対数凸関数

数学において、関数 f が対数的に凸であるか超凸であるかは、対数とfとの合成がそれ自体凸関数である場合に定義される^[1]。 ${\displaystyle {\log }\circ f}$

X を実ベクトル空間の凸部分集合とし、f ​​ : X → Rを非負の値を取る関数とします。このとき、f は次のようになります。

• が凸であれば対数的に凸であり、${\displaystyle {\log }\circ f}$
• が厳密に凸である場合、厳密に対数的に凸です。${\displaystyle {\log }\circ f}$

ここではと解釈します。 ${\displaystyle \log 0}$${\displaystyle -\infty}$

明示的には、すべてのx ₁、x ₂ ∈ Xおよびすべてのt ∈ [0, 1]に対して、次の2つの同値な条件が成立する 場合に限り、 fは対数的に凸です。

${\displaystyle {\begin{aligned}\log f(tx_{1}+(1-t)x_{2})&\leq t\log f(x_{1})+(1-t)\log f(x_{2}),\\f(tx_{1}+(1-t)x_{2})&\leq f(x_{1})^{t}f(x_{2})^{1-t}.\end{aligned}}}$

同様に、上記の2つの式において、すべてのt∈ (0,1)に対して厳密な不等式が成立する場合に限り、 fは厳密に対数的に凸である。

上記の定義ではf がゼロになることが許されていますが、f が対数的に凸でXのどこでも消える場合、 Xの内部のどこでも消えます。

f が区間I ⊆ R上で定義された微分可能関数である場合、f が対数的に凸であるためには、I内のすべてのxとyに対して次の条件が成り立つ必要があります。

${\displaystyle \log f(x)\geq \log f(y)+{\frac {f'(y)}{f(y)}}(x-y).}$

これは、 xとy がIにあり、x > yであるときは常に、

${\displaystyle \left({\frac {f(x)}{f(y)}}\right)^{\frac {1}{x-y}}\geq \exp \left({\frac {f'(y)}{f(y)}}\right).}$

さらに、これらの不等式が常に厳密である場合に限り、 f は厳密に対数的に凸です。

fが2回微分可能ならば、対数的に凸であるためには、I内の任意のxに対して、

${\displaystyle f''(x)f(x)\geq f'(x)^{2}.}$

不等式が常に厳密である場合、f は厳密に対数的に凸です。しかし、その逆は偽です。つまり、 fが厳密に対数的に凸であり、あるxに対してが成り立つことは可能です。たとえば、の場合、f は厳密に対数的に凸ですが です。 ${\displaystyle f''(x)f(x)=f'(x)^{2}}$${\displaystyle f(x)=\exp(x^{4})}$${\displaystyle f''(0)f(0)=0=f'(0)^{2}}$

さらに、が対数的に凸であるためには、 がすべての に対して凸である必要があります。^{[2] [3]}${\displaystyle f\colon I\to (0,\infty )}$${\displaystyle e^{\alpha x}f(x)}$${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$

が対数的に凸であり、が非負の実数である場合、は対数的に凸です。 ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}}$${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}}$${\displaystyle f_{1}^{w_{1}}\cdots f_{n}^{w_{n}}}$

が対数凸関数の族である場合、 は対数凸です。 ${\displaystyle \{f_{i}\}_{i\in I}}$${\displaystyle g=\sup _{i\in I}f_{i}}$

が凸であり、対数的に凸かつ非減少である場合、 は対数的に凸です。 ${\displaystyle f\colon X\to I\subseteq \mathbf {R} }$${\displaystyle g\colon I\to \mathbf {R} _{\geq 0}}$${\displaystyle g\circ f}$

対数的に凸な関数fは、増加する凸関数と定義により凸である関数の合成物であるため、凸関数です。ただし、対数的に凸であることは、凸であることよりも厳密に強い特性です。たとえば、2乗関数は凸ですが、その対数は凸ではありません。したがって、2乗関数は対数的に凸ではありません。 ${\displaystyle \exp }$${\displaystyle \log \circ f}$${\displaystyle f(x)=x^{2}}$${\displaystyle \log f(x)=2\log |x|}$

• ${\displaystyle f(x)=\exp(|x|^{p})}$は のとき対数的に凸であり、 のとき厳密に対数的に凸です。${\displaystyle p\geq 1}$${\displaystyle p>1}$
• ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{p}}}}$は、すべての${\displaystyle (0,\infty )}$${\displaystyle p>0.}$
• オイラーのガンマ関数は、正の実数に制限される場合、厳密に対数的に凸です。実際、ボーア・モレルプ定理により、この特性は、階乗関数の実引数への可能な拡張の中でオイラーのガンマ関数を特徴付けるために使用できます。

• 対数凹関数

• John B. Conway. Functions of One Complex Variable I、第2版。Springer-Verlag、1995年。ISBN  0-387-90328-3。
• 「凸性、対数」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• ニクレスク、コンスタンティン、ペルソン、ラース=エリック(2006)、凸関数とその応用 - 現代的アプローチ(第 1 版)、Springer、doi :10.1007/0-387-31077-0、ISBN 978-0-387-24300-9、ISSN  1613-5237。

• モンテル、ポール(1928)、「凸面と関数の調和」、Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (フランス語)、7 : 29–60。

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