p進ガンマ関数

数学において、p進ガンマ関数Γ _{p は}、ガンマ関数に類似したp進変数の関数です。これは Morita (1975) によって初めて明示的に定義されましたが、Boyarsky (1980) は Dwork (1964) が暗黙的に同じ関数を使用していたことを指摘しました。Diamond (1977) はlog Γ のp進類似物G _{p を}定義しました。Overholtzer (1952) は以前にガンマ関数の別のp進類似物の定義を与えていましたが、彼の関数は満足のいく特性を持たず、あまり使用されていません。

p進ガンマ関数は、p進整数 x（範囲内の値を持つ） の唯一の連続関数であり、${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$

${\displaystyle \Gamma _{p}(x)=(-1)^{x}\prod _{0<i<x,\ p\,\nmid \,i}i}$

正の整数 xに対して、積はpで割り切れない整数iに制限されます。のp進位相に関して正の整数が稠密であるため、全体に一意に拡張できます。 これがp進整数の環です。 定義から、 の値はにおいて可逆であることがわかります。これは、これらの値がpで割り切れない整数の積であるためであり、この特性は への連続拡張後にも維持されます。したがってです。 これが可逆なp進整数 の集合です。${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle \Gamma_{p}(x)}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle \Gamma _{p}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle \Gamma _{p}:\mathbb {Z} _{p}\to \mathbb {Z} _{p}^{\times }}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}^{\times }}$

古典的なガンマ関数は、任意の に対して関数方程式を満たします。これは、森田ガンマ関数に関して類似しています。 ${\displaystyle \Gamma (x+1)=x\Gamma (x)}$${\displaystyle x\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} _{\leq 0}}$

${\displaystyle {\frac {\Gamma _{p}(x+1)}{\Gamma _{p}(x)}}={\begin{cases}-x,&{\mbox{if }}x\in \mathbb {Z} _{p}^{\times }\\-1,&{\mbox{if }}x\in p\mathbb {Z} _{p}.\end{cases}}}$

オイラーの反射公式は、 p進の場合、次のような単純な公式を持ちます。 ${\displaystyle \Gamma (x)\Gamma (1-x)={\frac {\pi }{\sin {(\pi x)}}}}$

${\displaystyle \Gamma _{p}(x)\Gamma _{p}(1-x)=(-1)^{x_{0}},}$

ここで、 はxのp進展開の最初の数字です。ただし、 の場合は0 ではなく になります。 ${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x\in p\mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle x_{0}=p}$

${\displaystyle \Gamma _{p}(0)=1,}$

${\displaystyle \Gamma _{p}(1)=-1,}$

${\displaystyle \Gamma _{p}(2)=1,}$

${\displaystyle \Gamma _{p}(3)=-2,}$

そして、一般的には、

${\displaystyle \Gamma _{p}(n+1)={\frac {(-1)^{n+1}n!}{[n/p]!p^{[n/p]}}}\quad (n\geq 2).}$

森田ガンマ関数はルジャンドル記号と関連している。 ${\displaystyle x={\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)}$

${\displaystyle \Gamma _{p}\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}=-\left({\frac {-1}{p}}\right).}$

また、したがって、とも言える。^{[1] : 369}${\displaystyle \Gamma _{p}(p^{n})\equiv 1{\pmod {p^{n}}},}$${\displaystyle \Gamma _{p}(p^{n})\to 1}$${\displaystyle n\to \infty }$

その他の興味深い特殊値はグロス・コブリッツの公式から来ており、これは最初はコホモロジーのツールによって証明され、後にもっと初等的な方法を使って証明された。^[2]例えば、

${\displaystyle \Gamma _{5}\left({\frac {1}{4}}\right)^{2}=-2+{\sqrt {-1}},}$

${\displaystyle \Gamma _{7}\left({\frac {1}{3}}\right)^{3}={\frac {1-3{\sqrt {-3}}}{2}},}$

ここで、 は最初の桁が 3 の平方根を表し、 は最初の桁が 2 の平方根を表します。(根について話す場合は、常にこのような指定を行う必要があります。) ${\displaystyle {\sqrt {-1}}\in \mathbb {Z} _{5}}$${\displaystyle {\sqrt {-3}}\in \mathbb {Z} _{7}}$

もう一つの例は

${\displaystyle \Gamma _{3}\left({\frac {1}{8}}\right)\Gamma _{3}\left({\frac {3}{8}}\right)=-(1+{\sqrt {-2}}),}$

ここでの平方根は1を法として3に等しい。 ^[3]${\displaystyle {\sqrt {-2}}}$${\displaystyle -2}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{3}}$

古典的なガンマ関数のラーベ公式は、

${\displaystyle \int _{0}^{1}\log \Gamma (x+t)dt={\frac {1}{2}}\log(2\pi )+x\log x-x.}$

これは、森田ガンマ関数の岩澤対数に類似している： ^[4]

${\displaystyle \int _{\mathbb {Z} _{p}}\log \Gamma _{p}(x+t)dt=(x-1)(\log \Gamma _{p})'(x)-x+\left\lceil {\frac {x}{p}}\right\rceil \quad (x\in \mathbb {Z} _{p}).}$

天井関数は、有理整数を通るp進極限として理解されます。 ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left\lceil {\frac {x_{n}}{p}}\right\rceil }$${\displaystyle x_{n}\to x}$

マーラー展開は古典解析におけるテイラー展開と同様にp進関数に対して重要である。p進ガンマ関数のマーラー展開は次のようになる: ^{[1] : 374}

${\displaystyle \Gamma _{p}(x+1)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}{\binom {x}{k}},}$

ここで、シーケンス は次の恒等式によって定義されます。 ${\displaystyle a_{k}}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k+1}a_{k}{\frac {x^{k}}{k!}}={\frac {1-x^{p}}{1-x}}\exp \left(x+{\frac {x^{p}}{p}}\right).}$

• グロス・コブリッツ式

• ボヤルスキー、マウリツィオ (1980)、「p 進ガンマ関数とドワークコホモロジー」、アメリカ数学会誌、257 (2): 359–369、doi :10.2307/1998301、ISSN  0002-9947、JSTOR  1998301、MR  0552263
• ダイアモンド、ジャック (1977)、「p 進対数ガンマ関数と p 進オイラー定数」、アメリカ数学会誌、233 : 321–337、doi :10.2307/1997840、ISSN  0002-9947、JSTOR  1997840、MR  0498503
• ダイアモンド、ジャック (1984)、「p 進ガンマ関数とその応用」、チャドノフスキー、デイビッド V.、チャドノフスキー、グレゴリー V.、コーン、ヘンリー、他編、数論 (ニューヨーク、1982)、数学講義ノート、第 1052 巻、ベルリン、ニューヨーク:シュプリンガー出版社、pp. 168–175、doi :10.1007/BFb0071542、ISBN 978-3-540-12909-7、MR  0750664
• ドワーク、バーナード (1964)、「超曲面のゼータ関数について II」、数学年報、第 2 シリーズ、80 (2): 227–299、doi :10.2307/1970392、ISSN  0003-486X、JSTOR  1970392、MR  0188215
• 森田 康夫 (1975)、「Γ関数のp進類似体」、東京大学理学部紀要、第IA部、数学、22 (2): 255–266、hdl :2261/6494、ISSN  0040-8980、MR  0424762
• オーバーホルツァー、ゴードン (1952)、「基本的な p 進解析における和関数」、アメリカ数学ジャーナル、74 (2): 332–346、doi :10.2307/2371998、ISSN  0002-9327、JSTOR  2371998、MR  0048493