指数和

数学において、指数和は有限フーリエ級数（三角多項式）や指数関数を用いて形成される他の有限和であり、通常は関数によって表現される。

${\displaystyle e(x)=\exp(2\pi ix).\,}$

したがって、典型的な指数和は次の形を取る。

${\displaystyle \sum _{n}e(x_{n}),}$

実数の有限列x _nにわたって合計されます。

実数係数a _{n を}許容すると、次の式が得られる。

${\displaystyle \sum _{n}a_{n}e(x_{n})}$

これは複素数の指数を許可することと同じです。どちらの形式も、応用上は確かに便利です。20世紀の解析的数論の大部分は、これらの和の適切な推定値を見つけることに費やされましたが、この傾向は、ヘルマン・ワイルのディオファントス近似の基礎研究によって始まりました。

この主題の主な目的は、

${\displaystyle S=\sum _{n}e(x_{n})}$

は項の数Nによって簡単に推定できる。つまり、絶対値

${\displaystyle |S|\leq N\,}$

三角不等式によって、各加数の絶対値が 1 であることがわかります。応用では、もっと良い方法があります。それには、何らかの相殺が起こることを証明すること、言い換えれば、単位円上の複素数のこの和が、すべて同じ偏角を持つ数ではないことを証明することが含まれます。期待できる最善の方法は、次の形式の推定値です。

${\displaystyle |S|=O({\sqrt {N}})\,}$

これは、ビッグオー記法で暗示される定数を除けば、合計が2次元のランダムウォークに似ていることを意味します。

このような推定値は理想的であると考えられるが、多くの主要な問題では達成不可能であり、推定値は

${\displaystyle |S|=o(N)\,}$

o( N )関数は、自明な推定値のわずかな節約を表すだけなので、使用する必要があります。典型的な「小さな節約」は、たとえばlog( N )の因数です。正しい方向へのこのような一見小さな結果であっても、ランダム性の程度を示すには、最初のシーケンスxnの構造までさかのぼる必要があります_。関連する技術は独創的で繊細です。

ワイルが研究した「ワイル差分」の変形で、指数和の生成を伴う。

${\displaystyle G(\tau )=\sum _{n}e^{iaf(x)+ia\tau n}}$

ワイル自身によって以前に研究されていたが、彼は和を値 として表す方法を開発しました。ここで、「G」は部分和で得られるダイソン方程式に似た線型微分方程式で定義できます。 ${\displaystyle G(0)}$

合計が次の形式である場合

${\displaystyle S(x)=e^{iaf(x)}}$

ここで、ƒ は滑らかな関数であり、オイラー・マクローリンの公式を使用して級数を積分に変換し、S ( x ) の導関数を含むいくつかの補正を加えると、 aの値が大きい場合は「定常位相」法を使用して積分を計算し、合計のおおよその評価を行うことができます。この分野における大きな進歩は、定常位相の原理に関連するファンデルコルプット法(1920 年頃)と、その後のヴィノグラードフ法(1930 年頃) でした。

多くの研究者の成果である大ふるい法（1960 年頃）は、比較的わかりやすい一般原理ですが、一般的な適用が可能な方法はありません。

特定の問題を定式化する際に、さまざまな種類の合計が使用されます。通常、アプリケーションでは巧妙な操作によって、既知のタイプへの簡約が必要になります。多くの場合、 部分的な合計を使用して係数a _{n を削除できます。}

基本的な区別は、完全指数和（典型的には、ある整数N (またはより一般的な有限環)を法とするすべての剰余類 の和）と不完全指数和（和の範囲が何らかの不等式によって制限される）との間です。完全指数和の例には、ガウス和とクロスターマン和があります。これらは、ある意味でそれぞれガンマ関数とある種のベッセル関数の有限体または有限環類似体であり、多くの「構造的」特性を持っています。不完全和の例には、2次ガウス和の部分和（実際、ガウスによって調査されたケース）があります。ここでは、剰余類の全体のセットよりも短い範囲の和の良い推定値があります。これは、幾何学的に言えば、部分和がコルニュ螺旋に近似するためです。これは、大規模な相殺を意味します。

補助的なタイプの和は理論に現れます。たとえば、ハロルド・ダベンポートの論文に遡る特性和などです。ヴェイユ予想は、多項式条件によって制限された領域を持つ完全和 (つまり、有限体上の代数多様体に沿った) に主に応用されました。

最も一般的な指数和の1つはワイル和であり、指数は2π if ( n )で、fはかなり一般的な実数値の滑らかな関数である。これらは値の分布に含まれる和である。

ƒ ( n ) を1で割ったもの、

ワイルの等分配基準に従って。基本的な進歩は、多項式fに対するそのような和に対するワイルの不等式でした。

指数対の一般理論があり、推定値を定式化します。重要なケースは、リーマンゼータ関数との関係で、fが対数である場合です。等分配定理も参照してください。^[1]

pを奇素数とし、とする。このとき、2次ガウス和は次のように与えられる。 ${\displaystyle \xi =e^{2\pi i/p}}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{p-1}\xi ^{n^{2}}={\begin{cases}{\sqrt {p}},&p=1\mod 4\\i{\sqrt {p}},&p=3\mod 4\end{cases}}}$

ここで平方根は正の値とみなされます。

これは、ランダムウォークのスケーリングと一致するため、合計の構造に関する事前の知識がなくても期待できる理想的なキャンセルの程度です。

指数関数の合計は、薬物動態学（一般的には化学反応速度論）において、物質の濃度を時間経過とともに記述するための有用なモデルである。指数項は一次反応に対応し、薬理学ではモデル化された拡散区画の数に対応する。^{[2] [3]}

• 華の補題

• Montgomery, Hugh L. (1994)。解析的数論と調和解析のインターフェイスに関する 10 回の講義。数学地域会議シリーズ。第 84 巻。プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学協会。ISBN 0-8218-0737-4.ZBL0814.11001  。​
• サンダー、ヨージェフ。ミトリノヴィッチ、ドラゴスラフ S.クリスティチ、ボリスラフ編。 (2006)。整数論ハンドブック I。ドルドレヒト: Springer-Verlag。ISBN 1-4020-4215-9.ZBL1151.11300  。​

• Korobov, NM (1992)。指数和とその応用。数学とその応用。ソビエトシリーズ。第 80 巻。ロシア語から Yu. N. Shakhov による翻訳。ドルドレヒト: Kluwer Academic Publishers。ISBN 0-7923-1647-9.ZBL0754.11022  。​

• Mathworld の Weyl 和の簡単な紹介