ディガンマ関数

数学では、ディガンマ関数はガンマ関数の対数微分として定義されます。^{[1] [2] [3]}

${\displaystyle \psi (z)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\ln \Gamma (z)={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}.}$

これはポリガンマ関数の最初のものである。この関数はに対して厳密に増加かつ厳密に凹であり、^[4]漸近的には次のように振舞う^[5]。${\displaystyle (0,\infty )}$

${\displaystyle \psi (z)\sim \ln {z}-{\frac {1}{2z}},}$

非常に小さい正の定数を持つセクター内の大きな係数 ( )を持つ複素数の場合。 ${\displaystyle |z|\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle |\arg z|<\pi -\varepsilon }$${\displaystyle \epsilon }$

ディガンマ関数は、しばしばまたはϜ ^{[6] （}二重ガンマを意味する古代ギリシャ語の子音digammaの大文字形式）と表記される。 ${\displaystyle \psi _{0}(x),\psi ^{(0)}(x)}$

ガンマ関数は次の式に従う。

${\displaystyle \ガンマ (z+1)=z\ガンマ (z).\,}$

両辺の対数を取り、対数ガンマ関数の関数方程式の特性を使用すると、次のようになります。

${\displaystyle \log \Gamma (z+1)=\log(z)+\log \Gamma (z),}$

両辺をzについて微分すると次のようになります。

${\displaystyle \psi (z+1)=\psi (z)+{\frac {1}{z}}}$

調和数は正の整数nに対して次のよう に定義されるので、

${\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}},}$

ディガンマ関数は次のように関係している。

${\displaystyle \psi (n)=H_{n-1}-\gamma ,}$

ここでH ₀ = 0、 γはオイラー・マスケロニ定数である。半整数引数の場合、ディガンマ関数は次の値を取る。

${\displaystyle \psi \left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)=-\gamma -2\ln 2+\sum _{k=1}^{n}{\frac {2}{2k-1}}.}$

zの実部が正の場合、二ガンマ関数はガウスの法則により次の積分表現を持つ。 ^[7]

${\displaystyle \psi (z)=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {e^{-t}}{t}}-{\frac {e^{-zt}}{1-e^{-t}}}\right)\,dt.}$

この式をオイラー・マスケローニ定数 の積分恒等式と組み合わせると次のようになります。 ${\displaystyle \gamma}$

${\displaystyle \psi (z+1)=-\gamma +\int _{0}^{1}\left({\frac {1-t^{z}}{1-t}}\right)\,dt.}$

積分はオイラーの調和数 なので、前の式は次のようにも書ける。 ${\displaystyle H_{z}}$

${\displaystyle \psi (z+1)=\psi (1)+H_{z}.}$

結果として、再帰関係は次のように一般化されます。

${\displaystyle \psi (w+1)-\psi (z+1)=H_{w}-H_{z}.}$

ディリクレによる積分表現は次の通りである: ^[7]

${\displaystyle \psi (z)=\int _{0}^{\infty }\left(e^{-t}-{\frac {1}{(1+t)^{z}}}\right)\,{\frac {dt}{t}}.}$

ガウスの積分表現を操作することで、漸近展開の開始点を与えることができる。^[8]${\displaystyle \psi}$

${\displaystyle \psi (z)=\log z-{\frac {1}{2z}}-\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{t}}+{\frac {1}{e^{t}-1}}\right)e^{-tz}\,dt.}$

この式は、ガンマ関数のビネの第 1 積分の結果でもあります。この積分はラプラス変換として認識できます。

ビネのガンマ関数の2番目の積分は、漸近展開の最初の数項を与える別の式を与える：^[9]${\displaystyle \psi}$

${\displaystyle \psi (z)=\log z-{\frac {1}{2z}}-2\int _{0}^{\infty }{\frac {t\,dt}{(t^{ 2}+z^{2})(e^{2\pi t}-1)}}.}$

の定義とガンマ関数の積分表現から、次の式が得られる。 ${\displaystyle \psi}$

${\displaystyle \psi (z)={\frac {1}{\Gamma (z)}}\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\ln(t)e^{- t}\,dt,}$

と。^[10]${\displaystyle \Re z>0}$

この関数は整関数であり^[11]、無限積で表される。 ${\displaystyle \psi (z)/\Gamma (z)}$

${\displaystyle {\frac {\psi (z)}{\Gamma (z)}}=-e^{2\gamma z}\prod _{k=0}^{\infty }\left(1-{ \frac {z}{x_{k}}}\right)e^{\frac {z}{x_{k}}}.}$

ここで はのk番目の零点であり（下記参照）、 はオイラー・マスケローニ定数です。 ${\displaystyle x_{k}}$${\displaystyle \psi}$${\displaystyle \gamma}$

注: これは、ディガンマ関数の定義により にも等しくなります。 ${\displaystyle -{\frac {d}{dz}}{\frac {1}{\Gamma (z)}}}$${\displaystyle {\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}=\psi (z)}$

ガンマ関数のオイラー積公式を関数方程式およびオイラー・マスケローニ定数の恒等式と組み合わせると、複素平面上の負の整数以外の範囲で有効な、次の二ガンマ関数の式が得られる（アブラモウィッツとステグン 6.3.16）：^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (z+1)&=-\gamma +\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+z}}\right),\qquad z\neq -1,-2,-3,\ldots ,\\&=-\gamma +\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {z}{n(n+z)}}\right),\qquad z\neq -1,-2,-3,\ldots .\end{aligned}}}$

同様に、

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (z)&=-\gamma +\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{n+1}}-{\frac {1}{n+z}}\right),\qquad z\neq 0,-1,-2,\ldots ,\\&=-\gamma +\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z-1}{(n+1)(n+z)}},\qquad z\neq 0,-1,-2,\ldots .\end{aligned}}}$

上記の等式は、次の形式の和を評価するために使用できる。

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }u_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {p(n)}{q(n)}},}$

ここでp ( n )とq ( n )はnの多項式です。

複素体上のu _nに部分分数をとると、 q ( n )のすべての根が単根である 場合、

${\displaystyle u_{n}={\frac {p(n)}{q(n)}}=\sum _{k=1}^{m}{\frac {a_{k}}{n+b_{k}}}.}$

系列が収束するには、

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }nu_{n}=0,}$

そうでなければ、その級数は調和級数よりも大きくなり、発散する。したがって

${\displaystyle \sum _{k=1}^{m}a_{k}=0,}$

そして

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }u_{n}&=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=1}^{m}{\frac {a_{k}}{n+b_{k}}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=1}^{m}a_{k}\left({\frac {1}{n+b_{k}}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\\&=\sum _{k=1}^{m}\left(a_{k}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{n+b_{k}}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\right)\\&=-\sum _{k=1}^{m}a_{k}{\big (}\psi (b_{k})+\gamma {\big )}\\&=-\sum _{k=1}^{m}a_{k}\psi (b_{k}).\end{aligned}}}$

高階ポリガンマ関数の級数展開により、一般化された式は次のように与えられる。

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }u_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=1}^{m}{\frac {a_{k}}{(n+b_{k})^{r_{k}}}}=\sum _{k=1}^{m}{\frac {(-1)^{r_{k}}}{(r_{k}-1)!}}a_{k}\psi ^{(r_{k}-1)}(b_{k}),}$

左側の級数が収束することを条件とする。

ディガンマは有理ゼータ級数を持ち、z = 1におけるテイラー級数で与えられる。これは

${\displaystyle \psi (z+1)=-\gamma -\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}\,\zeta (k+1)\,z^{k},}$

これは| z | < 1で収束します。ここで、ζ ( n ) はリーマンゼータ関数です。この級数は、フルヴィッツゼータ関数の対応するテイラー級数から簡単に導出できます。

1847年にモーリッツ・アブラハム・スターンによって導かれた、二ガンマのニュートン級数（スターン級数とも呼ばれる）は、次のように表される。 [ ^{12] [13] [14]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (s)&=-\gamma +(s-1)-{\frac {(s-1)(s-2)}{2\cdot 2!}}+{\frac {(s-1)(s-2)(s-3)}{3\cdot 3!}}\cdots ,\quad \Re (s)>0,\\&=-\gamma -\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}{\binom {s-1}{k}}\cdots ,\quad \Re (s)>0.\end{aligned}}}$

どこ（^s
_k）は二項係数である。これは次のように一般化することもできる。

${\displaystyle \psi (s+1)=-\gamma -{\frac {1}{m}}\sum _{k=1}^{m-1}{\frac {m-k}{s+k}}-{\frac {1}{m}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}\left\{{\binom {s+m}{k+1}}-{\binom {s}{k+1}}\right\},\qquad \Re (s)>-1,}$

ただしm = 2, 3, 4, ... ^[13]

有理数引数のみの有理数係数を含むディガンマ級数には様々な級数が存在する。特に、グレゴリーの係数 G _nを持つ級数は

${\displaystyle \psi (v)=\ln v-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}(n-1)!}{(v)_{n}}},\qquad \Re (v)>0,}$

${\displaystyle \psi (v)=2\ln \Gamma (v)-2v\ln v+2v+2\ln v-\ln 2\pi -2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}(2){\big |}}{(v)_{n}}}\,(n-1)!,\qquad \Re (v)>0,}$

${\displaystyle \psi (v)=3\ln \Gamma (v)-6\zeta '(-1,v)+3v^{2}\ln {v}-{\frac {3}{2}}v^{2}-6v\ln(v)+3v+3\ln {v}-{\frac {3}{2}}\ln 2\pi +{\frac {1}{2}}-3\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}(3){\big |}}{(v)_{n}}}\,(n-1)!,\qquad \Re (v)>0,}$

ここで( v ) _nは上昇階乗 ( v ) _n = v ( v +1)( v +2) ... ( v + n -1)、 G _n ( k )はG _n (1) = G _nを満たす高次のグレゴリー係数、Γはガンマ関数、ζ はフルヴィッツゼータ関数である。^{[15] [13]第二種コーシー数}C _n と同様の級数は^{[15] [13]}である。

${\displaystyle \psi (v)=\ln(v-1)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {C_{n}(n-1)!}{(v)_{n}}},\qquad \Re (v)>1,}$

第二種ベルヌーイ多項式を含む級数は次のような形になる^[13]

${\displaystyle \psi (v)=\ln(v+a)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\psi _{n}(a)\,(n-1)!}{(v)_{n}}},\qquad \Re (v)>-a,}$

ここで、ψ _n ( a )は生成方程式によって定義される 第2種ベルヌーイ多項式である。

${\displaystyle {\frac {z(1+z)^{a}}{\ln(1+z)}}=\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}\psi _{n}(a)\,,\qquad |z|<1\,,}$

一般化すると

${\displaystyle \psi (v)={\frac {1}{r}}\sum _{l=0}^{r-1}\ln(v+a+l)+{\frac {1}{r}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}N_{n,r}(a)(n-1)!}{(v)_{n}}},\qquad \Re (v)>-a,\quad r=1,2,3,\ldots }$

ここで多項式N _n,r ( a )は次の生成方程式で与えられる。

${\displaystyle {\frac {(1+z)^{a+m}-(1+z)^{a}}{\ln(1+z)}}=\sum _{n=0}^{\infty }N_{n,m}(a)z^{n},\qquad |z|<1,}$

したがって、N _n,1 ( a ) = ψ _n ( a )となる。^[13]ガンマ関数の対数を用いた同様の表現には、次の式が含まれる^[13]

${\displaystyle \psi (v)={\frac {1}{v+a-{\tfrac {1}{2}}}}\left\{\ln \Gamma (v+a)+v-{\frac {1}{2}}\ln 2\pi -{\frac {1}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\psi _{n+1}(a)}{(v)_{n}}}(n-1)!\right\},\qquad \Re (v)>-a,}$

そして

${\displaystyle \psi (v)={\frac {1}{{\tfrac {1}{2}}r+v+a-1}}\left\{\ln \Gamma (v+a)+v-{\frac {1}{2}}\ln 2\pi -{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{r}}\sum _{n=0}^{r-2}(r-n-1)\ln(v+a+n)+{\frac {1}{r}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}N_{n+1,r}(a)}{(v)_{n}}}(n-1)!\right\},}$

ここで、および。 ${\displaystyle \Re (v)>-a}$${\displaystyle r=2,3,4,\ldots }$

ディガンマ関数とポリガンマ関数は、ガンマ関数と同様の反射公式を満たします。

${\displaystyle \psi (1-x)-\psi (x)=\pi \cot \pi x}$。

${\displaystyle \psi '(-x)+\psi '(x)={\frac {\pi ^{2}}{\sin ^{2}(\pi x)}}+{\frac {1}{x^{2}}}}$。

ディガンマ関数は再帰関係を満たす

${\displaystyle \psi (x+1)=\psi (x)+{\frac {1}{x}}.}$

つまり、「望遠鏡」とも言える。1/x⁠、なぜなら、

${\displaystyle \Delta [\psi ](x)={\frac {1}{x}}}$

ここでΔは前進差分演算子である。これは調和級数の部分和の回帰関係を満たし、したがって式

${\displaystyle \psi (n)=H_{n-1}-\gamma }$

ここでγはオイラー・マスケロニ定数です。

実際、ψは関数方程式の唯一の解である。

${\displaystyle F(x+1)=F(x)+{\frac {1}{x}}}$

これはR ⁺上で単調であり、 F (1) = − γを満たす。この事実は、再帰方程式と凸制約が与えられたΓ関数の一意性から直ちに導かれる。これは、有用な差分方程式を意味する。

${\displaystyle \psi (x+N)-\psi (x)=\sum _{k=0}^{N-1}{\frac {1}{x+k}}}$

ディガンマ関数には多数の有限和公式がある。基本的な和公式としては、

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)=-m(\gamma +\ln m),}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \exp {\dfrac {2\pi rki}{m}}=m\ln \left(1-\exp {\frac {2\pi ki}{m}}\right),\qquad k\in \mathbb {Z} ,\quad m\in \mathbb {N} ,\ k\neq m}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \cos {\dfrac {2\pi rk}{m}}=m\ln \left(2\sin {\frac {k\pi }{m}}\right)+\gamma ,\qquad k=1,2,\ldots ,m-1}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \sin {\frac {2\pi rk}{m}}={\frac {\pi }{2}}(2k-m),\qquad k=1,2,\ldots ,m-1}$

はガウスによるものである。^{[16] [17]}より複雑な式、例えば

${\displaystyle \sum _{r=0}^{m-1}\psi \left({\frac {2r+1}{2m}}\right)\cdot \cos {\frac {(2r+1)k\pi }{m}}=m\ln \left(\tan {\frac {\pi k}{2m}}\right),\qquad k=1,2,\ldots ,m-1}$

${\displaystyle \sum _{r=0}^{m-1}\psi \left({\frac {2r+1}{2m}}\right)\cdot \sin {\dfrac {(2r+1)k\pi }{m}}=-{\frac {\pi m}{2}},\qquad k=1,2,\ldots ,m-1}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \cot {\frac {\pi r}{m}}=-{\frac {\pi (m-1)(m-2)}{6}}}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot {\frac {r}{m}}=-{\frac {\gamma }{2}}(m-1)-{\frac {m}{2}}\ln m-{\frac {\pi }{2}}\sum _{r=1}^{m-1}{\frac {r}{m}}\cdot \cot {\frac {\pi r}{m}}}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \cos {\dfrac {(2\ell +1)\pi r}{m}}=-{\frac {\pi }{m}}\sum _{r=1}^{m-1}{\frac {r\cdot \sin {\dfrac {2\pi r}{m}}}{\cos {\dfrac {2\pi r}{m}}-\cos {\dfrac {(2\ell +1)\pi }{m}}}},\qquad \ell \in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \sin {\dfrac {(2\ell +1)\pi r}{m}}=-(\gamma +\ln 2m)\cot {\frac {(2\ell +1)\pi }{2m}}+\sin {\dfrac {(2\ell +1)\pi }{m}}\sum _{r=1}^{m-1}{\frac {\ln \sin {\dfrac {\pi r}{m}}}{\cos {\dfrac {2\pi r}{m}}-\cos {\dfrac {(2\ell +1)\pi }{m}}}},\qquad \ell \in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi ^{2}\left({\frac {r}{m}}\right)=(m-1)\gamma ^{2}+m(2\gamma +\ln 4m)\ln {m}-m(m-1)\ln ^{2}2+{\frac {\pi ^{2}(m^{2}-3m+2)}{12}}+m\sum _{\ell =1}^{m-1}\ln ^{2}\sin {\frac {\pi \ell }{m}}}$

これらは、特定の現代作家の作品によるものである（例えば、Blagouchine（2014）^[18]の付録Bを参照）。

また、^[19]

${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+...+{\frac {1}{k-1}}-\gamma ={\frac {1}{k}}\sum _{n=0}^{k-1}\psi \left(1+{\frac {n}{k}}\right),k=2,3,...}$

正の整数rとm（r < m ）に対して、ディガンマ関数はオイラー定数と有限個の基本関数で表すことができる^[20]

${\displaystyle \psi \left({\frac {r}{m}}\right)=-\gamma -\ln(2m)-{\frac {\pi }{2}}\cot \left({\frac {r\pi }{m}}\right)+2\sum _{n=1}^{\left\lfloor {\frac {m-1}{2}}\right\rfloor }\cos \left({\frac {2\pi nr}{m}}\right)\ln \sin \left({\frac {\pi n}{m}}\right)}$

これは、再帰方程式のため、すべての有理数引数に対して成立します。

-関数の乗法定理は^[21]と同等である。${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle \psi (nz)={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}\psi \left(z+{\frac {k}{n}}\right)+\ln n.}$

ディガンマ関数は漸近展開を持つ

${\displaystyle \psi (z)\sim \ln z+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (1-n)}{z^{n}}}=\ln z-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{n}}{nz^{n}}},}$

ここで、B _kはk番目のベルヌーイ数、ζ はリーマンゼータ関数です。この展開の最初の数項は次のとおりです。

${\displaystyle \psi (z)\sim \ln z-{\frac {1}{2z}}-{\frac {1}{12z^{2}}}+{\frac {1}{120z^{4}}}-{\frac {1}{252z^{6}}}+{\frac {1}{240z^{8}}}-{\frac {1}{132z^{10}}}+{\frac {691}{32760z^{12}}}-{\frac {1}{12z^{14}}}+\cdots .}$

無限和はどのzに対しても収束しませんが、有限部分和はzが増加するにつれて精度が増します。

展開はオイラー・マクローリンの公式を合計に適用することで求められる^[22]

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{z+n}}\right)}$

この展開は、ガンマ関数のビネの第 2 積分公式から得られる積分表現からも導出できます。等比級数として展開し、ベルヌーイ数の積分表現を代入すると、上記と同じ漸近級数が得られます。さらに、級数の有限個の項のみを展開すると、明示的な誤差項を持つ式が得られます。 ${\displaystyle t/(t^{2}+z^{2})}$

${\displaystyle \psi (z)=\ln z-{\frac {1}{2z}}-\sum _{n=1}^{N}{\frac {B_{2n}}{2nz^{2n}}}+(-1)^{N+1}{\frac {2}{z^{2N}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{2N+1}\,dt}{(t^{2}+z^{2})(e^{2\pi t}-1)}}.}$

x > 0 のとき、関数

${\displaystyle \ln x-{\frac {1}{2x}}-\psi (x)}$

は完全に単調で、特に正である。これは、ガンマ関数のビネの第1積分から得られる積分表現に単調関数に関するベルンシュタインの定理を適用した結果である。さらに、凸性不等式 により、この表現の積分関数は によって上方に制限される。したがって、 ${\displaystyle 1+t\leq e^{t}}$${\displaystyle e^{-tz}/2}$

${\displaystyle {\frac {1}{x}}-\ln x+\psi (x)}$

も完全に単調である。従って、すべてのx > 0に対して、

${\displaystyle \ln x-{\frac {1}{x}}\leq \psi (x)\leq \ln x-{\frac {1}{2x}}.}$

これはホルスト・アルツァーの定理を再現するものである。^[23] アルツァーはまた、s∈ (0,1)に対して、

${\displaystyle {\frac {1-s}{x+s}}<\psi (x+1)-\psi (x+s),}$

関連する境界はエレゾヴィッチ、ジョルダーノ、ペカリックによって得られ、x > 0に対して、

${\displaystyle \ln(x+{\tfrac {1}{2}})-{\frac {1}{x}}<\psi (x)<\ln(x+e^{-\gamma })-{\frac {1}{x}},}$

ここで はオイラー・マスケロニ定数である。^[24]これらの境界内に現れる 定数（および）は、可能な限り最良のものである。^[25]${\displaystyle \gamma =-\psi (1)}$${\displaystyle 0.5}$${\displaystyle e^{-\gamma }\approx 0.56}$

平均値定理は、ガウチの不等式の次の類似を示唆する。x > c （c ≈ 1.461はディガンマ関数の唯一の正の実根）であり、 s > 0であれば、

${\displaystyle \exp \left((1-s){\frac {\psi '(x+1)}{\psi (x+1)}}\right)\leq {\frac {\psi (x+1)}{\psi (x+s)}}\leq \exp \left((1-s){\frac {\psi '(x+s)}{\psi (x+s)}}\right).}$

さらに、等式はs = 1の場合にのみ成立する。^[26]

古典的なガンマ関数の調和平均値不等式に触発されて、Horzt Alzer と Graham Jameson は、とりわけ二重ガンマ関数の調和平均値不等式を証明しました。

${\displaystyle -\gamma \leq {\frac {2\psi (x)\psi ({\frac {1}{x}})}{\psi (x)+\psi ({\frac {1}{x}})}}}$のために${\displaystyle x>0}$

等式は の場合にのみ成立する。^[27]${\displaystyle x=1}$

漸近展開は、xの実部が大きい場合にψ ( x )を計算する簡単な方法を提供します。xが小さい場合にψ ( x )を計算するには、再帰関係

${\displaystyle \psi (x+1)={\frac {1}{x}}+\psi (x)}$

xの値をより高い値にシフトするために使用できる。Beal ^[28]は、上記の再帰を使用してxを6より大きい値にシフトし、次にx ^14を超える項を切り捨てた上記の展開を適用することを提案しており、これにより「十分な精度」（ゼロ付近を除いて少なくとも12桁）が得られる。

x が無限大に近づくと、ψ ( x )はln( x − ⁠1/2⁠ )とln xです。 x + 1からxまで下がると、 ψ は⁠減少します。1/x⁠ , ln( x − ⁠1/2⁠ )はln( x + ⁠1/2⁠ ) / ( x − ⁠1/2⁠） 、これは⁠よりも多いです1/x⁠、 ln x はln(1 + ⁠だけ減少します1/x⁠） 、これは⁠より小さい1/x⁠。このことから、 ⁠より大きい任意の正のxに対して、1/2⁠、

${\displaystyle \psi (x)\in \left(\ln \left(x-{\tfrac {1}{2}}\right),\ln x\right)}$

または、任意の正のxに対して、

${\displaystyle \exp \psi (x)\in \left(x-{\tfrac {1}{2}},x\right).}$

指数関数exp ψ ( x )は、およそx − ⁠1/2⁠大きいxでは ですが、小さいxではxに近づき、 x = 0では 0 に近づきます。

x < 1の場合、1と2の間でψ ( x ) ∈ [− γ , 1 − γ ]であるという事実に基づいて極限を計算することができるので、

${\displaystyle \psi (x)\in \left(-{\frac {1}{x}}-\gamma ,1-{\frac {1}{x}}-\gamma \right),\quad x\in (0,1)}$

または

${\displaystyle \exp \psi (x)\in \left(\exp \left(-{\frac {1}{x}}-\gamma \right),e\exp \left(-{\frac {1}{x}}-\gamma \right)\right).}$

上記のψの漸近級数から、 exp(− ψ ( x ))の漸近級数を導くことができます。 この級数は全体的な動作とよく一致しています。つまり、大きな引数に対して漸近的に動作し、原点にも無制限の重複度のゼロがあります。

${\displaystyle {\frac {1}{\exp \psi (x)}}\sim {\frac {1}{x}}+{\frac {1}{2\cdot x^{2}}}+{\frac {5}{4\cdot 3!\cdot x^{3}}}+{\frac {3}{2\cdot 4!\cdot x^{4}}}+{\frac {47}{48\cdot 5!\cdot x^{5}}}-{\frac {5}{16\cdot 6!\cdot x^{6}}}+\cdots }$

これはy = 0におけるexp(− ψ (1 / y ))のテイラー展開に似ているが、収束しない。^[29]（この関数は無限遠では解析的ではない。） exp( ψ ( x ))についても同様の級数が存在し、これは次のように始まる。${\displaystyle \exp \psi (x)\sim x-{\frac {1}{2}}.}$

ψ ( x +1/2)の漸近級数を計算すると、 xの奇数乗は存在しない ( x ⁻¹項は存在しない)ことがわかります。これにより、次の漸近展開が得られ、偶数次の項を計算する必要がなくなります。

${\displaystyle \exp \psi \left(x+{\tfrac {1}{2}}\right)\sim x+{\frac {1}{4!\cdot x}}-{\frac {37}{8\cdot 6!\cdot x^{3}}}+{\frac {10313}{72\cdot 8!\cdot x^{5}}}-{\frac {5509121}{384\cdot 10!\cdot x^{7}}}+\cdots }$

関数のLanczos 近似と精神的に似ているのが、Spouge の近似です。 ${\displaystyle \Gamma }$

もう一つの選択肢は、再帰関係または乗法公式を使用して引数を範囲にシフトし、そこでチェビシェフ級数を評価することである。^{[30] [31]}${\displaystyle \psi (x)}$${\displaystyle 1\leq x\leq 3}$

ガウスのディガンマ定理の結果として、ディガンマ関数は有理数に対して閉じた形式の値を持ちます。以下にいくつかを示します。

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (1)&=-\gamma \\\psi \left({\tfrac {1}{2}}\right)&=-2\ln {2}-\gamma \\\psi \left({\tfrac {1}{3}}\right)&=-{\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}-{\frac {3\ln {3}}{2}}-\gamma \\\psi \left({\tfrac {1}{4}}\right)&=-{\frac {\pi }{2}}-3\ln {2}-\gamma \\\psi \left({\tfrac {1}{6}}\right)&=-{\frac {\pi {\sqrt {3}}}{2}}-2\ln {2}-{\frac {3\ln {3}}{2}}-\gamma \\\psi \left({\tfrac {1}{8}}\right)&=-{\frac {\pi }{2}}-4\ln {2}-{\frac {\pi +\ln \left({\sqrt {2}}+1\right)-\ln \left({\sqrt {2}}-1\right)}{\sqrt {2}}}-\gamma .\end{aligned}}}$

さらに、またはを対数微分すると、簡単に次のように導出できる。 ここで、は実数値である。${\displaystyle |\Gamma (bi)|^{2}}$${\displaystyle |\Gamma ({\tfrac {1}{2}}+bi)|^{2}}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle \operatorname {Im} \psi (bi)={\frac {1}{2b}}+{\frac {\pi }{2}}\coth(\pi b),}$

${\displaystyle \operatorname {Im} \psi ({\tfrac {1}{2}}+bi)={\frac {\pi }{2}}\tanh(\pi b).}$

ガウスのディガンマ定理を除けば、実部一般に対してはそのような閉じた公式は知られていない。例えば、虚数単位では数値近似が 成り立つ。

${\displaystyle \operatorname {Re} \psi (i)=-\gamma -\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n-1}{n^{3}+n^{2}+n+1}}\approx 0.09465.}$

二重ガンマ関数の根は複素数値ガンマ関数の鞍点である。したがって、それらはすべて実軸上に位置する。正の実軸上にある唯一の根は、R ^{+ 上の実数値ガンマ関数の}x ₀ =における唯一の最小値である。1.461 632 144 968 362 341 26 ...。その他はすべて、負の軸上の極の間に単独で発生します。

× ₁ =−0.504 083 008 264 455 409 25 ...

× ₂ =−1.573 498 473 162 390 458 77 ...

× ₃ =−2.610 720 868 444 144 650 00 ...

× ₄ =−3.635 293 366 436 901 097 83 ...

${\displaystyle \vdots }$

すでに1881年に、シャルル・エルミートは次の ように観察している^[32]。

${\displaystyle x_{n}=-n+{\frac {1}{\ln n}}+O\left({\frac {1}{(\ln n)^{2}}}\right)}$

漸近的に成り立つ。根の位置のより良い近似は次のように与えられる。

${\displaystyle x_{n}\approx -n+{\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {\pi }{\ln n}}\right)\qquad n\geq 2}$

さらに別の言葉を使うとさらに良くなる

${\displaystyle x_{n}\approx -n+{\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {\pi }{\ln n+{\frac {1}{8n}}}}\right)\qquad n\geq 1}$

どちらも反射式から派生しており、

${\displaystyle 0=\psi (1-x_{n})=\psi (x_{n})+{\frac {\pi }{\tan \pi x_{n}}}}$

そして、ψ ( x _n )をその収束しない漸近展開に代入する。この展開の正しい第2項は、⁠1/2位⁠、ここで与えられたものは、小さなnで根を近似するのにうまく機能します。

エルミートの公式のもう一つの改良法は次の通りである: ^[11]

${\displaystyle x_{n}=-n+{\frac {1}{\log n}}-{\frac {1}{2n(\log n)^{2}}}+O\left({\frac {1}{n^{2}(\log n)^{2}}}\right).}$

零点に関しては、イシュトヴァン・メゾーとマイケル・ホフマンによって次のような無限和の恒等式が最近証明された^{[11] [33]。}

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{2}}}&=\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{2}},\\\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{3}}}&=-4\zeta (3)-\gamma ^{3}-{\frac {\gamma \pi ^{2}}{2}},\\\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{4}}}&=\gamma ^{4}+{\frac {\pi ^{4}}{9}}+{\frac {2}{3}}\gamma ^{2}\pi ^{2}+4\gamma \zeta (3).\end{aligned}}}$

一般的に、関数

${\displaystyle Z(k)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{k}}}}$

決定することができ、引用された著者によって詳細に研究されています。

以下の結果^[11]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{2}+x_{n}}}&=-2,\\\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{2}-x_{n}}}&=\gamma +{\frac {\pi ^{2}}{6\gamma }}\end{aligned}}}$

も当てはまります。

ディガンマ関数は発散積分の正規化に現れる

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{x+a}},}$

この積分は発散する一般的な調和級数で近似できるが、級数には次の値が付加される。

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+a}}=-\psi (a).}$

• ポリガンマ関数
• トリガンマ関数
• Wimp, Jet (1961)のディガンマ関数のチェビシェフ展開。「積分変換の多項式近似」。Math . Comp . 15 (74): 174–178. doi : 10.1090/S0025-5718-61-99221-3。

• OEISシーケンス A020759 ((-1)*Gamma'(1/2)/Gamma(1/2) の 10 進展開。ここで Gamma(x) は Gamma 関数を表します) - psi(1/2)

OEIS :A047787 psi(1/3)、 OEIS : A200064 psi(2/3)、OEIS:A020777 psi(1/4)、 OEIS : A200134 psi(3/4)、 OEIS :A200135からOEIS :A200138 psi(1/5)からpsi(4/5)。