多変量ガンマ関数

数学において、多変量ガンマ関数Γ _{p は}ガンマ関数の一般化である。これは多変量統計において有用であり、ウィシャート分布と逆ウィシャート分布の確率密度関数、および行列変量ベータ分布に現れる。^[1]

これには 2 つの同等の定義があります。1 つは、正定値実数行列 上の次の積分として与えられます。${\displaystyle p\times p}$

${\displaystyle \Gamma _{p}(a)=\int _{S>0}\exp \left(-{\rm {tr}}(S)\right)\,\left|S\right|^{a-{\frac {p+1}{2}}}dS,}$

ここで はの行列式を表します。数値結果を取得するのにさらに便利なもう 1 つの式は次のとおりです。 ${\displaystyle |S|}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle \Gamma _{p}(a)=\pi ^{p(p-1)/4}\prod _{j=1}^{p}\Gamma (a+(1-j)/2) 。}$

どちらの定義でも、は実部が を満たす複素数です。 は通常のガンマ関数に簡約されることに注意してください。 上記の定義の 2 番目を使用すると、 の再帰関係を直接取得できます。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle \Re (a)>(p-1)/2}$${\displaystyle \Gamma _{1}(a)}$${\displaystyle p\geq 2}$

${\displaystyle \Gamma _{p}(a)=\pi ^{(p-1)/2}\Gamma (a)\Gamma _{p-1}(a-{\tfrac {1}{2}})=\pi ^{(p-1)/2}\Gamma _{p-1}(a)\Gamma (a+(1-p)/2).}$

したがって

• ${\displaystyle \Gamma _{2}(a)=\pi ^{1/2}\Gamma (a)\Gamma (a-1/2)}$
• ${\displaystyle \Gamma _{3}(a)=\pi ^{3/2}\Gamma (a)\Gamma (a-1/2)\Gamma (a-1)}$

等々。

これは、次の式を使用して の非整数値に拡張することもできます。${\displaystyle p}$

${\displaystyle \Gamma _{p}(a)=\pi ^{p(p-1)/4}{\frac {G(a+{\frac {1}{2}})G(a+1)}{G(a+{\frac {1-p}{2}})G(a+1-{\frac {p}{2}})}}}$

ここで、G はBarnes G 関数、つまりガン​​マ関数の不定積です。

この関数はアンダーソン^{[2]によって第一原理から導き出されたもので、アンダーソンは}ウィシャート、マハラノビスら による以前の研究も引用している。

多変量ガンマ関数には、単一の複素数の代わりに複素数の次元ベクトルを引数として取るバージョンも存在する。これは、前者の多変量引数の特定の選択によって後者が得られる限り、上で定義された多変量ガンマ関数を一般化するものである。^[3]${\displaystyle p}$

多変量ディガンマ関数は次のように 定義できる。

${\displaystyle \psi _{p}(a)={\frac {\partial \log \Gamma _{p}(a)}{\partial a}}=\sum _{i=1}^{p}\psi (a+(1-i)/2),}$

そして、一般的なポリガンマ関数は

${\displaystyle \psi _{p}^{(n)}(a)={\frac {\partial ^{n}\log \Gamma _{p}(a)}{\partial a^{n}}}=\sum _{i=1}^{p}\psi ^{(n)}(a+(1-i)/2).}$

• 以来

${\displaystyle \Gamma _{p}(a)=\pi ^{p(p-1)/4}\prod _{j=1}^{p}\Gamma \left(a+{\frac {1-j}{2}}\right),}$

すると

${\displaystyle {\frac {\partial \Gamma _{p}(a)}{\partial a}}=\pi ^{p(p-1)/4}\sum _{i=1}^{p}{\frac {\partial \Gamma \left(a+{\frac {1-i}{2}}\right)}{\partial a}}\prod _{j=1,j\neq i}^{p}\Gamma \left(a+{\frac {1-j}{2}}\right).}$

• ディガンマ関数, ψの定義により、

${\displaystyle {\frac {\partial \Gamma (a+(1-i)/2)}{\partial a}}=\psi (a+(i-1)/2)\Gamma (a+(i-1)/2)}$

すると

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \Gamma _{p}(a)}{\partial a}}&=\pi ^{p(p-1)/4}\prod _{j=1}^{p}\Gamma (a+(1-j)/2)\sum _{i=1}^{p}\psi (a+(1-i)/2)\\[4pt]&=\Gamma _{p}(a)\sum _{i=1}^{p}\psi (a+(1-i)/2).\end{aligned}}}$

• 1. James, A. (1964). 「正規分布サンプルから得られる行列変量と潜在根の分布」Annals of Mathematical Statistics . 35 (2): 475–501. doi : 10.1214/aoms/1177703550 . MR  0181057. Zbl  0121.36605.
• 2. AK Gupta および DK Nagar 1999.「行列変量分布」。Chapman および Hall。