ジグザグ補題

数学、特にホモロジー代数において、ジグザグ補題は、特定の鎖複体のホモロジー群に特定の長い完全列が存在することを主張する。この結果は、あらゆるアーベル圏で有効である。

アーベル圏（アーベル群の圏や与えられた体上のベクトル空間の圏など）において、と が次の短い完全列に適合する鎖複体であるとします。 ${\displaystyle ({\mathcal {A}},\partial _{\bullet }),({\mathcal {B}},\partial _{\bullet }')}$${\displaystyle ({\mathcal {C}},\partial _{\bullet }'')}$

${\displaystyle 0\longrightarrow {\mathcal {A}}\mathrel {\stackrel {\alpha }{\longrightarrow }} {\mathcal {B}}\mathrel {\stackrel {\beta }{\longrightarrow }} {\数学 {C}}\longrightarrow 0}$

このようなシーケンスは、次の可換図の省略形です。

ここで、行は正確なシーケンスであり、各列はチェーン複素数です。

ジグザグ補題は、境界マップの集合が存在することを主張する。

${\displaystyle \delta _{n}:H_{n}({\mathcal {C}})\longrightarrow H_{n-1}({\mathcal {A}}),}$

これにより、次のシーケンスが正確になります。

写像と写像は、ホモロジーによって誘導される通常の写像です。境界写像については、以下で説明します。補題の名前は、シーケンス内の写像の「ジグザグ」動作に由来しています。ジグザグ補題の変形は、一般に「スネーク補題」として知られています (これは、以下に示すジグザグ補題の証明のエッセンスを抽出します)。 ${\displaystyle \alpha _{*}^{}}$${\displaystyle \beta _{*}^{}}$${\displaystyle \delta _{n}^{}}$

マップは標準的なダイアグラム追跡の議論を使用して定義されます。が のクラスを表すとすると、になります。行の正確さは が全射であることを意味します。したがって、となるものが必ず存在します。ダイアグラムの可換性により、 ${\displaystyle \delta _{n}^{}}$${\displaystyle c\in C_{n}}$${\displaystyle H_{n}({\mathcal {C}})}$${\displaystyle \partial _{n}''(c)=0}$${\displaystyle \beta _{n}^{}}$${\displaystyle b\in B_{n}}$${\displaystyle \beta _{n}^{}(b)=c}$

${\displaystyle \beta _{n-1}\partial _{n}'(b)=\partial _{n}''\beta _{n}(b)=\partial _{n}''(c)=0.}$

正確に言うと、

${\displaystyle \partial _{n}'(b)\in \ker \beta _{n-1}=\mathrm {im} \;\alpha _{n-1}.}$

したがって、 は単射なので、となる唯一の元が存在する。 は単射であり、 となるので、これは循環である。${\displaystyle \alpha _{n-1}^{}}$${\displaystyle a\in A_{n-1}}$${\displaystyle \alpha _{n-1}(a)=\partial _{n}'(b)}$${\displaystyle \alpha _{n-2}^{}}$

${\displaystyle \alpha _{n-2}\partial _{n-1}(a)=\partial _{n-1}'\alpha _{n-1}(a)=\partial _{n-1}'\partial _{n}'(b)=0,}$

なので 。つまり。これは が循環的であることを意味し、 のクラスを表します。ここで定義できます。 ${\displaystyle \partial ^{2}=0}$${\displaystyle \partial _{n-1}(a)\in \ker \alpha _{n-2}=\{0\}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle H_{n-1}({\mathcal {A}})}$

${\displaystyle \delta _{}^{}[c]=[a].}$

境界マップが定義されると、それが明確に定義されている（つまり、cとbの選択に依存しない）ことを示すことができます。証明では、上記と同様の図式追跡の議論を使用します。このような議論は、各グループでホモロジーのシーケンスが正確であることを示すためにも使用されます。

• マイヤー・ヴィエトリス配列

• ハッチャー、アレン（2002）。代数的位相幾何学。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-79540-0。
• ラング、セルジュ（2002）、代数学、大学院数学テキスト、第211巻（改訂第3版）、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-95385-4、MR  1878556
• マンクレス、ジェームズ・R. (1993)。『代数的位相幾何学の要素』ニューヨーク：ウェストビュー・プレス。ISBN 0-201-62728-0。