau \in {\mathcal {X}}}\kappa (\sigma ,\tau )\tau .}$

境界演算子の定義的性質は である。より公理的な定義^[7]では、次の要件が見つかる。${\displaystyle \partial \circ \partial \equiv 0}$${\displaystyle \forall \sigma ,\tau ^{\prime }\in {\mathcal {X}}}$

${\displaystyle \sum _{\tau \in {\mathcal {X}}}\kappa (\sigma ,\tau )\kappa (\tau ,\tau ^{\prime })=0}$

これは、境界演算子の上記の定義と、という要件の結果です。 ${\displaystyle \partial \circ \partial \equiv 0}$

実数値関数は、次の 2 つの特性を満たす場合、 離散モース関数と呼ばれます。${\displaystyle \mu \colon {\mathcal {X}}\to \mathbb {R} }$

1. 任意のセル について、の境界内で を満たすセルの数は最大で 1 です。${\displaystyle \sigma \in {\mathcal {X}}}$${\displaystyle \tau \in {\mathcal {X}}}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle \mu (\sigma )\leq \mu (\tau )}$
2. 任意のセルについて、その境界内に を満たすセルが含まれるセルの数は最大で 1 です。${\displaystyle \sigma \in {\mathcal {X}}}$${\displaystyle \tau \in {\mathcal {X}}}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle \mu (\sigma )\geq \mu (\tau )}$

^[8]によれば、固定セル が通常のCW 複合体である場合、2 つの条件の基数が同時に 1 になることはない。この場合、各セルは最大で 1 つの例外セル、つまり、より大きな値を持つ境界セル、またはより小さな値を持つ共境界セルとペアになることができる。ペアを持たないセル、つまり関数値が境界セルよりも厳密に高く、共境界セルよりも厳密に低いセルは、臨界セルと呼ばれる。したがって、離散モース関数は CW 複合体を という 3 つの異なるセル集合に分割する: 、ここで: ${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle {\mathcal {X}}}$${\displaystyle \sigma \in {\mathcal {X}}}$${\displaystyle \tau \in {\mathcal {X}}}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle {\mathcal {X}}={\mathcal {A}}\sqcup {\mathcal {K}}\sqcup {\mathcal {Q}}}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ペアになっていない重要なセルを表します。
2. ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$境界セルと対になっているセルを表し、
3. ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$共境界セルとペアになっているセルを示します。

構築により、 の次元セルと の次元セルの間には集合の一対一のセットが存在し、各自然数に対して で表すことができます。各 に対して、 の境界からその対になったセルへの接続マップの次数がの基になる環の単位であることが追加の技術的要件です。たとえば、整数上では、許可される値は のみです。この技術的要件は、たとえば が上の正則 CW 複体であると仮定すると保証されます。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle {\mathcal {K}}}$${\displaystyle (k-1)}$${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$${\displaystyle p^{k}\colon {\mathcal {K}}^{k}\to {\mathcal {Q}}^{k-1}}$ ${\displaystyle k}$${\displaystyle K\in {\mathcal {K}}^{k}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle p^{k}(K)\in {\mathcal {Q}}}$${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \pm 1}$${\displaystyle {\mathcal {X}}}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

離散モース理論の基本的な結果により、CW 複体は、臨界セルのみからなる新しい複体と相同性レベルで同型であることが確立されます。 および のペアのセルは、上の境界演算子を取得するために使用できる、隣接する臨界セル間の勾配パスを表します。 この構築の詳細については、次のセクションで説明します。 ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {K}}}$${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

グラデーションパスは、ペアになったセルのシーケンスです

${\displaystyle \rho =(Q_{1},K_{1},Q_{2},K_{2},\ldots ,Q_{M},K_{M})}$

を満たす。この勾配パスのインデックスは整数として定義される。 ${\displaystyle Q_{m}=p(K_{m})}$${\displaystyle \kappa (K_{m},~Q_{m+1})\neq 0}$

${\displaystyle \nu (\rho )={\frac {\prod _{m=1}^{M-1}-\kappa (K_{m},Q_{m+1})}{\prod _{m=1}^{M}\kappa (K_{m},Q_{m})}}.}$

ここでの分割は意味をなします。なぜなら、ペアのセル間の接続は でなければならないからです。構造上、離散モース関数の値はにわたって減少しなければならないことに注意してください。の場合、パスは2 つの臨界セルを接続していると言えます。この関係は と表現できます。この接続の多重度は整数 と定義されます。最後に、臨界セル上のモース境界演算子は で定義されます。 ${\displaystyle \pm 1}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle A,A'\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle \kappa (A,Q_{1})\neq 0\neq \kappa (K_{M},A')}$${\displaystyle A{\stackrel {\rho }{\to }}A'}$${\displaystyle m(\rho )=\kappa (A,Q_{1})\cdot \nu (\rho )\cdot \kappa (K_{M},A')}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle \Delta (A)=\kappa (A,A')+\sum _{A{\stackrel {\rho }{\to }}A'}m(\rho )A'}$

ここで、合計は から までのすべての勾配パス接続にわたって行われます。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle A'}$

連続モース理論からのよく知られた結果の多くは、離散設定にも適用されます。

をCW複体 に関連するモース複体とする。の - セルの数は- 番目のモース数と呼ばれる。を の- 番目のベッチ数とする。すると、任意の に対して、次の不等式^[9]が成立する。 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {X}}}$${\displaystyle m_{q}=|{\mathcal {A}}_{q}|}$${\displaystyle q}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle q}$${\displaystyle \beta_{q}}$${\displaystyle q}$${\displaystyle {\mathcal {X}}}$${\displaystyle N>0}$

${\displaystyle m_{N}\geq \beta _{N}}$、 そして

${\displaystyle m_{N}-m_{N-1}+\dots \pm m_{0}\geq \beta _{N}-\beta _{N-1}+\dots \pm \beta _{0}}$

さらに、のオイラー特性 は ${\displaystyle \chi ({\mathcal {X}})}$${\displaystyle {\mathcal {X}}}$

${\displaystyle \chi ({\mathcal {X}})=m_{0}-m_{1}+\dots \pm m_{\dim {\mathcal {X}}}}$

を境界演算子と離散モース関数を持つ正則CW複体とする。をモース境界演算子を持つ付随モース複体とする。このとき、ホモロジー群 の同型^{[10]が存在する。}${\displaystyle {\mathcal {X}}}$${\displaystyle \partial }$${\displaystyle \mu \colon {\mathcal {X}}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle H_{*}({\mathcal {X}},\partial )\simeq H_{*}({\mathcal {A}},\Delta ),}$

ホモトピー群についても同様です。

離散モース理論は、分子形状解析^[11]、デジタル画像/ボリュームのスケルトン化^[12] 、ノイズの多いデータからのグラフ再構成^[13] 、ノイズの多い点群のノイズ除去^{[14] 、}考古学における石器の解析^[15]などに応用されています。

• デジタルモールス信号理論
• 層状モース理論
• 形状分析
• 位相的組合せ論
• 離散微分幾何学