円錐（トポロジー）

位相幾何学、特に代数位相幾何学では、位相空間の円錐は、 X を円筒状に引き伸ばし、その端面の 1 つを点に縮めることによって直感的に得られます。X の円錐はまたは で 表されます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle CX}$${\displaystyle \operatorname {円錐} (X)}$

正式には、 Xの円錐は次のように定義されます。

${\displaystyle CX=(X\times [0,1])\cup _{p}v\ =\ \varinjlim {\bigl (}(X\times [0,1])\hookleftarrow (X\times \{0\})\xrightarrow {p} v{\bigr )},}$

ここで、は点（円錐の頂点と呼ばれる）であり、 はその点への投影です。言い換えると、これは円柱の面を投影に沿った点に接続した結果です。 ${\displaystyle v}$${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X\times [0,1]}$${\displaystyle X\times \{0\}}$${\displaystyle v}$${\displaystyle p:{\bigl (}X\times \{0\}{\bigr )}\to v}$

がユークリッド空間の空でないコンパクト部分空間である場合、 上の円錐はから任意の固定点への線分の和集合に同相であり、これらの線分はそれ自体でのみ交差する。つまり、コンパクト空間が定義されている場合、位相円錐はコンパクト空間の幾何学的円錐と一致する。しかし、位相円錐の構成はより一般的である。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle v\not \in X}$${\displaystyle v}$

円錐は結合の特殊なケースであり、1つの点と結合するものである。^{[1] : 76}${\displaystyle CX\simeq X\star \{v\}=}$${\displaystyle X}$${\displaystyle v\not \in X}$

ここでは、幾何学的円錐(はユークリッド空間の空でないコンパクト部分空間 )をよく使用します。考慮する空間はコンパクトであるため、同相写像まで同じ結果が得られます。 ${\displaystyle CX}$${\displaystyle X}$

• 実数直線上の点p上の円錐は、内の線分です。${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \{p\}\times [0,1]}$
• 2 つの点 {0, 1} 上の円錐は、{0} と {1} を端点とする「V」字型になります。
• 実数直線の閉区間 I上の円錐は、塗りつぶされた三角形（辺の 1 つがI）であり、2 単体とも呼ばれます（最後の例を参照）。
• 多角形 P上の円錐は、底辺がPの角錐です。
• 円盤上の円錐は、古典幾何学の立体円錐です(概念の名前の由来)。
• 円錐は次のように表される。

${\displaystyle \{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}=1{\mbox{ かつ }}z=0\}}$

円錐の曲面です。

${\displaystyle \{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}=(z-1)^{2}{\mbox{ かつ }}0\leq z\leq 1\}.}$

これは、閉じた円板に同相です。

より一般的な例: ^{[1] : 77、演習1}

• n球面上の円錐は閉じた ( n + 1)球体に同相である。
• n球体上の円錐も閉じた ( n + 1)球体に同相である。
• n単体上の円錐は( n + 1) 単体です。

すべての円錐は頂点に接続できるため、経路連結である。さらに、すべての円錐はホモトピーによって頂点に収縮可能である。

${\displaystyle h_{t}(x,s)=(x,(1-t)s)}$。

円錐は、まさに収縮可能な空間の 部分空間として空間を埋め込むため、代数的位相幾何学で使用されます。

Xがコンパクトかつハウスドルフである場合(基本的に、X をユークリッド空間に埋め込むことができる場合)、円錐はXのすべての点を 1 つの点に結合する線の集合として視覚化できます。ただし、 Xがコンパクトでない場合やハウスドルフでない場合は、この図は当てはまりません。これは、一般に X上の商位相は、 X を1 つの点に結合する線の集合よりも細かくなるためです。 ${\displaystyle CX}$${\displaystyle CX}$

写像は位相空間Topのカテゴリ上の関手を誘導する。が連続写像である場合、は次のように定義される。 ${\displaystyle X\mapsto CX}$ ${\displaystyle C\colon \mathbf {Top} \to \mathbf {Top} }$ ${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle Cf\colon CX\to CY}$

${\displaystyle (Cf)([x,t])=[f(x),t]}$、

ここで、角括弧は同値クラスを表します。

が尖った空間である場合、関連する構成として、次式で表される 縮小円錐が存在する。${\displaystyle (X,x_{0})}$

${\displaystyle (X\times [0,1])/(X\times \left\{0\right\}\cup \left\{x_{0}\right\}\times [0,1])}$

ここで、被約円錐の基点を の同値類とします。この定義により、自然な包含は基底付き写像になります。この構成により、尖った空間のカテゴリからそれ自体への関手も得られます。 ${\displaystyle (x_{0},0)}$${\displaystyle x\mapsto (x,1)}$

• コーン（曖昧さ回避）
• サスペンション（トポロジー）
• サスペンション解除
• マッピングコーン（トポロジー）
• 結合（トポロジー）

• アレン・ハッチャー『代数的位相幾何学』ケンブリッジ大学出版局、ケンブリッジ、2002年。xii+544 pp. ISBN 0-521-79160-XおよびISBN 0-521-79540-0  
• 「円錐」。PlanetMath。