単体ホモロジー

代数的位相幾何学において、単体ホモロジーは単体複体のホモロジー群の列である。これは、複体内の特定の次元の穴の数の概念を形式化する。これは連結成分の数を一般化する（次元 0 の場合）。

単体ホモロジーは、三角形のn次元類似体であるn単体を構成要素とする位相空間を研究する方法として生まれました。これには、点 (0 単体)、線分 (1 単体)、三角形 (2 単体)、および四面体 (3 単体) が含まれます。定義により、このような空間は単体複体(より正確には、抽象単体複体の幾何学的実現)に同相です。このような同相は、与えられた空間の三角形分割と呼ばれます。多くの興味深い位相空間は、あらゆる滑らかな多様体(ケアンズとホワイトヘッド)を含め、三角形分割できます。^{[1] : sec.5.3.2}

単体ホモロジーは、任意の抽象単体複体に対する単純な処方箋によって定義されます。単体ホモロジーは、関連する位相空間のみに依存するという注目すべき事実があります。^{[2] : sec.8.6}その結果、ある空間を別の空間と区別するための計算可能な方法が得られます。

単体ホモロジーを定義する上で重要な概念は、単体の方向という概念です。定義により、 k単体の方向は頂点の順序 ( v ₀、...、v _k ) で表され、2 つの順序が同じ方向を定義するのは、それらが偶数順列だけ異なる場合のみであるという規則があります。したがって、すべての単体には 2 つの方向があり、2 つの頂点の順序を入れ替えると、方向が反対の方向に変わります。たとえば、1 単体の方向を選択することは、2 つの可能な方向のいずれかを選択することになり、2 単体の方向を選択することは、「反時計回り」の意味を選択することと同じです。

Sを単体複体とする。単体k連鎖は有限の形式和である。

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}c_{i}\sigma _{i},\,}$

ここで、各c _{i は}整数であり、σ _{i は}向き付けられたk単体です。この定義では、向き付けられた各単体は、向きが反対の単体の負の値に等しいと宣言します。たとえば、

${\displaystyle (v_{0},v_{1})=-(v_{1},v_{0}).}$

S上のk鎖の群はC _kと表記されます。これは、S内のk単体の集合と 1 対 1 に対応する基底を持つ自由アーベル群です。基底を明示的に定義するには、各単体の方向を選択する必要があります。これを行う標準的な方法の 1 つは、すべての頂点の順序を選択し、各単体にその頂点の誘導順序に対応する方向を与えることです。

σ = ( v ₀ ,..., v _k )をC _kの基底要素として見た有向k単体とする。境界演算子

${\displaystyle \partial _{k}:C_{k}\rightarrow C_{k-1}}$

は次のように定義される準同型である:

${\displaystyle \partial _{k}(\sigma )=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}(v_{0},\dots ,{\widehat {v_{i}}},\dots ,v_{k}),}$

ここで、方向付けられた単体

${\displaystyle (v_{0},\dots ,{\widehat {v_{i}}},\dots ,v_{k})}$

σのi^番目の面であり、i^番目の頂点を削除することによって得られます。

C _kにおいて、部分群の要素

${\displaystyle Z_{k}:=\ker \partial _{k}}$

サイクルと呼ばれ、サブグループ

${\displaystyle B_{k}:=\operatorname {im} \partial _{k+1}}$

境界で構成されていると言われています。

なぜなら、2番目の面が取り除かれた であるからである。幾何学的に言えば、これは、あらゆるものの境界の境界には境界がないということである。同様に、アーベル群 ${\displaystyle (-1)^{i+j-1}(v_{0},\dots ,{\widehat {v_{i}}},\dots ,{\widehat {\widehat {v_{j}}}},\dots ,v_{k})=-(-1)^{i+j}(v_{0},\dots ,{\widehat {\widehat {v_{i}}}},\dots ,{\widehat {v_{j}}},\dots ,v_{k})}$${\displaystyle {\widehat {\widehat {v_{x}}}}}$${\displaystyle \partial ^{2}=0}$

${\displaystyle (C_{k},\partial _{k})}$

連鎖複合体を形成する。別の同等のステートメントは、 B _kがZ _kに含まれるということです。

例として、頂点が の向きにある四面体を考えてみましょう。定義により、その境界は次のように与えられます。 ${\displaystyle w,x,y,z}$

${\displaystyle xyz-wyz+wxz-wxy}$。

境界の境界は次のように与えられる。

${\displaystyle (yz-xz+xy)-(yz-wz+wy)+(xz-wz+wx)-(xy-wy+wx)=0}$

Sのk^番目のホモロジー群H k_は商アーベル群 として定義される。

${\displaystyle H_{k}(S)=Z_{k}/B_{k}\,.}$

したがって、ホモロジー群H _k ( S )が非ゼロになるのは、境界ではないkサイクルがS上に存在する場合だけです。ある意味では、これは複合体にk次元の穴があることを意味します。たとえば、図に示すように、1 つの辺に沿って 2 つの三角形 (内部を持たない) を接着して得られる複合体Sを考えます。各三角形の辺は、サイクルを形成するように配置できます。これらの 2 つのサイクルは、構成上、境界ではありません (すべての 2 チェーンが 0 であるため)。ホモロジー群H ₁ ( S )は、前述の 2 つのサイクルによって基底が与えられるZ ²と同型であると計算できます。これにより、 S に2 つの「1 次元の穴」がある という非公式な考えが明確になります。

穴は異なる次元を持つことができる。k番目^のホモロジー群のランク、つまり

${\displaystyle \beta _{k}=\operatorname {rank} (H_{k}(S))\,}$

はSのk^番目 のベッティ数と呼ばれ、 Sのk次元の穴の数の尺度となります。

S を三角形（内部を持たない）とし、単体複体として見ます。したがって、Sには 3 つの頂点（v ₀、v ₁、v _{2 ）と 3 つの辺（ 1 次元単体）があります。} Sのホモロジー群を計算するには、まず連鎖群C _{k を}記述します。

• C ₀は基底( v ₀ )、( v ₁ )、( v _{2 ) を持つ}Z ³と同型である。
• C _{1 は}、向き付けられた1単体( v ₀、v ₁ )、 ( v ₀、v ₂ )、および( v ₁、v ₂ )によって与えられる基底を持つZ ³と同型です。
• C ₂は、三角形の内部が想定されていないため単体が存在しないことから、自明な群です${\displaystyle (v_{0},v_{1},v_{2})}$

境界準同型 ∂ : C ₁ → C ₀は次のように与えられる:

${\displaystyle \partial (v_{0},v_{1})=(v_{1})-(v_{0})}$

${\displaystyle \partial (v_{0},v_{2})=(v_{2})-(v_{0})}$

${\displaystyle \partial (v_{1},v_{2})=(v_{2})-(v_{1})}$

C ₋₁ = 0なので、すべての 0 チェーンはサイクルです (つまり、Z ₀ = C ₀ )。さらに、0 境界のグループB _{0は、これらの式の右側の 3 つの要素によって生成され、} C ₀の 2 次元サブグループを作成します。したがって、 0 番目のホモロジー グループ H ₀ ( S ) = Z ₀ / B _0は、 Zと同型であり、基底は (たとえば) 0 サイクルの像 ( v _{0 ) によって与えられます。実際、商グループでは 3 つの頂点すべてが等しくなります。これは、} Sが接続されているという事実を表します。

次に、 1-サイクル群は、上記の準同型写像 ∂ の核であり、Zと同型で、基底は（たとえば）( v ₀、v ₁ ) − ( v ₀、v ₂ ) + ( v ₁、v ₂ )で与えられます。 （図から、この 1-サイクルが 2 つの可能な方向のいずれかで三角形の周りを回っていることがわかります。）C ₂ = 0なので、 1-境界群はゼロであり、したがって第 1 ホモロジー群 H ₁ ( S )はZ /0 ≅ Zと同型です。これにより、三角形に 1 次元の穴が 1 つあるという考えが明確になります。

次に、定義により 2 サイクルは存在しないため、C ₂ = 0 (自明な群) です。したがって、2 番目のホモロジー群 H ₂ ( S )は 0 です。0 または 1 に等しくないすべてのiについて、 H _i ( S )についても同じことが言えます。 したがって、三角形のホモロジー接続性は0 です ( kまでの縮小ホモロジー群が自明である最大のkです)。

S を、単体複体として見た四面体（内部を持たない）とします。したがって、 S には 4 つの 0 次元頂点、6 つの 1 次元辺、および 4 つの 2 次元面があります。四面体のホモロジー群の構築については、ここで詳しく説明されています。 ^[3] H ₀ ( S )はZと同型であり、H ₂ ( S )もZと同型であり、他のすべての群は自明であることがわかります。したがって、四面体の ホモロジー接続性は0 です。

四面体にその内部が含まれている場合、H ₂ ( S )も自明です。

一般に、S がd次元単体である場合、次の式が成り立ちます。

• S をその内部なしで考えると、 H ₀ ( S ) = ZかつH _{d −1} ( S ) = Zとなり、他のホモロジーも自明となる。
• S をその内部とともに考えると、 H ₀ ( S ) = Zとなり、他のホモロジーはすべて自明になります。

SとT を単体複体とする。SからTへの単体写像 f は、 Sの頂点集合からTの頂点集合への関数であり、 Sの各単体の像(頂点集合として見たもの) はTの単体となる。単体写像f : S → T は、各整数kに対してホモロジー群H _k ( S ) → H _k ( T )の準同型を決定する。これは、 Sの鎖複体からTの鎖複体への鎖写像に関連付けられた準同型である。明示的には、この鎖写像はk鎖 上で次のように与えられる。

${\displaystyle f((v_{0},\ldots ,v_{k}))=(f(v_{0}),\ldots ,f(v_{k}))}$

f ( v ₀ )、...、f ( v _k )がすべて異なる場合、それ以外の場合はf (( v ₀、...、v _k )) = 0です。

この構成により、単体ホモロジーは単体複体からアーベル群への関数になります。これは、ブラウワー不動点定理や単体ホモロジーの位相不変性 など、理論の応用に不可欠です。

特異ホモロジーは、計算よりも理論に適した関連理論です。特異ホモロジーはすべての位相空間に対して定義され、三角形分割ではなく位相のみに依存します。また、三角形分割可能な空間の単体ホモロジーと一致します。 ^{[4] : thm.2.27}ただし、単体複体の単体ホモロジーを自動的かつ効率的に計算できるため、単体ホモロジーは、画像解析、医療用画像処理、一般的なデータ分析などの実際の状況への応用において重要になっています。

もう一つの関連する理論は細胞相同性です。

多くのコンピュータアプリケーションにおける標準的なシナリオは、位相的な特徴を見つけたいポイント（測定値、ビットマップ内の暗いピクセルなど）のコレクションです。ホモロジーは、単体複合体などの組み合わせデータから簡単に計算できるため、このような特徴を検索するための定性的なツールとして機能します。ただし、データポイントは最初に三角形分割される必要があります。つまり、データを単体複合体の近似値に置き換えます。永続的ホモロジーの計算^[5]には、さまざまな解像度でのホモロジーの分析が含まれ、解像度が変更されても持続するホモロジークラス（ホール）が登録されます。このような特徴を使用して、分子の構造、X線内の腫瘍、および複素データ内のクラスター構造を検出できます。

より一般的には、単体ホモロジーは、データマイニングの分野における技術である位相データ解析において中心的な役割を果たします。

• GAP 単体ホモロジーを使用すると、大きな単体複合体の単体ホモロジーを正確かつ効率的に計算できます。
• 永続的ホモロジーを計算するためのMATLABツールボックスPlex (Vin de Silva、Gunnar Carlsson ) は、このサイトから入手できます。
• C++でのスタンドアロン実装は、Perseus、Dionysus、および PHAT ソフトウェア プロジェクトの一部として利用できます。
• Pythonには、scikit-tda、Persim、giotto-tda、GUDHI などのライブラリがあります。GUDHI は、機械学習用のトポロジカルな特徴を生成することを目的としています。これらは、 PyPIリポジトリにあります。

• 単体ホモトピー

• 科学計算における位相幾何学的手法
• 計算ホモロジー（立方ホモロジーともいう）