q-ガンマ関数

q-アナログ理論では、${\displaystyle q}$-ガンマ関数、または基本ガンマ関数は、通常のガンマ関数の一般化であり、二重ガンマ関数と密接に関連しています。これはジャクソン（1905）によって導入されました。次のように表されます。 $${\displaystyle \Gamma _{q}(x)=(1-q)^{1-x}\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {1-q^{n+1}}{1-q^{n+x}}}=(1-q)^{1-x}\,{\frac {(q;q)_{\infty }}{(q^{x};q)_{\infty }}}}$$ いつ${\displaystyle |q|<1}$、 そして $${\displaystyle \Gamma _{q}(x)={\frac {(q^{-1};q^{-1})_{\infty }}{(q^{-x};q^{-1})_{\infty }}}(q-1)^{1-x}q^{\binom {x}{2}}}$$ もし${\displaystyle |q|>1}$。 ここ${\displaystyle (\cdot$ ;\cdot )_{\infty }} は無限大です${\displaystyle q}$-ポッホハンマーのシンボル。${\displaystyle q}$-ガンマ関数は関数方程式を満たす $${\displaystyle \Gamma _{q}(x+1)={\frac {1-q^{x}}{1-q}}\Gamma _{q}(x)=[x]_{q}\Gamma _{q}(x)}$$ さらに、${\displaystyle q}$-ガンマ関数は、リチャード・アスキーによって発見されたボーア・モレラップ定理のq類似を満たします（アスキー（1978））。

非負整数の場合${\displaystyle n}$、 $${\displaystyle \Gamma _{q}(n)=[n-1]_{q}!}$$ どこ${\displaystyle [\cdot ]_{q}}$は${\displaystyle q}$-階乗関数。したがって${\displaystyle q}$-ガンマ関数は、${\displaystyle q}$実数に対する階乗関数。

通常のガンマ関数との関係は極限において明示される。 $$\lim _{q\to 1\pm }\Gamma _{q}(x)=\Gamma (x).$$この極限の簡単な証明はゴスパーによってなされている。アンドリュース（1986 ） の付録を参照のこと。 

の${\displaystyle q}$-ガンマ関数はガウス乗法公式のq類似を満たす（Gasper & Rahman (2004)）： $${\displaystyle \Gamma _{q}(nx)\Gamma _{r}(1/n)\Gamma _{r}(2/n)\cdots \Gamma _{r}((n-1)/n)=\left({\frac {1-q^{n}}{1-q}}\right)^{nx-1}\Gamma _{r}(x)\Gamma _{r}(x+1/n​​)\cdots \Gamma _{r}(x+(n-1)/n),\ r=q^{n}.}$$

I. Mező により、少なくとも私たちが${\displaystyle q}$-ガンマ関数${\displaystyle |q|>1}$この制限により、 $${\displaystyle \int _{0}^{1}\log \Gamma _{q}(x)dx={\frac {\zeta (2)}{\log q}}+\log {\sqrt {\frac {q-1}{\sqrt[{6}]{q}}}}+\log(q^{-1};q^{-1})_{\infty }\quad (q>1).}$$ エル・バクラウイはこの件を検討した。${\displaystyle 0<q<1}$そして証明した $${\displaystyle \int _{0}^{1}\log \Gamma _{q}(x)dx={\frac {1}{2}}\log(1-q)-{\frac {\zeta (2)}{\log q}}+\log(q;q)_{\infty }\quad (0<q<1).}$$

以下の特殊値が知られています。^{[ 1 ]}$${\displaystyle \Gamma _{e^{-\pi }}\left({\frac {1}{2}}\right)={\frac {e^{-7\pi /16}{\sqrt {e^{\pi }-1}}{\sqrt[{4}]{1+{\sqrt {2}}}}}{2^{15/16}\pi ^{3/4}}}\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right),}$$$${\displaystyle \Gamma _{e^{-2\pi }}\left({\frac {1}{2}}\right)={\frac {e^{-7\pi /8}{\sqrt {e^{2\pi }-1}}}{2^{9/8}\pi ^{3/4}}}\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right),}$$$${\displaystyle \Gamma _{e^{-4\pi }}\left({\frac {1}{2}}\right)={\frac {e^{-7\pi /4}{\sqrt {e^{4\pi }-1}}}{2^{7/4}\pi ^{3/4}}}\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right),}$$$${\displaystyle \Gamma _{e^{-8\pi }}\left({\frac {1}{2}}\right)={\frac {e^{-7\pi /2}{\sqrt {e^{8\pi }-1}}}{2^{9/4}\pi ^{3/4}{\sqrt {1+{\sqrt {2}}}}}}\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right).}$$ これらは古典的な公式の類似物である${\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}}$。

さらに、馴染みのあるアイデンティティの以下の類似物${\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)={\sqrt {2}}\pi }$真実である： $${\displaystyle \Gamma _{e^{-2\pi }}\left({\frac {1}{4}}\right)\Gamma _{e^{-2\pi }}\left({\frac {3}{4}}\right)={\frac {e^{-29\pi /16}\left(e^{2\pi }-1\right){\sqrt[{4}]{1+{\sqrt {2}}}}}{2^{33/16}\pi ^{3/2}}}\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)^{2},}$$$${\displaystyle \Gamma _{e^{-4\pi }}\left({\frac {1}{4}}\right)\Gamma _{e^{-4\pi }}\left({\frac {3}{4}}\right)={\frac {e^{-29\pi /8}\left(e^{4\pi }-1\right)}{2^{23/8}\pi ^{3/2}}}\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)^{2},}$$$${\displaystyle \Gamma _{e^{-8\pi }}\left({\frac {1}{4}}\right)\Gamma _{e^{-8\pi }}\left({\frac {3}{4}}\right)={\frac {e^{-29\pi /4}\left(e^{8\pi }-1\right)}{16\pi ^{3/2}{\sqrt {1+{\sqrt {2}}}}}}\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)^{2}.}$$

させて${\displaystyle A}$は複素正方行列であり、正定値行列である。すると、${\displaystyle q}$-ガンマ行列関数は次のように定義できます。${\displaystyle q}$-積分: ^{[ 2 ]}$${\displaystyle \Gamma _{q}(A):=\int _{0}^{\frac {1}{1-q}}t^{A-I}E_{q}(-qt)\mathrm {d} _{q}t}$$ どこ${\displaystyle E_{q}}$これはq指数関数です。

その他${\displaystyle q}$-ガンマ関数については、山崎2006を参照。^{[ 3 ]}

q-ガンマ関数を計算するための反復アルゴリズムは、GabuttiとAllasiaによって提案された。^{[ 4 ]}

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• Gasper, George; Rahman, Mizan (2004)、「基本的な超幾何級数」、数学とその応用百科事典、第 96巻（第2 版）、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-83357-8MR 2128719​ 
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