反射の公式

数学において、関数f の反射公式または反射関係とは、 f ( a − x )とf ( x )の間の関係のことです。これは関数方程式の特殊な場合です。数学文献では、具体的には反射公式を指す場合に「関数方程式」という用語を用いるのが一般的です。

反射公式は、特殊関数の数値計算に役立ちます。実際には、より高い精度を持つ、あるいは反射点の片側（通常は複素平面の正の半平面）でのみ収束する近似式を、すべての引数に適用することができます。

偶関数と奇関数は定義により、a = 0の周りで単純な反射関係を満たす。すべての偶関数について、

$${\displaystyle f(-x)=f(x),}$$

そして全ての奇関数について、

$${\displaystyle f(-x)=-f(x).}$$

有名な関係式としては、オイラーの反射公式がある。

$${\displaystyle \Gamma (z)\Gamma (1-z)={\frac {\pi }{\sin {(\pi z)}}},\qquad z\not \in \mathbb {Z} }$$

ガンマ関数について$\textstyle \Gamma (z)$レオンハルト・オイラーによる。

また、一般的なn次多ガンマ関数ψ ^{( n )} ( z )の反射公式も存在する。

$${\displaystyle \psi ^{(n)}(1-z)+(-1)^{n+1}\psi ^{(n)}(z)=(-1)^{n}\pi {\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\cot {(\pi z)}}$$

これは、ポリガンマ関数が次の導関数として定義されているという事実から自明に導かれる。${\textstyle \ln \Gamma }$そして、反射の公式を継承する。

二重対数もまた反射公式を満たす。^{[ 1 ] [ 2 ]}

$${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)+\operatorname {Li} _{2}(1-z)=\zeta (2)-\ln(z)\ln(1-z)}$$

リーマンゼータ関数ζ ( z )は以下を満たす。

$${\displaystyle {\frac {\zeta (1-z)}{\zeta (z)}}={\frac {2\,\Gamma (z)}{(2\pi )^{z}}}\cos \left({\frac {\pi z}{2}}\right),}$$

また、リーマンXi関数ξ ( z )は以下を満たす。

$${\displaystyle \xi (z)=\xi (1-z)。}$$

• ワイススタイン、エリック W. 「反射関係」 . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. 「ポリガンマ関数」 . MathWorld .