商モジュール

代数学では、加群と部分加群が与えられれば、それらの商加群を構成することができる。^{[1] [2]} 以下に説明するこの構成は、商ベクトル空間の構成と非常によく似ている。^[3]環や群の類似の商構成と異なるのは、これらの場合、商を定義するために使用される部分空間が周囲空間と同じ性質ではないということである（つまり、商環は部分環ではなくイデアルによる環の商であり、商群は一般部分群ではなく正規部分群による群の商である）。

環R上の加群AとAの部分加群Bが与えられたとき、商空間A / Bは同値関係によって定義される。

${\displaystyle a\sim b}$ もし、もし、 ${\displaystyle ba\in B,}$

Aの任意のa, bに対して。^[4] A / Bの元は同値類である。A のaをその同値類 a + B に送る関数は商写像または射影写像と呼ばれ、加群準同型である。 ${\displaystyle [a]=a+B=\{a+b:b\in B\}.}$ ${\displaystyle \pi :A\to A/B}$

A / Bの加算演算 は、2 つの同値類に対して、これらの類からの2 つの代表の和の同値類として定義されます。また、 A / Bの要素とRの要素のスカラー乗算も同様に定義されます。これらの演算が明確に定義されていることを示さなければならないことに注意してください。すると、A / B はそれ自体がR加群となり、商加群と呼ばれます。記号では、Aのすべてのa、b、Rのすべてのrについて、次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}&(a+B)+(b+B):=(a+b)+B,\\&r\cdot (a+B):=(r\cdot a)+B.\end{aligned}}}$

実係数を持つ多項式環、および-モジュールを考える。サブモジュールを考える。 ${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$${\displaystyle A=\mathbb {R} [X],}$

${\displaystyle B=(X^{2}+1)\mathbb {R} [X]}$

Aの、つまりX ² + 1で割り切れるすべての多項式の部分モジュール。このモジュールによって決定される同値関係は、

P ( X )とQ ( X )をX ² + 1で割ったときに同じ余りを与える場合にのみ、 P ( X ) ~ Q ( X ) が成り立ちます。

したがって、商加群A / Bでは、X ² + 1は 0 と同じなので、X ² + 1 = 0と設定することで、A / B を⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$から得られるものと 見ることができます。この商加群は、実数⁠ ⁠上の加群として見ると、複素数と同型です。${\displaystyle \mathbb {R} .}$

• 商群
• 商環
• 商（普遍代数）