コルモゴロフ・アーノルド・モーザー定理

コルモゴロフ・アーノルド・モーザー( KAM )定理は、力学系における微小摂動下での準周期運動の持続性に関する定理である。この定理は、古典力学の摂動論で生じる小因子問題を部分的に解決する。

問題は、保守的な力学系の小さな摂動が永続的な準周期 軌道をもたらすかどうかである。この問題に対する最初の突破口は、1954年にアンドレイ・コルモゴロフによって示された。 ^[1]これは、 1962年にユルゲン・モーザー^[2]（滑らかなねじれ写像の場合）と1963年にウラジミール・アーノルド^[3]（解析的ハミルトン系の場合）によって厳密に証明され、拡張され、一般的な結果はKAM定理として知られている。

アーノルドは当初、この定理は太陽系の運動やn体問題の他の例に適用できると考えていたが、多数の物体に対する問題の定式化に退化があったため、3体問題にしか適用できないことが判明した。後に、ガブリエラ・ピンザリは回転不変バージョンの定理を開発することで、この退化を排除する方法を示した。^[4]

KAM 定理は通常、積分可能なハミルトン系の位相空間における軌跡の観点から述べられます。積分可能な系の動きは、不変トーラス(ドーナツ型の表面)に限定されます。積分可能なハミルトン系の異なる初期条件は、位相空間で異なる不変トーラスを描きます。積分可能な系の座標をプロットすると、それらが準周期的であることがわかります。

KAM 定理によれば、システムが弱い非線形摂動を受けると、不変トーラスの一部は変形されても生き残る、つまり、元の多様体から変形したものへの写像が摂動内で連続的に存在する。逆に、他の不変トーラスは破壊される。つまり、任意の小さな摂動でも多様体は不変ではなくなり、近くの多様体への写像は存在しない。生き残ったトーラスは非共鳴条件を満たす、つまり「十分に無理な」周波数を持つ。これは、変形したトーラス上の運動が準周期的であり続け、独立した周期が変化する（非退化条件の結果として）ことを意味する。KAM 定理は、これが真となるために適用できる摂動のレベルを定量化する。

摂動によって破壊されたKAMトーラスは不変カントール集合となり、1979年にイアン・C・パーシバルによってカントーリと名付けられた。 ^[5]

KAM 定理の非共鳴条件と非縮退条件は、自由度の高いシステムでは満たすのがますます難しくなります。システムの次元数が増加すると、トーラスが占める体積は減少します。

摂動が増加し、滑らかな曲線が崩壊するにつれて、KAM 理論から、それほど厳密でない仮説を必要とせず、カントールのような集合で機能する Aubry-Mather 理論に移行します。

量子多体系の摂動に対する KAM 定理の存在は未だ未解決の問題であるが、任意の小さな摂動は無限サイズ限界における積分可能性を破壊すると考えられている。

KAM 定理の重要な結果は、初期条件の大きなセットに対して、運動が永久に準周期的のままであるということです。^{[どれですか? ]}

コルモゴロフ、アーノルド、モーザーによって導入された方法は、現在KAM 理論として知られる準周期運動に関連する膨大な結果に発展しました。特に、この理論は非ハミルトン系 (モーザーに始まる)、非摂動的な状況 (マイケル・ハーマンの研究のように)、および高速および低速の周波数を持つ系 (ミハイル・B・セヴリュクの研究のように) に拡張されました。

流れの作用下での多様体不変量は、 標準-トーラスへの微分同相写像が存在し、 結果として生じる運動が一様線型だが静的ではない場合、つまり、ここで は周波数ベクトルと呼ばれるゼロ以外の定数ベクトルである場合、不変 -トーラスと呼ばれます。 ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{d}}$${\displaystyle \phi^{t}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle {\boldsymbol {\varphi}}:{\mathcal {T}}^{d}\rightarrow \mathbb {T} ^{d}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle \mathbb {T} ^{d}:=\underbrace {\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1}\times \cdots \times \mathbb {S} ^{1}} _{d}}$${\displaystyle \mathbb {T} ^{d}}$ ${\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\varphi }}/\mathrm {d} t={\boldsymbol {\omega }}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\in \mathbb {R} ^{d}}$

頻度ベクトルが次の場合: ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

• 合理的に独立している（つまり、すべての人にとって通約不可能である）${\displaystyle {\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {\omega }}\neq 0}$${\displaystyle {\boldsymbol {k}}\in \mathbb {Z} ^{d}\backslash \left\{{\boldsymbol {0}}\right\}}$
• そして、典型的にはディオファントス的な意味で、有理数によって「ひどく」近似される： 、${\displaystyle \exists ~\gamma ,\tau >0{\text{ such that }}|{\boldsymbol {\omega }}\cdot {\boldsymbol {k}}|\geq {\frac {\gamma }{\|{\boldsymbol {k}}\|^{\tau }}},\forall ~{\boldsymbol {k}}\in \mathbb {Z} ^{d}\backslash \left\{{\boldsymbol {0}}\right\}}$

不変-トーラス( ) はKAM トーラスと呼ばれます。このケースは小さな因子を含まないため、古典的な KAM 理論では通常除外されます。 ${\displaystyle d}$${\displaystyle {\mathcal {T}}^{d}}$${\displaystyle d\geq 2}$${\displaystyle d=1}$

• 太陽系の安定性
• アーノルド拡散
• エルゴード理論
• ホフスタッターの蝶
• ネホロシェフの推定

• アーノルド、ワインスタイン、ヴォクトマン。古典力学の数学的手法、第 2 版、付録 8: 条件付き周期運動の摂動理論とコルモゴロフの定理。Springer 1997。
• Sevryuk, MB VI Arnold 論文「重ね合わせから KAM 理論へ」の翻訳 (Vladimir Igorevich Arnold。Selected — 60、モスクワ: PHASIS、1997、pp. 727–740)。Regul. Chaot. Dyn. 19、734–744 (2014)。https://doi.org/10.1134/S1560354714060100
• Wayne, C. Eugene (2008 年 1 月)。「KAM 理論入門」(PDF)。プレプリント: 29。2012 年6 月 20 日に閲覧。
• Jürgen Pöschel (2001). 「古典的 KAM 定理に関する講義」(PDF) . Proceedings of Symposia in Pure Mathematics . 69 : 707–732. CiteSeerX  10.1.1.248.8987 . doi :10.1090/pspum/069/1858551. ISBN 9780821826829. 2016年3月3日時点のオリジナル（PDF）からアーカイブ。2006年6月6日閲覧。
• Rafael de la Llave (2001) KAM 理論に関するチュートリアル。
• Weisstein, Eric W.「コルモゴロフ-アーノルド-モーザーの定理」。MathWorld。
• KAM理論: コルモゴロフの1954年の論文の遺産
• Scholarpediaの Kolmogorov-Arnold-Moser 理論
• H スコット デュマス。KAMストーリー - 古典的コルモゴロフ-アーノルド-モーザー理論の内容、歴史、意義への親しみやすい入門書、2014 年、World Scientific Publishing、ISBN 978-981-4556-58-3。第 1 章: はじめに