伸長指数関数

通常の物理的解釈に従い、関数引数t を時間、f _β ( t ) を微分分布と解釈します。したがって、曲線下の面積は平均緩和時間と解釈できます。 $$\displaystyle \langle \tau \rangle \equiv \int _{0}^{\infty }dt\,e^{-(t/\tau _{K})^{\beta }}={\tau _{K} \over \beta }\Gamma {\left({\frac {1}{\beta }}\right)}}$$ ここでΓはガンマ関数_である。指数関数的減衰の場合、⟨τ⟩ = τKが回復される。

伸長指数関数の高次モーメントは^{[ 9 ]である。}$$\displaystyle \langle \tau ^{n}\rangle \equiv \int _{0}^{\infty }dt\,t^{n-1}\,e^{-(t/\tau _{K})^{\beta }}={{\tau _{K}}^{n} \over \beta }\Gamma {\left({\frac {n}{\beta }}\right)}.}$$

物理学では、伸長指数関数的挙動を単純な指数関数的減衰の線形重ね合わせとして説明しようとする試みがなされてきた。これには緩和時間ρ ( u )の非自明な分布が必要であり、それは暗黙のうちに次のように定義される。 $${\displaystyle e^{-t^{\beta }}=\int _{0}^{\infty }du\,\rho (u)\,e^{-t/u}.}$$

あるいは、分布$${\displaystyle G=u\rho (u)}$$使用されます。

ρは級数展開から計算できる。^{[ 10 ]}$${\displaystyle \rho (u)=-{1 \over \pi u}\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{k} \over k!}\sin(\pi \beta k)\Gamma (\beta k+1)u^{\beta k}}$$

βが有理数の場合、ρ ( u ) は初等関数で計算できます。しかし、この式は一般に複雑すぎて、β = 1/2 の場合 を除いて実用的ではありません。$${\displaystyle G(u)=u\rho (u)={1 \over 2{\sqrt {\pi }}}{\sqrt {u}}e^{-u/4}}$$

図2は、同じ結果を線形表示と対数表示の両方でプロットしたものである。βが1に近づくにつれて、曲線はu =1でピークを持つディラックのデルタ関数に収束し、これは単純な指数関数に対応する。

元の関数のモーメントは次のように表すことができます。 $${\displaystyle \langle \tau ^{n}\rangle =\Gamma (n)\int _{0}^{\infty }d\tau \,t^{n}\,\rho (\tau )。}$$

単純指数緩和時間の分布の第一対数モーメントは $${\displaystyle \langle \ln \tau \rangle =\left(1-{1 \over \beta }\right)\gamma +\ln \tau _{K}}$$ ここでγはオイラー定数である。^{[ 11 ]}

積分分布が伸長指数関数である場合、正規化された確率密度関数は次のように与えられる。$${\displaystyle p(\tau \mid \lambda ,\beta )~d\tau ={\frac {\lambda }{\Gamma (1+\beta ^{-1})}}~e^{-(\tau \lambda )^{\beta }}~d\tau }$$

紛らわしいことに、一部の著者はワイブル分布を指すのに「ストレッチ指数」という名称を使用していることが知られています。^{[ 21 ]}

修正された伸長指数関数 $${\displaystyle f_{\beta }(t)=e^{-t^{\beta (t)}}}$$ ゆっくりとtに依存する指数βは、生物学的生存曲線に使用されています。^{[ 22 ] [ 23 ]}

無線通信において、干渉電力のラプラス変換には、拡大指数関数のスケーリング版が現れることが示されている。${\displaystyle I}$送信機の位置が受信機の周囲に除外領域のない2Dポアソン点過程としてモデル化されている場合。 ^{[ 24 ]}

任意のフェージング分布に対するラプラス変換は、次のように 記述できます。$${\displaystyle L_{I}(s)=\exp \left(-\pi \lambda \mathbb {E} {\left[g^{\frac {2}{\eta }}\right]}\Gamma {\left(1-{\frac {2}{\eta }}\right)}s^{\frac {2}{\eta }}\right)=\exp \left(-ts^{\beta }\right)}$$ どこ${\displaystyle g}$衰退の力、${\displaystyle \eta }$はパス損失指数です。${\displaystyle \lambda }$は2次元ポアソン点過程の密度であり、${\displaystyle \Gamma (\cdot )}$はガンマ関数であり、${\displaystyle \mathbb {E} [x]}$変数の期待値${\displaystyle x}$。

同じ文献には、伸長指数関数の逆ラプラス変換を求める方法も示されている。${\displaystyle \exp \left(-s^{\beta }\right)}$高位整数${\displaystyle \beta =\beta _{q}\beta _{b}}$下位の整数から${\displaystyle \beta _{a}}$そして${\displaystyle \beta _{b}}$。

伸長指数関数は、YouTubeやその他の安定したストリーミングメディアサイトなどのインターネットメディアへのアクセスパターンを特徴付けるために使用されてきました。^{[ 25 ]}一般的に合意されているべき乗則のWebワークロードへのアクセスパターンは、主に毎日更新されるニュースサイトなどのテキストベースのWebワークロードを反映しています。^{[ 26 ]}