不変多様体

数学の一分野である力学系において、不変多様体とは、力学系の作用に対して不変な位相多様体である。 ^{[1]例としては、}低速多様体、中心多様体、安定多様体、 不安定多様体、副中心多様体、慣性多様体などがある。

常にそうであるとは限りませんが、一般的には不変多様体は平衡点の周りの不変部分空間の「摂動」として構築されます。散逸系では、最も重大で最も長く持続するモードに基づく不変多様体は、ダイナミクスの効果的な低次元の縮小モデルを形成します。^[2]

フローがある微分方程式 を考えます。フローは、がある微分方程式の解です。 集合は、各 に対して、その最大存在区間で定義された解 がにその像を持つ場合、微分方程式の不変集合と呼ばれます。あるいは、各 を通過する軌道はにあります。さらに、が多様体である場合、は不変多様体と呼ばれます。^[3]${\displaystyle dx/dt=f(x),\ x\in \mathbb {R} ^{n},}$${\displaystyle x(t)=\phi _{t}(x_{0})}$${\displaystyle x(0)=x_{0}}$${\displaystyle S\subset \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle x_{0}\in S}$${\displaystyle t\mapsto \phi _{t}(x_{0})}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x_{0}\in S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

任意の固定パラメータに対して、一対の連立微分方程式によって支配される 変数を考える。${\displaystyle a}$${\displaystyle x(t),y(t)}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=ax-xy\quad {\text{and}}\quad {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}=-y+x^{2}-2y^{2}.}$

原点は平衡です。このシステムには、原点を通る 2 つの不変多様体があります。

• 垂直線は、方程式が になるとき、 として不変であり、 がゼロのままであることを保証します。この不変多様体 は 、すべての初期条件が漸近的に原点に近づく解につながるため、のとき、原点の安定多様体です。${\displaystyle x=0}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle a\geq 0}$${\displaystyle x(0)=0,\ y(0)>-1/2}$
• 放物線はすべてのパラメータ に対して不変です。この不変性は、時間微分 を考慮し、不変多様体に必要なように上で 0 になることで確認できます。この放物線は、原点の不安定多様体です。この放物線は、原点の中心多様体、より正確には低速多様体です。${\displaystyle y=x^{2}/(1+2a)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(y-{\tfrac {x^{2}}{1+2a}}\right)}$${\displaystyle y={\tfrac {x^{2}}{1+2a}}}$${\displaystyle a>0}$${\displaystyle a=0}$
• なぜなら、原点の周りには不変の安定多様体、つまりすべてを含む安定多様体しか存在しないからです。${\displaystyle a<0}$${\displaystyle (x,y),\ y>-1/2}$

微分方程式

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=f(x,t),\ x\in \mathbb {R} ^{n},\ t\in \mathbb {R} ,}$

は非自律的な力学系を表し、その解は の形をとり、 となる。このような系の拡張位相空間では、任意の初期面は不変多様体を生成する。 ${\displaystyle x(t;t_{0},x_{0})=\phi _{t_{0}}^{t}(x_{0})}$${\displaystyle x(t_{0};t_{0},x_{0})=x_{0}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} }$${\displaystyle M_{0}\subset \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}=\cup _{t\in \mathbb {R} }\phi _{t_{0}}^{t}(M_{0}).}$

根本的な疑問は、この不変多様体の大きなファミリーの中から、システム全体のダイナミクスに最も大きな影響を与える不変多様体をどのように見つけるかということです。非自律的な力学系の拡張された位相空間におけるこれらの最も影響力のある不変多様体は、ラグランジュコヒーレント構造として知られています。^[4]

• 双曲集合
• ラグランジアンコヒーレント構造
• スペクトル部分多様体