ベータ関数

数学において、ベータ関数（第一種オイラー積分とも呼ばれる）は、ガンマ関数および二項係数と密接に関連する特殊な関数である。ベータ関数は、次の積分によって定義される。

$${\displaystyle \mathrm {B} (z_{1},z_{2})=\int _{0}^{1}t^{z_{1}-1}(1-t)^{z_{2}-1}\,dt}$$複素数入力 の場合${\displaystyle z_{1},z_{2}}$そのため${\displaystyle \operatorname {Re} (z_{1}),\operatorname {Re} (z_{2})>0}$。

ベータ関数はレオンハルト・オイラーとアドリアン＝マリー・ルジャンドルによって研究され、ジャック・ビネによって命名されました。その記号Βはギリシャ文字の大文字ベータです。

ベータ関数は対称であり、つまり ${\displaystyle \mathrm {B} (z_{1},z_{2})=\mathrm {B} (z_{2},z_{1})}$すべての入力に対して$\displaystyle z_{1}}$そして$\displaystyle z_2}}$[ ^{1 ]​}

ベータ関数の重要な特性は、ガンマ関数との密接な関係です。^{[ 1 ]}

$${\displaystyle \mathrm {B} (z_{1},z_{2})={\frac {\Gamma (z_{1})\,\Gamma (z_{2})}{\Gamma (z_{1}+z_{2})}}}$$

証明は、§ ガンマ関数との関係で以下に示します。

ベータ関数は二項係数とも密接に関係している。m (または対称性によりn ) が正の整数である場合、ガンマ関数Γの定義から次のことが導かれる^{[ 1 ]}

$${\displaystyle \mathrm {B} (m,n)={\frac {(m-1)!\,(n-1)!}{(m+n-1)!}}={\frac {m+n}{mn}}{\Bigg /}{\binom {m+n}{m}}}$$

この関係式を導出するには、2つの階乗の積を積分として表します。これらは2つの異なる変数に関する積分なので、それらを反復積分にまとめることができます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z_{1})\Gamma (z_{2})&=\int _{u=0}^{\infty }\ e^{-u}u^{z_{1}-1}\,du\cdot \int _{v=0}^{\infty }\ e^{-v}v^{z_{2}-1}\,dv\\[6pt]&=\int _{v=0}^{\infty }\int _{u=0}^{\infty }\ e^{-u-v}u^{z_{1}-1}v^{z_{2}-1}\,du\,dv.\end{aligned}}}$$

u = stおよびv = s (1 − t )で変数変換すると、u + v = sおよびu / ( u + v ) = tであるため、 sの積分範囲は0 から ∞ まで、 tの積分範囲は 0 から1 までとなります。したがって、次の式が得られます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z_{1})\Gamma (z_{2})&=\int _{s=0}^{\infty }\int _{t=0}^{1}e^{-s}(st)^{z_{1}-1}(s(1-t))^{z_{2}-1}s\,dt\,ds\\[6pt]&=\int _{s=0}^{\infty }e^{-s}s^{z_{1}+z_{2}-1}\,ds\cdot \int _{t=0}^{1}t^{z_{1}-1}(1-t)^{z_{2}-1}\,dt\\[1ex]&=\Gamma (z_{1}+z_{2})\cdot \mathrm {B} (z_{1},z_{2}).\end{aligned}}}$$

両辺を${\displaystyle \Gamma (z_{1}+z_{2})}$望ましい結果が得られる。

示された恒等式は、畳み込みの積分の恒等式の特殊な場合と見なすことができる。

$${\displaystyle {\begin{aligned}f(u)&:=e^{-u}u^{z_{1}-1}1_{\mathbb {R} _{+}}\\g(u)&:=e^{-u}u^{z_{2}-1}1_{\mathbb {R} _{+}},\end{aligned}}}$$

1つは以下を持っている：

$${\displaystyle \Gamma (z_{1})\Gamma (z_{2})=\int _{\mathbb {R} }f(u)\,du\cdot \int _{\mathbb {R} }g(u)\,du=\int _{\mathbb {R} }(f*g)(u)\,du=\mathrm {B} (z_{1},z_{2})\,\Gamma (z_{1}+z_{2}).}$$

この関係の導出については、「ガンマ関数」の18～19ページ^{[ 2 ]}を参照してください。

我々は持っています

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z_{1}}}\mathrm {B} (z_{1},z_{2})=\mathrm {B} (z_{1},z_{2})\left({\frac {\Gamma '(z_{1})}{\Gamma (z_{1})}}-{\frac {\Gamma '(z_{1}+z_{2})}{\Gamma (z_{1}+z_{2})}}\right)=\mathrm {B} (z_{1},z_{2}){\big (}\psi (z_{1})-\psi (z_{1}+z_{2}){\big )},}$$

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z_{m}}}\mathrm {B} (z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})=\mathrm {B} (z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})\left(\psi (z_{m})-\psi {\left(\sum _{k=1}^{n}z_{k}\right)}\right),\quad 1\leq m\leq n,}$$

どこ${\displaystyle \psi (z)}$はディガンマ関数を表す。

スターリングの近似式は漸近式を与える。

$${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\sim {\sqrt {2\pi }}{\frac {x^{x-1/2}y^{y-1/2}}{({x+y})^{x+y-1/2}}}}$$

xとyが大きい場合。

一方、xが大きくyが固定されている場合、

$${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\sim \Gamma (y)\,x^{-y}.}$$

ベータ関数を定義する積分は、以下のような様々な方法で書き換えることができる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {B} (z_{1},z_{2})&=2\int _{0}^{\pi /2}(\sin \theta )^{2z_{1}-1}(\cos \theta )^{2z_{2}-1}\,d\theta ,\\[6pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{z_{1}-1}}{(1+t)^{z_{1}+z_{2}}}}\,dt,\\[6pt]&=n\int _{0}^{1}t^{nz_{1}-1}(1-t^{n})^{z_{2}-1}\,dt,\\&=(1-a)^{z_{2}}\int _{0}^{1}{\frac {(1-t)^{z_{1}-1}t^{z_{2}-1}}{(1-at)^{z_{1}+z_{2}}}}dt\qquad {\text{for any }}a\in \mathbb {R} _{\leq 1},\end{aligned}}}$$

ここで、最後から2番目の恒等式では、nは任意の正の実数である。最初の積分から2番目の積分へは、次のように代入することで進むことができる。${\displaystyle t=\tan ^{2}(\theta )}$。

値については${\displaystyle z=z_{1}=z_{2}\neq 1}$我々は持っています：

$${\displaystyle \mathrm {B} (z,z)={\frac {1}{z}}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\left({\sqrt[{z}]{\sin \theta }}+{\sqrt[{z}]{\cos \theta }}\right)^{2z}}}\,d\theta }$$

ベータ関数は無限級数として表すことができる^{[ 3 ]}$${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(1-x)_{n}}{(y+n)\,n!}}}$$ もし${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$数値に等しい${\displaystyle z}$我々は以下を得る： $${\displaystyle \mathrm {B} (z,z)=2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2z+n-1)_{n}(-1)^{n}}{(z+n)n!}}=\lim _{x\to 1^{-}}2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-2z)_{n}x^{n}}{(z+n)n!}}}$$ どこ${\displaystyle (x)_{n}}$は上昇階乗であり、無限積として$${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {x+y}{xy}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\dfrac {xy}{n(x+y+n)}}\right)^{-1}.}$$

ベータ関数は、パスカルの恒等式の一種を含む、二項係数に対応する恒等式に類似したいくつかの恒等式を満たす。

$${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y+1)+\mathrm {B} (x+1,y),}$$

これは以下のように証明できる。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {B} (x,y+1)+\mathrm {B} (x+1,y)&={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y+1)}{\Gamma (x+y+1)}}+{\frac {\Gamma (x+1)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y+1)}}\\&={\frac {y\Gamma (x)\Gamma (y)+x\Gamma (x)\Gamma (y)}{(x+y)\Gamma (x+y)}}\\&={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}\\&=\mathrm {B} (x,y).\end{aligned}}}$$

上記の証明は、1 つの座標に関する単純な漸化式も示している^{[ 4 ]}

$${\displaystyle \mathrm {B} (x+1,y)=\mathrm {B} (x,y)\cdot {\dfrac {x}{x+y}},\quad \mathrm {B} (x,y+1)=\mathrm {B} (x,y)\cdot {\dfrac {y}{x+y}}.}$$

ベータ関数の正の整数値は、2D 関数の偏導関数でもあります。すべての非負の整数に対して、${\displaystyle m}$そして${\displaystyle n}$、 $${\displaystyle \mathrm {B} (m+1,n+1)={\frac {\partial ^{m+n}h}{\partial a^{m}\,\partial b^{n}}}(0,0),}$$ どこ $${\displaystyle h(a,b)={\frac {e^{a}-e^{b}}{a-b}}.}$$ 上記のパスカルのような恒等式は、この関数が1階偏微分方程式の解であることを示唆している。$${\displaystyle h=h_{a}+h_{b}.}$$

のために${\displaystyle x,y\geq 1}$ベータ関数は、切り捨てられたべき関数を含む畳み込みによって表すことができる。${\displaystyle t\mapsto t_{+}^{x}}$: $${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\cdot \left(t\mapsto t_{+}^{x+y-1}\right)={\Big (}t\mapsto t_{+}^{x-1}{\Big )}*{\Big (}t\mapsto t_{+}^{y-1}{\Big )}}$$

特定の時点での評価は大幅に簡略化される可能性があります。たとえば、 $${\displaystyle \mathrm {B} (1,x)={\dfrac {1}{x}}}$$ および^{[ 5 ]}$${\displaystyle \mathrm {B} (x,1-x)={\dfrac {\pi }{\sin(\pi x)}},\qquad x\not \in \mathbb {Z} }$$

取ることで${\displaystyle x={\frac {1}{2}}}$この最後の式では、${\displaystyle \Gamma (1/2)={\sqrt {\pi }}}$これをベータ関数の積に関する二変数恒等式に一般化すると、次のようになる。 $${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\cdot \mathrm {B} (x+y,1-y)={\frac {\pi }{x\sin(\pi y)}}.}$$

また、ルジャンドルの倍数公式を用いると、 $${\displaystyle 2^{z-1}\mathrm {B} (z/2,z/2)=\mathrm {B} (1/2,z/2).}$$

ベータ関数のオイラー積分は、ポッホハマー経路C上の積分に変換できます。

$${\displaystyle \left(1-e^{2\pi i\alpha }\right)\left(1-e^{2\pi i\beta }\right)\mathrm {B} (\alpha ,\beta )=\int _{C}t^{\alpha -1}(1-t)^{\beta -1}\,dt.}$$

このポッホハマー積分は、αとβのすべての値に対して収束するため、ベータ関数の解析接続を与える。

整数に対するガンマ関数が階乗を表すのと同様に、ベータ関数は指数を調整した後、二項係数を定義することができる。 $${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {1}{(n+1)\,\mathrm {B} (n-k+1,\,k+1)}}.}$$

さらに、整数nに対して、Β は因数分解して、 kの連続値に対する閉じた形式の補間関数を与えることができる。 $${\displaystyle {\binom {n}{k}}=(-1)^{n}\,n!\cdot {\frac {\sin(\pi k)}{\pi \displaystyle \prod _{i=0}^{n}(k-i)}}.}$$

逆ベータ関数は、次の形式の関数です。

$${\displaystyle f(x,y)={\frac {1}{\mathrm {B} (x,y)}}}$$

興味深いことに、それらの積分表現は、そのべき乗と多角の積を持つ三角関数の定積分として密接に関連しています。^{[ 6 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\pi }\sin ^{x-1}\theta \sin y\theta ~d\theta &={\frac {\pi \sin {\frac {y\pi }{2}}}{2^{x-1}x\mathrm {B} {\left({\frac {x+y+1}{2}},{\frac {x-y+1}{2}}\right)}}}\\[1ex]\int _{0}^{\pi }\sin ^{x-1}\theta \cos y\theta ~d\theta &={\frac {\pi \cos {\frac {y\pi }{2}}}{2^{x-1}x\mathrm {B} {\left({\frac {x+y+1}{2}},{\frac {x-y+1}{2}}\right)}}}\\[1ex]\int _{0}^{\pi }\cos ^{x-1}\theta \sin y\theta ~d\theta &={\frac {\pi \cos {\frac {y\pi }{2}}}{2^{x-1}x\mathrm {B} {\left({\frac {x+y+1}{2}},{\frac {x-y+1}{2}}\right)}}}\\[1ex]\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{x-1}\theta \cos y\theta ~d\theta &={\frac {\pi }{2^{x}x\mathrm {B} {\left({\frac {x+y+1}{2}},{\frac {x-y+1}{2}}\right)}}}\end{aligned}}}$$

不完全ベータ関数は、ベータ関数の一般化であり、^{[ 7 ] [ 8 ]で定義されています。}

$${\displaystyle \mathrm {B} (x;\,a,b)=\int _{0}^{x}t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,dt.}$$

x = 1の場合、不完全ベータ関数は完全ベータ関数と一致します。正の整数aおよびbの場合、不完全ベータ関数は有理係数を持つ次数a + b − 1の多項式になります。

置換により${\displaystyle t=\sin ^{2}\theta }$そして${\displaystyle t={\frac {1}{1+s}}}$我々は、 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {B} (x;\,a,b)&=2\int _{0}^{\arcsin {\sqrt {x}}}\sin ^{2a-1\!}\theta \cos ^{2b-1\!}\theta \,d\theta \\[1ex]&=\int _{\frac {1-x}{x}}^{\infty }{\frac {s^{b-1}}{(1+s)^{a+b}}}\,ds\end{aligned}}}$$

正則化不完全ベータ関数（または略して正則化ベータ関数）は、不完全ベータ関数と完全ベータ関数を用いて次のように定義される。

$${\displaystyle I_{x}(a,b)={\frac {\mathrm {B} (x;\,a,b)}{\mathrm {B} (a,b)}}.}$$

正則化された不完全ベータ関数はベータ分布の累積分布関数であり、累積分布関数と関連している。${\displaystyle F(k;\,n,p)}$確率pで単一の成功、 nでベル​​ヌーイ試行回数の二項分布に従う確率変数Xについて:

$${\displaystyle {\begin{aligned}F(k;\,n,p)&=\Pr \left(X\leq k\right)\\[1ex]&=I_{1-p}(n-k,k+1)\\[1ex]&=1-I_{p}(k+1,n-k).\end{aligned}}}$$

ベータ関数は、2つ以上の引数を持つ関数に拡張できます。

$${\displaystyle \mathrm {B} (\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots \alpha _{n})={\frac {\Gamma (\alpha _{1})\,\Gamma (\alpha _{2})\cdots \Gamma (\alpha _{n})}{\Gamma (\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n})}}.}$$

この多変量ベータ関数は、ディリクレ分布の定義に用いられます。ベータ関数との関係は、多項係数と二項係数の関係に類似しています。例えば、パスカルの恒等式の類似したバージョンを満たします。

$${\displaystyle \mathrm {B} (\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots \alpha _{n})=\mathrm {B} (\alpha _{1}+1,\alpha _{2},\ldots \alpha _{n})+\mathrm {B} (\alpha _{1},\alpha _{2}+1,\ldots \alpha _{n})+\cdots +\mathrm {B} (\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots \alpha _{n}+1).}$$

ベータ関数は、レッジ軌道の散乱振幅の計算と表現に役立ちます。さらに、ガブリエレ・ヴェネツィアーノによって最初に予想された、弦理論における最初の既知の散乱振幅でもあります。また、確率的壺過程の一種である優先的付着過程の理論にも現れます。ベータ関数は、ベータ分布やベータプライム分布など、統計学においても重要です。前述したように、ベータ関数はガンマ関数と密接に関連しており、微積分学において重要な役割を果たします。

直接入手できない場合でも、完全ベータ関数と不完全ベータ関数の値は、表計算ソフトや数式処理システムに一般的に含まれている関数を使用して計算できます。

例えば、Microsoft Excelでは、完全なベータ関数は次GammaLnの関数（またはspecial.gammalnPythonのSciPyパッケージ）で計算できます。

Value = Exp(GammaLn(a) + GammaLn(b) − GammaLn(a + b))

この結果は、上記の特性から導き出される。

不完全ベータ関数は、このような関係式を用いて直接計算することはできないため、他の方法を用いる必要がある。GNU Octaveでは、連分数展開を用いて計算される。

不完全ベータ関数は、一般的な言語で既に実装されています。例えば、MATLABとGNU Octavebetaincの (不完全ベータ関数) 、RとSymPyの (ベータ分布の確率)などです。SciPy では、正則化された不完全ベータ関数(実際には累積ベータ分布)を計算します。実際の不完全ベータ関数を取得するには、 の結果に、対応する関数が返す結果を乗算します。Mathematica では、とは、pbetabetaincspecial.betaincspecial.betaincbetaBeta[x, a, b]BetaRegularized[x, a, b]${\displaystyle \mathrm {B} (x;\,a,b)}$そして${\displaystyle I_{x}(a,b)}$、 それぞれ。

• ベータ分布とベータプライム分布は、ベータ関数に関連する2つの確率分布である。
• ヤコビ和は、有限体上のベータ関数の類似物である。
• ノールンド・ライス積分
• ユール・サイモン分布

• Askey, RA ; Roy, ​​R. (2010)、「ベータ関数」、Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (編)、NIST 数学関数ハンドブック、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-19225-5MR 2723248​ 。
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007)、「第6.1節 ガンマ関数、ベータ関数、階乗」、『数値計算レシピ：科学計算の技法』 （第3 版）、ニューヨーク：ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-88068-82021年10月27日にオリジナルからアーカイブされ、 2011年8月9日に取得されました。

• 「ベータ関数」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]
• PlanetMathにおけるラプラス変換を用いたベータ関数の評価。
• 任意精度の値は以下から得られます。
  • Wolfram関数サイト：ベータ正規化不完全ベータの評価
  • danielsoper.com:不完全ベータ関数計算機、正規化不完全ベータ関数計算機