相同性の減少

数学において、縮小ホモロジーとは、代数位相幾何学におけるホモロジー理論に施された小さな修正であり、単一点のホモロジー群はすべて 0 に等しいという直感に基づいている。この修正により、より簡潔な記述が可能になり (アレクサンダー双対性など)、多くの例外的なケースが排除される (球面のホモロジー群など)。

Pが一点空間である 場合、通常の定義では、積分ホモロジー群

H ₀ (ポ)

は（無限巡回群）と同型であり、 i ≥ 1 の場合には${\displaystyle \mathbb {Z} }$

H _i ( P ) = {0}。

より一般的には、X が単体複体または有限CW 複体である場合、群 H ₀ ( X ) は、Xの連結成分を生成元とする自由アーベル群です。縮小されたホモロジーは、ランクrのこの群を、ランクr − 1の群に置き換える必要があります。それ以外の場合、ホモロジー群は変更されません。これを行うためのアドホックな方法は、0 番目のホモロジー類を連結成分の形式的な和としてではなく、係数を合計すると 0 になる形式的な和として考えることです。

空間Xのホモロジーの通常の定義では、鎖複体を考える。

${\displaystyle \dotsb {\overset {\partial _{n+1}}{\longrightarrow \,}}C_{n}{\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow \,}}C_{n -1}{\overset {\partial _{n-1}}{\longrightarrow \,}}\dotsb {\overset {\partial _{2}}{\longrightarrow \,}}C_{1}{\overset {\partial _{1}}{\longrightarrow \,}}C_{0}{\overset {\partial _{0}}{\longrightarrow \,}}0}$

そしてホモロジー群を で定義します。 ${\displaystyle H_{n}(X)=\ker(\partial _{n})/\mathrm {im} (\partial _{n+1})}$

縮小相同性を定義するために、まず拡張鎖複合体 から始める。

${\displaystyle \dotsb {\overset {\partial _{n+1}}{\longrightarrow \,}}C_{n}{\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow \,}}C_{n -1}{\overset {\partial _{n-1}}{\longrightarrow \,}}\dotsb {\overset {\partial _{2}}{\longrightarrow \,}}C_{1}{\overset {\partial _{1}}{\longrightarrow \,}}C_{0}{\overset {\epsilon }{\longrightarrow \,}}\mathbb {Z} \ 0まで}$

ここで、縮小ホモロジー群を 次のように定義する。${\displaystyle \epsilon \left(\sum _{i}n_{i}\sigma _{i}\right)=\sum _{i}n_{i}}$

${\displaystyle {\tilde {H}}_{n}(X)=\ker(\partial _{n})/\mathrm {im} (\partial _{n+1})}$nが正で の場合。${\displaystyle {\tilde {H}}_{0}(X)=\ker(\epsilon )/\mathrm {im} (\partial _{1})}$

明らかにすべての正のnに対して、であることが示せます。 ${\displaystyle H_{0}(X)={\tilde {H}}_{0}(X)\oplus \mathbb {Z} }$${\displaystyle H_{n}(X)={\tilde {H}}_{n}(X)}$

この修正された複体を使用して、テンソル積 を適用して係数を持つホモロジーを取得する標準的な方法、またはHom 関数を使用して作成されたコチェーン複体からの縮小 コホモロジー群を適用できます。

• Hatcher, A.、(2002) Algebraic Topology Cambridge University Press、ISBN  0-521-79540-0。単体複体と多様体のホモロジー理論、特異ホモロジーなどの詳細な議論。