バーガヴァ階乗

数学において、バーガヴァの階乗関数、または単にバーガヴァ階乗は、フィールズ賞を受賞した数学者マンジュル・バーガヴァが1996年にハーバード大学の学位論文の一部として開発した階乗関数の一般化である。バーガヴァの階乗には、階乗をバーガヴァの階乗に置き換えても、通常の階乗を含む多くの数論的結果が成り立つという性質がある。バーガヴァは、整数の集合の任意の無限部分集合S を使用して、すべての正の整数kに正​​の整数を関連付け、これをk  ! _Sと表記した。このとき、 S =自身とすると、 kに関連付けられた整数、つまりk  !は、 kの通常の階乗になるという性質がある。^[1] ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$_{${\displaystyle \mathbb {Z} }$}

非負整数nの階乗はn !と表され、 n以下のすべての正の整数の積です。たとえば、 5! = 5×4×3×2×1 = 120 です。慣例により、 0! の値は 1 と定義されます。この古典的な階乗関数は、数論の多くの定理でよく登場します。以下は、これらの定理のいくつかです。^[1]

1. 任意の正の整数mとnに対して、 ( m + n )! はm ! n !の倍数です。
2. f ( x ) を原始整数多項式、つまり係数が整数で互いに素である多項式とします。 f ( x )の次数がkの場合、xの整数値に対するf ( x )の値の集合の最大公約数はkの約数になります。
3. a ₀、a ₁、a ₂、...、a _{n を}任意のn + 1 個の整数とします。すると、それらの差の積は 0! 1! ... n ! の倍数になります。
4. を整数の集合とし、n を任意の整数とします。整数環から商環 への多項式関数の数は で与えられます。${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$${\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1}{\frac {n}{\gcd(n,k!)}}}$

Bhargava は次のような問題を自らに提起し、肯定的な答えを得ました。「上記の定理において、整数の集合を他の集合S ( のサブセット、または何らかの環のサブセット) に置き換え、 Sに依存して、 k ! _Sで表される各非負整数kに値を割り当てる関数を定義できます。この場合、 k ! をk ! _Sに置き換えることで前述の定理から得られるステートメントは、依然として真です。」 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

• S を整数の集合Zの任意の無限部分集合とします。
• 素数p を選択します。
• 次のようにSから選択された数字の順序付きシーケンス { a ₀、a ₁、a ₂、 ... }を構築します(このようなシーケンスはSのp順序と呼ばれます)。

1. a _{0 は}Sの任意の要素です。
2. a _1は、 a ₁  −  a ₀を割り切るpの最大の累乗が最小となるようなSの任意の元です。
3. a _2は、( a ₂  −  a ₀ )( a ₂  −  a ₁ )を割り切るpの最大のべき乗が最小となるようなSの任意の元である。
4. a _3は、( a ₃  −  a ₀ )( a ₃  −  a ₁ )( a ₃  −  a ₂ )を割り切るpの最大のべき乗が最小となるようなSの任意の元である。
5. ... 等々。

• 各素数pに対してSのp順序を構築します。(与えられた素数pに対して、Sのp順序は一意ではありません。)
• 各非負整数kについて、 ( a _k  −  a ₀ )( a _k  −  a ₁ )( a _k  −  a ₂ ) ... ( a _k  −  a _k − 1 )を割り切るpの最大の累乗をv _k ( S ,  _p ) とします。数列 { v ₀ ( S , p ), v ₁ ( S , p ), v ₂ ( S , p ), v ₃ ( S , p ), ... } はSの関連p数列と呼ばれます。これはSのp順序の特定の選択とは無関係です。( v ₀ ( S , p ) = 1であると常に仮定します。)
• 無限集合Sに関連付けられた整数kの階乗は と定義され、その積はすべての素数pに対して取られます。${\displaystyle k!_{S}=\prod _{p}v_{k}(S,p)}$

S をすべての素数P = {2, 3, 5, 7, 11, ... } の集合とします。

• p = 2を選択し、Pのp順序を形成します。

• Pから任意に 0 = 19 を選択_します。
• 1_を選択するには：

• 2 − a ₀ = −17を割り切る pの最大の累乗は2 ⁰ = 1 です。また、P 内の任意のa ≠ 2 について、a  −  a ₀は 2 で割り切れます。したがって、 ( a ₁  −  a ₀ )を割り切るpの最大の累乗は、 a ₁ = 2のときに最小となり、最小累乗は 1 です。したがって、a ₁は 2 として選択され、v ₁ ( P、2) = 1 となります。

• 2_を選択するには：

• Pの各要素aについて、積x = ( a  −  a ₀ )( a  −  a ₁ ) = ( a  − 19)( a − 2) は 2 で割り切れることがわかります。 また、a = 5 のとき、x は2 で割り切れますが、2 のそれ以上の累乗では割り切れません。したがって、a _{2 は}5 として選択できます。v ₂ ( P、2) = 2となります。

• 3_を選択するには:

• Pの各要素aについて、積x = ( a  −  a ₀ )( a  −  a ₁ )( a  −  a ₂ ) = ( a  − 19)( a  − 2)( a − 5) は 2 ³ = 8 で割り切れることがわかります。また、a = 17 のとき、x は8 で割り切れますが、2 のそれ以上の累乗では割り切れません。a 3 = 17 を選択します。また、v ₃ ( P 、2) = 8 になり_ます。

• 4_を選択するには:

• Pの各要素aについて、積x = ( a  −  a ₀ )( a  −  a ₁ )( a −  a  2 )( a − a ₃ )  =  ( _a − 19  )( a  − 2)( a  − 5)( a − 17) は 2 ⁴ = 16 で割り切れることがわかります。また、a = 23 のとき、x は16 で割り切れますが、2 のそれ以上の累乗では割り切れません。a 4 = 23 を選択します。また_、v ₄ ( P、2) = 16になります。

• 5_を選択するには:

• P内の各要素aについて、積x = ( a  −  a ₀ )( a  −  a ₁ )( a  − a 2 )( a −  a ₃ ) (  a  − _a 4 )  =  ( _a −  19)( a  − 2)( a − 5)( a  − 17)(  a −  23) は 2 ⁷ = 128 で割り切れることがわかります。また、a = 31 のとき、x は128 で割り切れますが、2 のそれ以上の累乗では割り切れません。a 5 = 31 を選択します。また、 v 5 ₍ P 、 2) = 128 になり_ます。

• このプロセスは継続されます。したがって、v 0 ( P 、2) = 1 と仮定すると、 Pの 2 順序は {19、2、5、17、23、31、... } となり、関連する 2 シーケンスは {1、1、2、8、16、128、... }_となります。

• p = 3の場合、Pの可能なp順序の1 つはシーケンス {2、3、7、5、13、17、19、... } であり、関連するPのpシーケンスは {1、1、1、3、3、9、... } です。

• p = 5の場合、Pの可能なp順序の1 つはシーケンス {2、3、5、19、11、7、13、... } であり、関連するpシーケンスは {1、1、1、1、1、5、...} です。

• p ≥ 7 の場合、関連するpシーケンスの最初のいくつかの要素は {1, 1, 1, 1, 1, 1, ... } であることが示されます。

素数の集合に関連付けられた最初のいくつかの階乗は次のようにして得られます ( OEISのシーケンスA053657 )。

S を自然数の集合とする。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

• p = 2の場合、関連するpシーケンスは {1、1、2、2、8、8、16、16、128、128、256、256、... } です。
• p = 3の場合、関連するpシーケンスは {1、1、1、3、3、3、9、9、9、27、27、27、81、81、81、... } です。
• p = 5の場合、関連するpシーケンスは {1、1、1、1、1、5、5、5、5、5、5、25、25、25、25、25、... } です。
• p = 7の場合、関連するpシーケンスは {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, ... } です。
• ... 等々。

したがって、自然数を使った最初のいくつかの階乗は

• 0! = 1×1×1×1×1×... = 1。_{${\displaystyle \mathbb {Z} }$}
• 1! = 1×1×1×1×1×... = 1。_{${\displaystyle \mathbb {Z} }$}
• 2! = 2×1×1×1×1×... = 2._{${\displaystyle \mathbb {Z} }$}
• 3! = 2×3×1×1×1×... = 6._{${\displaystyle \mathbb {Z} }$}
• 4! = 8×3×1×1×1×... = 24._{${\displaystyle \mathbb {Z} }$}
• 5！= 8×3×5×1×1×... = 120。_{${\displaystyle \mathbb {Z} }$}
• 6！= 16×9×5×1×1×... = 720。_{${\displaystyle \mathbb {Z} }$}

次の表は、 Sのいくつかの特殊なケースにおけるk ! _Sの一般的な表現を示しています。^[1]