交差ホモロジー

数学の一分野である位相幾何学において、交差ホモロジーとは特異空間の研究に特に適した特異ホモロジーの類似物であり、 1974 年秋にマーク・ゴアスキーとロバート・マクファーソンによって発見され、その後数年間にわたって二人によって発展させられました。

^{交差コホモロジーは、}カジダン・ルスティヒ予想やリーマン・ヒルベルト対応を証明するために使われた。L 2コホモロジーと密接な関係がある。

コンパクトで、向きがあり、連結なn次元多様体Xのホモロジー群は、ポアンカレ双対性と呼ばれる基本的な性質を持つ。つまり、完全な対が存在する。

${\displaystyle H_{i}(X,\mathbb{Q})\times H_{ni}(X,\mathbb{Q})\to H_{0}(X,\mathbb{Q})\cong \mathbb{Q} .}$

古典的には、例えばアンリ・ポアンカレに遡ると、この双対性は交差理論の観点から理解されていた。

${\displaystyle H_{j}(X)}$

はj次元サイクルによって表されます。i次元サイクルと次元サイクルが一般的な位置にある場合、それらの交差は点の有限集合です。 Xの向きを使用して、これらの各点に符号を割り当てることができます。言い換えると、交差により0次元サイクルが生成されます。このサイクルのホモロジー類は、元のi次元サイクルと次元サイクルのホモロジー類にのみ依存することを証明できます。さらに、このペアリングが完全 であることを証明できます。 ${\displaystyle (ni)}$${\displaystyle (ni)}$

Xに特異点がある場合、つまり空間に似ていない場所がある場合、これらの考え方は成り立たなくなります。たとえば、サイクルの「一般位置」の概念はもはや意味をなさなくなります。ゴレスキーとマクファーソンは、一般位置が意味をなす「許容」サイクルのクラスを導入しました。彼らは、許容サイクルの同値関係（「許容境界」のみがゼロに等しい）を導入し、そのグループを次のように呼びました。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle IH_{i}(X)}$

この同値関係「交差ホモロジー」を法とするi次元の許容サイクル。さらに、 i次元と an次元の許容サイクルの交差により、ホモロジー類が明確に定義された (通常の) ゼロサイクルが得られることも示しました。 ${\displaystyle (ni)}$

交差ホモロジーは、もともとは層化を持つ適切な空間上で定義されていましたが、群​​は層化の選択とは独立であることがよくあります。層化空間にはさまざまな定義があります。交差ホモロジーの便利な定義は、n次元位相擬似多様体 です。これは、フィルタリングを持つ (パラコンパクト、ハウスドルフ) 空間Xです。

${\displaystyle \emptyset =X_{-1}\subset X_{0}\subset X_{1}\subset \cdots \subset X_{n}=X}$

Xの閉部分空間で、次のようになります。

• の各iとの各点xに対して、 X内のxの近傍、コンパクトな- 次元成層空間L、および濾過保存同相写像が存在する。これがL上の開錐である。${\displaystyle X_{i}\setminus X_{i-1}}$${\displaystyle U\subset X}$${\displaystyle (ni-1)}$ ${\displaystyle U\cong \mathbb {R} ^{i}\times CL}$${\displaystyle CL}$
• ${\displaystyle X_{n-1}=X_{n-2}}$。
• ${\displaystyle X\setminus X_{n-1}}$Xにおいて稠密である。

X が位相擬似多様体である場合、 Xのi次元層は空間です。 ${\displaystyle X_{i}\setminus X_{i-1}}$

例:

• Xがn次元単体複体であり、すべての単体がn単体に含まれ、n −1 単体がちょうど 2 つのn単体に含まれる場合、 Xの基底空間は位相擬多様体です。
• X が任意の複素準射影多様体（特異点を持つ可能性あり）である場合、その基礎となる空間はすべての層が偶数次元である位相擬似多様体です。

交差ホモロジー群は、サイクルが横断性からどれだけ逸脱できるかを測定する倒錯度の選択に依存します。（「倒錯度」という名前の由来は、Goresky (2010) によって説明されました。）倒錯度は関数です。 ${\displaystyle I^{\mathbf {p} }H_{i}(X)}$${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$

${\displaystyle \mathbf {p} \colon \mathbb {Z} _{\geq 2}\to \mathbb {Z} }$

整数から整数への変換 ${\displaystyle \geq 2}$

• ${\displaystyle \mathbf {p} (2)=0}$。
• ${\displaystyle \mathbf {p} (k+1)-\mathbf {p} (k)\in \{0,1\}}$。

2 番目の条件は、層化の変化に対する交差ホモロジー群の不変性を示すために使用されます。

の補完的な倒錯 は、 ${\displaystyle \mathbf {q} }$${\displaystyle \mathbf {p} }$

${\displaystyle \mathbf {p} (k)+\mathbf {q} (k)=k-2}$。

相補次元と相補倒錯の交差ホモロジー群は、双対にペアになっています。

• 最小の倒錯は です。その補数は の最大倒錯です。${\displaystyle p(k)=0}$${\displaystyle q(k)=k-2}$
• (下側の)中間の倒錯性 m は、の整数部によって定義されます。その補集合は、 の値を持つ上側の中間の倒錯性です 。倒錯性が指定されていない場合は、通常、下側の中間の倒錯性を意味します。空間がすべての層を偶数次元で成層化できる場合 (たとえば、任意の複素多様体)、交差ホモロジー群は奇数整数上の倒錯性の値とは独立しているため、上側の中間の倒錯性と下側の中間の倒錯性は同値です。${\displaystyle m(k)=[(k-2)/2]}$${\displaystyle (k-2)/2}$${\displaystyle [(k-1)/2]}$

ある成層と倒錯性p を持つn次元の位相擬似多様体X を固定します。

標準i単体から X（特異単体）への写像σは、次の場合許容可能と呼ばれる。 ${\displaystyle \Delta ^{i}}$

${\displaystyle \sigma ^{-1}\left(X_{nk}\setminus X_{nk-1}\right)}$

のスケルトンに含まれています。 ${\displaystyle i-k+p(k)}$${\displaystyle \Delta ^{i}}$

鎖複体は、 X上の特異鎖の複体の部分複体であり、鎖とその境界の両方が許容される特異単体の線型結合であるようなすべての特異鎖から構成される。特異交差ホモロジー群 (倒錯度p ) ${\displaystyle I^{p}(X)}$

${\displaystyle I^{p}H_{i}(X)}$

この複合体の相同グループです。

X が成層と互換性のある三角分割を持つ場合、単体交差ホモロジー群を同様の方法で定義でき、特異交差ホモロジー群と自然に同型になります。

交差ホモロジー群は、 Xの層別化の選択とは無関係です。

X が位相多様体である場合、交差ホモロジー群 (任意の倒錯性に対して) は通常のホモロジー群と同じになります。

特異点の解決

${\displaystyle f:X\to Y}$

複素多様体Yのr > 0に対して、ファイバーが次元r を持つYの点の空間の余次元が 2 rより大きい場合、そのファイバーは小さい解像度と呼ばれます。大まかに言えば、これはほとんどのファイバーが小さいことを意味します。この場合、射はXの (交差) ホモロジーからYの交差ホモロジーへの同型(中間の倒錯性を持つ) を誘導します。

2 つの異なる小さな分解を持つ多様体があり、それらのコホモロジー上に異なる環構造を持ちます。これは、交差 (コ) ホモロジー上には一般に自然な環構造が存在しないことを示しています。

交差コホモロジーに関するドリーニュの公式は、

${\displaystyle I^{p}H_{ni}(X)=I^{p}H^{i}(X)=H_{c}^{i}(IC_{p}(X))}$

ここで、交差複体、つまりX上の構成可能な層の特定の複体（導来カテゴリの要素として考えられるため、右側のコホモロジーはその複体のハイパーコホモロジーを意味する）。複体は、開集合上の定数層から始めて、それをより大きな開集合に繰り返し拡張し、導来カテゴリで切り捨てることによって与えられる。より正確には、それはデリーニュの公式によって与えられる。 ${\displaystyle IC_{p}(X)}$${\displaystyle IC_{p}(X)}$${\displaystyle X\setminus X_{n-2}}$${\displaystyle X\setminus X_{nk}}$

${\displaystyle IC_{p}(X)=\tau _{\leq p(n)-n}\mathbf {R} i_{n*}\tau _{\leq p(n-1)-n}\ mathbf {R} i_{n-1*}\cdots \tau _{\leq p(2)-n}\mathbf {R} i_{2*}\mathbb {C} _{X\setminus X_{n- 2}}}$

ここで は導来カテゴリの切断関手、 は へのの包含、 は上の定数層である。^[1]${\displaystyle \tau_{\leqp}}$${\displaystyle i_{k}}$${\displaystyle X\setminus X_{nk}}$${\displaystyle X\setminus X_{nk-1}}$${\displaystyle \mathbb {C} _{X\setminus X_{n-2}}}$${\displaystyle X\setminus X_{n-2}}$

上の定数層を局所系に置き換えることで、デリーニュの公式を使用して局所系内の係数を持つ交差コホモロジーを定義することができます。 ${\displaystyle X\setminus X_{n-2}}$

のような3次同次多項式 によって定義される滑らかな楕円曲線 ^[2]が与えられると、およびすべての偏導関数が消えるので、アフィン円錐は原点に孤立した特異点を持ちます。 これは、 が次数 の同次であり、導関数が次数 2 の同次であるためです。と包含写像を設定すると、交差複素数は次のように与えられます。 これは、コホモロジー の茎を見ることで明示的に計算できます。では、導出されたプッシュフォワードは滑らかな点上の恒等写像であるため、唯一の可能なコホモロジーは次数 に集中しています。 の場合、コホモロジーは、 に対してである ため、より興味深いものです 。ここで、 の閉包は原点 を含みます。 このようなものはどれもの開円板と の交差を考えることで精緻化できるため、コホモロジー を計算できます。これは、楕円曲線上の束、超平面束、および王数列がコホモロジー群を与えることを観察することによって行うことができます。したがって、茎のコホモロジー層は、これを切り捨てると、 非自明なコホモロジー層を与え、したがって、交差複体はコホモロジー層を持ちます。 ${\displaystyle X\subset \mathbb {CP} ^{2}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {V} (f)\subset \mathbb {C} ^{3}}$${\displaystyle f(0)=0}$${\displaystyle \partial _{i}f(0)=0}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle U=\mathbb {V} (f)-\{0\}}$${\displaystyle i:U\hookrightarrow X}$${\displaystyle IC_{\mathbb {V} (f)}}$$${\displaystyle \tau _{\leq 1}\mathbf {R} i_{*}\mathbb {Q} _{U}}$$${\displaystyle p\in \mathbb {V} (f)}$${\displaystyle p\neq 0}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle p=0}$$${\displaystyle \mathbf {R} ^{k}i_{*}\mathbb {Q} _{U}|_{p=0}=\mathop {\underset {V\subset U}{\text{colim}}} H^{k}(V;\mathbb {Q} )}$$${\displaystyle V}$${\displaystyle i(V)}$${\displaystyle p=0}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle H^{k}(U;\mathbb {Q} )}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$${\displaystyle X}$$${\displaystyle {\begin{aligned}H^{0}(U;\mathbb {Q} )&\cong H^{0}(X;\mathbb {Q} )=\mathbb {Q} \\H^{1}(U;\mathbb {Q} )&\cong H^{1}(X;\mathbb {Q} )=\mathbb {Q} ^{\oplus 2}\\H^{2}(U;\mathbb {Q} )&\cong H^{1}(X;\mathbb {Q} )=\mathbb {Q} ^{\oplus 2}\\H^{3}(U;\mathbb {Q} )&\cong H^{2}(X;\mathbb {Q} )=\mathbb {Q} \\\end{aligned}}}$$${\displaystyle p=0}$$${\displaystyle {\begin{matrix}{\mathcal {H}}^{2}\left(\mathbf {R} i_{*}\mathbb {Q} _{U}|_{p=0}\right)&=&\mathbb {Q} _{p=0}\\{\mathcal {H}}^{1}\left(\mathbf {R} i_{*}\mathbb {Q} _{U}|_{p=0}\right)&=&\mathbb {Q} _{p=0}^{\oplus 2}\\{\mathcal {H}}^{0}\left(\mathbf {R} i_{*}\mathbb {Q} _{U}|_{p=0}\right)&=&\mathbb {Q} _{p=0}\end{matrix}}}$$${\displaystyle {\mathcal {H}}^{0},{\mathcal {H}}^{1}}$${\displaystyle IC_{\mathbb {V} (f)}}$$${\displaystyle {\begin{matrix}{\mathcal {H}}^{0}(IC_{\mathbb {V} (f)})&=&\mathbb {Q} _{\mathbb {V} (f)}\\{\mathcal {H}}^{1}(IC_{\mathbb {V} (f)})&=&\mathbb {Q} _{p=0}^{\oplus 2}\\{\mathcal {H}}^{i}(IC_{\mathbb {V} (f)})&=&0&{\text{for }}i\neq 0,1\end{matrix}}}$$

複素IC _p ( X ) は以下の性質を持つ。

• 余次元2の閉集合の補集合上では、

${\displaystyle H^{i}(j_{x}^{*}IC_{p})}$はi + m ≠ 0の場合には0であり、i = − mの場合には群は定数局所系Cを形成する。

• ${\displaystyle H^{i}(j_{x}^{*}IC_{p})}$i  +  m  < 0の場合、0 となる。
• i  > 0の場合、 p ( a ) ≥  m  −  iとなる最小のaに対して、少なくともa以上の余次元の集合を除いては 0 となる。${\displaystyle H^{-i}(j_{x}^{*}IC_{p})}$
• i > 0の場合、 q ( a ) ≥ ( i )を満たす最小のaに対して、少なくともa以上の余次元の集合を除いて 0 となる。${\displaystyle H^{-i}(j_{x}^{!}IC_{p})}$

いつものように、q はpの相補的な倒錯です。さらに、この複体は、導来カテゴリの同型性を除き、これらの条件によって一意に特徴付けられます。条件は層の選択に依存しないため、交差コホモロジーも層の選択に依存しないことがわかります。

ヴェルディエ双対性は、導来カテゴリにおいて IC _pをn  = dim( X )だけシフトしたIC _{qに変換します。}

• 分解定理
• ボレル・ムーアホモロジー
• 位相的に層化された空間
• 交差理論
• 倒錯した束
• 混合ホッジ構造

• アルマン・ボレル『交差コホモロジー』。数学の進歩、バークハウザー・ボストンISBN 0-8176-3274-3 
• マーク・ゴレスキーとロバート・マクファーソン、「La duualité de Poincaré pour les espaces singuliers」。 CRアカデミー。科学。 t. 284 (1977)、1549–1551 ページ セリエ A。
• Goresky, Mark (2010)、「perverse sheaf」という用語の語源は何ですか?
• ゴレスキー、マーク; マクファーソン、ロバート、交差ホモロジー理論、トポロジー19（1980）、第2号、135-162。doi ：10.1016/0040-9383（80）90003-8
• Goresky, Mark; MacPherson, Robert, Intersection homology. II , Inventiones Mathematicae 72 (1983), no. 1, 77–129. 10.1007/BF01389130 MR 0696691 これは、交差コホモロジーに対する層理論的アプローチを提供します。
• フランシス・カーワン、ジョナサン・ウルフ『交差ホモロジー理論入門』 ISBN 1-58488-184-4 
• クレイマン、スティーブン。交差ホモロジー理論の発展。アメリカにおける数学の世紀、第2部、 Hist. Math. 2、Amer. Math. Soc.、1989年、pp. 543-585。
• 「交差ホモロジー」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]

• 「倒錯した束」という用語の語源は何ですか? (「交差ホモロジー」という用語の語源に関する議論を含む) – MathOverflow