カット軌跡

微分幾何学において、多様体上の点pの切断軌跡とは、2つ以上の異なる最短測地線によってpに接続される多様体上の他のすべての点の集合の閉包である。^{[1]より一般的には、多様体上の}閉集合Xの切断軌跡とは、2つ以上の異なる最短測地線によって Xに接続される多様体上の他のすべての点の集合の閉包である。

ユークリッド平面では、点p は空の切断軌跡を持ちます。これは、他のすべての点が、一意の測地線 (点間の線分) によって pに接続されているためです。

球面上で、点の切断軌跡は、その点と正反対にある 単一の対心点から構成されます。

無限に長い円筒上で、点の切断軌跡はその点の反対側の線から構成されます。

X をユークリッド平面上の単純な多角形の境界とします。多角形の内部におけるXの切断軌跡は、多角形の中心軸です。中心軸上の点は、2 つ以上の点で多角形の境界に接する円板の中心であり、円板の中心までの 2 つ以上の最短経路に対応します。

x を凸多面体 Pの表面上の点とします。多面体の表面上のxの切断軌跡は、xに関するPの尾根木として知られています。この尾根木には、表面をその辺に沿って切断すると、 P が単純な平面多角形に展開されるという特性があります。この多角形は、多面体の 網として見ることができます。

完全リーマン多様体内の点を固定し、接空間について考える。 が十分に小さい に対して、区間 に属するリーマン指数写像によって定義される曲線はを最小化する測地線となり、 は 2 つの端点を結ぶ唯一の最小化する測地線となることが標準的な結果である。ここで はからの指数写像を表す。接空間における の切断軌跡は、が に対して最小化する測地線であるが、任意のに対して に対して を最小化することができないような内のすべてのベクトルの集合として定義される。したがって、接空間における の切断軌跡は、集合^[2]の境界であり、 ここで はの長さ計量を表し、 はのユークリッドノルムである。におけるの切断軌跡は、における指数写像の下での接空間におけるの切断軌跡の像として定義される。したがって、 の切断軌跡は、から始まる測地線が最小化を停止する 多様体内の点として解釈できます。${\displaystyle p}$${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle T_{p}M}$${\displaystyle v}$${\displaystyle T_{p}M}$${\displaystyle \gamma (t)=\exp _{p}(tv)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle \exp_{p}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle v}$${\displaystyle T_{p}M}$${\displaystyle \gamma (t)=\exp _{p}(tv)}$${\displaystyle t\in [0,1]}$${\displaystyle t=1+\varepsilon }$${\displaystyle \epsilon >0}$ $${\displaystyle \{v\in T_{p}M|d(\exp _{p}v,p)=\|v\|\}}$$${\displaystyle d}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle T_{p}M}$${\displaystyle p}$${\displaystyle M}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle M}$${\displaystyle p}$

pから切断軌跡までの最小距離は、 pにおける単射半径です。この半径の開球上では、pにおける指数写像は接空間から多様体への微分同相写像であり、これがそのような半径の最大値です。大域的単射半径は、多様体のすべての点におけるpにおける単射半径の下限として定義されます。

が におけるの切断軌跡内にあると仮定します。標準的な結果^[3]は、(1)に接続する最小測地線が複数存在するか、(2)と がそれらを接続する測地線に沿って共役であるかのいずれかです。(1) と (2) の両方が成り立つ可能性があります。 ${\displaystyle q}$${\displaystyle p}$${\displaystyle M}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$

切断軌跡の重要性は、点からの距離関数が、切断軌跡とそれ自身を除いて滑らかであることです。特に、距離関数の勾配とヘッセ行列を切断軌跡とから遠ざけることは理にかなっています。この考え方は、局所ラプラシアン比較定理と局所ヘッセ行列比較定理で使用されます。これらは、トポノゴフ定理の局所バージョンの証明や、リーマン幾何学における他の多くの重要な定理で使用されます。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

凸多面体上の表面距離の計量空間では、多面体を切断軌跡に沿って切断すると、平面に平らに展開できる形状が生成され、ソース展開が行われます。^[4]展開プロセスは、多面体のブルーミングとして連続的に実行できます。 ^[5]切断軌跡に沿って切断する類似の方法は、高次元の凸多面体を展開するためにも使用できます。^[6]

同様に、リーマン多様体の部分多様体のカット軌跡を、その正規指数写像の観点から定義することができます。