エルミート対称空間

数学において、エルミート対称空間は、あらゆる点でエルミート構造を保存する反転対称性を持つエルミート多様体です。エリー・カルタンによって初めて研究され、実多様体から複素多様体へのリーマン対称空間の概念の自然な一般化を形成します。

すべてのエルミート対称空間はその等長群にとって等質空間であり、既約空間とユークリッド空間の積として一意に分解される。既約空間は非コンパクト空間として対になって現れ、ボレルが示したように、そのコンパクトな双対空間の開部分空間として埋め込むことができる。ハリシュ・チャンドラは、各非コンパクト空間は複素ベクトル空間内の有界対称領域として実現できることを示した。最も単純なケースは、群 SU(2), SU(1,1) とそれらの共通の複素化 SL(2, C ) である。この場合、非コンパクト空間は単位円板であり、SU(1,1) の等質空間である。これは複素平面C内の有界領域である。 Cの 1 点コンパクト化であるリーマン球面 は双対空間であり、SU(2) と SL(2, C )の等質空間である。

既約コンパクトエルミート対称空間は、最大トーラスを含み、中心が円群と同型である最大閉連結部分群による単純コンパクトリー群の同次空間とまったく同じである。既約空間の完全な分類があり、カルタンによって研究された 4 つの古典的な級数と 2 つの例外的なケースがある。この分類は、最大トーラスを含む閉連結部分群を分類するボレル-ド・ジーベンタール理論から演繹できる。エルミート対称空間は、ジョルダン三重体系、いくつかの複素変数、複素幾何学、保型形式、群表現の理論に現れ、特に半単純リー群の正則離散級数表現の構築を可能にする。^[1]

H を連結コンパクト半単純リー群、σ をHの位数 2 の自己同型、H ^σをσ の不動点部分群とする。K を H σ とその単位元成分の間にある H の閉部分群とする。コンパクト同^次空間H / Kはコンパクト型対称空間と呼ばれる。リー代数は分解を許容する。 ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle \displaystyle {{\mathfrak {h}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {m}},}}$

ここで、 Kのリー代数 は、σ の +1 固有空間と–1 固有空間です。が の単純な和を含まない場合、ペア ( , σ) はコンパクト型の直交対称リー代数と呼ばれます。^[2]${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

上の任意の内積は、随伴表現と σに関して不変であり、 H / K上にリーマン構造を誘導し、H は等長変換によって作用する。標準的な例は、キリング形式を引いたものである。このような内積の下では、およびは直交する。したがって、 H / Kはコンパクト型のリーマン対称空間である。^[3]${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$

対称空間H / Kは、リーマン計量を保存するほぼ複素構造を持つ場合、エルミート対称空間と呼ばれます。これは、内積を保存し、Kの作用と可換な、 J ² = − Iを満たす線型写像Jの存在と同等です。 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$

( ,σ) がエルミートである場合、K は非自明な中心を持ち、対称性 σ は内部的であり、 Kの中心の要素によって実装されます。 ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

実際、Jは にあり、 exp tJ はKの中心で 1 パラメータ群を形成します。これは、A、B、C、Dが にある 場合、 の内積の不変性により、^[4]${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle \displaystyle {([[A,B],C],D)=([A,B],[C,D])=([[C,D],B],A).}}$

AとBをJAとJBに置き換えると、

${\displaystyle \displaystyle {[JA,JB]=[A,B].}}$

J を0 に 拡張して 上の線型写像 δ を定義します。最後の関係式は δ が の微分であることを示しています。は半単純であるため、 δ は内部微分でなければなりません。 ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle \displaystyle {\delta (X)=[T+A,X],}}$

ここ で 、 T は、Aは である。X を とると、 A = 0 であり、 Tはの中心にあるため、Kは非半単純である。対称性 σ はz = exp π Tによって実現され、ほぼ複素構造は exp π/2 Tによって実現される。^[5]${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$

σ の内在性は、K がHの最大トーラスを含むことを意味し、したがって最大階数を持つ。一方、exp tTの要素のトーラスSによって生成される部分群の中心化は連結である。なぜなら、 x がKの任意の要素である場合、xとS を含む最大トーラスが存在し、それが中心化に含まれるからである。他方、SはKの中心であるため、それはK を含み、 z はSに含まれるため、 Kに含まれる。したがって、K はSの中心化であり、したがって連結である。特に、K はHの中心を含む。^[2]

対称空間またはペア ( , σ) は、 の随伴作用(または同等にH ^σまたは Kの恒等成分) が 上で既約である場合に既約であるという。これは、 が部分代数として最大であることと同等である。^[6]${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$

実際、中間部分代数とのK不変部分空間 の間には一対一の対応があり、 ${\displaystyle {\mathfrak {l}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{1}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$

${\displaystyle \displaystyle {{\mathfrak {l}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {m}}_{1},\,\,\,\ {\mathfrak {m}}_{1}={\mathfrak {l}}\cap {\mathfrak {m}}.}}$

エルミート型の任意の直交対称代数( , σ)は、エルミート型の既約直交対称代数の（直交）直和として分解できる。^[7]${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

実際には単純な代数の直和として書くことができる ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle \displaystyle {{\mathfrak {h}}=\oplus _{i=1}^{N}{\mathfrak {h}}_{i},}}$

これらは両方とも内部であるため、自己同型 σ と複素構造Jによって不変のまま残されます。 の固有空間分解は、およびとの交差と一致します。 そのため、 σ の への制限は既約です。 ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{1}}$${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{1}}$

直交対称リー代数のこの分解は、Hが単連結である場合、対応するコンパクト対称空間H / Kの直積分解をもたらす。この場合、不動点部分群H ^{σ は}自動的に連結される。単連結Hの場合、対称空間H / K は、 H _iが単連結かつ単純である場合のH _i / K _iの直積である。既約な場合、K はHの最大連結部分群である。K は（ Jによって定義される複素構造の複素空間とみなされて）に既約に作用するため、 Kの中心は、演算子 exp tTによって与えられる1 次元トーラスTである。各Hは単連結でKも連結であるため、商H / Kは単連結である。^[8]${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$

H / Kが既約でKが半単純でない場合、コンパクト群Hは単純でK は最大階数でなければならない。ボレル・ド・ジーベンタール理論から、反転 σ は内部であり、K はTに同型であるその中心の中心化である。特に、Kは連結である。したがって、H / Kは単連結であり、 Hの複素化Gには放物線部分群 Pが存在し、 H / K = G / Pとなる。特に、 H / Kには複素構造があり、 Hの作用は正則である。任意のエルミート対称空間は既約空間の積であるため、一般に同じことが当てはまります。

リー代数レベルでは対称分解が存在する。

${\displaystyle {\mathfrak {h}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {m}},}$

ここで、Jは複素構造を持つ実ベクトル空間であり、その複素次元は表に示されている。これに対応して、次数付きリー代数分解 が存在する。${\displaystyle ({\mathfrak {m}},J)}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {m}}_{+}\oplus {\mathfrak {l}}\oplus {\mathfrak {m}}_{-}}$

ここで、 はJとの + i固有空間と − i固有空間への分解です。P のリー代数は半直積 です。複素リー代数は アーベルです。実際、UとVが にある場合、[ U , V ] = J [ U , V ] = [ JU , JV ] = [ ± iU ,± iV ] = –[ U , V ] となり、リー括弧は消えます。 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}\otimes \mathbb {C} ={\mathfrak {m}}_{-}\oplus {\mathfrak {m}}_{+}}$${\displaystyle {\mathfrak {l}}={\mathfrak {k}}\otimes \mathbb {C} }$${\displaystyle {\mathfrak {m}}^{+}\oplus {\mathfrak {l}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{\pm }}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{\pm }}$

の複素部分空間はKの作用に対して既約である。なぜならJ はKと可換であり、それぞれが複素構造 ± Jと同型だからである。同様に、 Kの中心T は恒等表現によって に作用し、共役表現によって に作用する。^[9]${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{\pm }}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{\mathbb {C} }}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{+}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{-}}$

H / Kを一般化旗多様体G / Pとして実現するには、G を表のように（Hの複素化）、PをKの複素化Lと複素アーベル部分群 expの半直積に等しい放物線部分群とします。（代数群の言語では、 L はPのレヴィ因子です。） ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{+}}$

コンパクト型の任意のエルミート対称空間は単連結であり、中心Tに最大階数の H i 単純、 K i 連結である既約_{エルミート}対称空間_H i _/ K i_の直積として表すことができます。したがって、既約な場合はボレル-ド・ジーベンタール理論によって分類される非半単純ケースとまったく同じです。^[2]

したがって、既約コンパクトエルミート対称空間H / Kは次のように分類されます。

コンパクト リーマン対称空間の分類では、エルミート対称空間は、p = 2 またはq = 2 の 4 つの無限級数 AIII、DIII、CI、BDI と、例外的な 2 つの空間、すなわち EIII と EVII です。

コンパクト型の既約エルミート対称空間はすべて単連結である。単連結単純コンパクトリー群の対応する対称性σは内部対称性であり、周期2のZ ( K )/ Z ( H )の唯一の元Sとの共役によって与えられる。上記の表にあるように、古典群の場合、これらの対称性は次のようになる：^[10]

• AIII: S(U( p )×U( q ))において、αp ^{+ q =} (−1) ^pとなる。${\displaystyle S={\begin{pmatrix}-\alpha I_{p}&0\\0&\alpha I_{q}\end{pmatrix}}}$
• DIII: S = iI in U( n )⊂SO(2n )；この選択は と同等である。${\displaystyle J_{n}={\begin{pmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{pmatrix}}}$
• CI: S = iI in U( n ) ⊂ Sp( n ) = Sp( n , C ) ∩ U(2 n ); この選択はJ _nと同等です。
• BDI: SO( p )×SO(2)において。${\displaystyle S={\begin{pmatrix}I_{p}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}}}$

最大放物型部分群Pはこれらの古典的なケースでは明示的に記述できる。AIIIの場合

${\displaystyle \displaystyle {P(p,q)={\begin{pmatrix}A_{pp}&B_{pq}\\0&D_{qq}\end{pmatrix}}}}$

SL( p + q , C ) における。P ( p , q ) はC ^{p + q}におけるp次元の部分空間の安定化因子である。

他の群は反転の不動点として現れる。Jをn × n行列とし、対角要素に1、それ以外に0を置き、

${\displaystyle \displaystyle {A={\begin{pmatrix}0&J\\-J&0\end{pmatrix}}.}}$

すると Sp( n , C ) はSL(2 n , C )の反転 θ( g ) = A ( g ^t ) ⁻¹ A ^{−1の不動点部分群となる。SO(} n , C ) はSL( n , C ) における ψ( g ) = B ( g ^t ) ⁻¹ B ⁻¹の不動点として実現できる。ここでB = Jである。これらの反転により、 DIII および CI の場合はP ( n , n )が不変となり、 BDI の場合はP ( p ,2) が不変となる。対応する放物型部分群P は、不動点を取ることで得られる。コンパクト群HはG / Pに推移的に作用するため、G / P = H / Kとなる。

一般的な対称空間と同様に、各コンパクトエルミート対称空間H / Kには、 Hをリー代数を持つ 複素リー群Gの閉じた実リー部分群H ^*で置き換えることで得られる非コンパクト双対H ^* / Kが存在する。

${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}={\mathfrak {k}}\oplus i{\mathfrak {m}}\subset {\mathfrak {g}}.}$

H / KからG / Pへの自然な写像は同型であるが、H ^* / KからG / Pへの自然な写像は開集合への包含にすぎない。この包含は、アルマン・ボレルにちなんでボレル埋め込みと呼ばれる。実際、P ∩ H = K = P ∩ H * である。 HとH *の像は同じ次元を持つため開いている。Hの像はコンパクトで閉じているため、 H / K = G / Pとなる。^[11]

複素線型群Gの極分解はH *におけるカルタン分解H * = K ⋅ expを意味する。^[12]${\displaystyle i{\mathfrak {m}}}$

さらに、 t における最大アーベル部分代数が与えられたとき、 A = exp はA上でσ( a ) = a ⁻¹となるようなトーラル部分群であり、そのような 2 つはKの元によって共役である。 についても同様のことが言える。さらに、 A * = expならば、 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{*}=i{\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{*}}$

${\displaystyle \displaystyle {H^{*}=KA^{*}K.}}$

これらの結果は、任意のリーマン対称空間とその双対におけるカルタン分解の特殊なケースである。同次空間の原点から発する測地線は、 またはに生成元を持つ1つのパラメータ群と同一視できる。コンパクトなケースでも同様の結果が得られる：H = K ⋅ expおよびH = KAK。^[8]${\displaystyle i{\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle i{\mathfrak {m}}}$

完全に測地線状の部分空間Aの特性は直接示すことができる。 Aが閉じているのは、 Aの閉包がσ( a ) = a ⁻¹を満たすトーラル部分群であるため、そのリー代数は に含まれ、したがって最大性により に等しいからである。A は単一の元 exp Xによって位相的に生成できるため、 におけるXの中心化も生成できる。の任意の元のK軌道には、(X,Ad k Y) がk = 1で最小になるような元Yが存在する。 k = exp tTでTが にあるとすると、( X ,[ T , Y ]) = 0 となり、[ X , Y ] = 0となるため、Y はに含まれる。 したがっては の共役の和集合である。 特に、Xの共役のいく​​つかはの任意の他の選択に含まれ、その共役を中心化する。 したがって最大性により、唯一の可能性は の共役である 。 ^[13]${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$

分解

${\displaystyle \displaystyle {H=KAK,\,\,\,H=K\cdot \exp {\mathfrak {m}}}}$

は、コンパクト変換群のスライス定理をKのH / Kへの作用に適用することで直接証明できる。 [ ^14]実際、空間H / Kは

${\displaystyle \displaystyle {M=\{\sigma (g)g^{-1}:g\in H\},}}$

はHの閉部分多様体であり、カルタン分解は、MがKのkに対するkAk ⁻¹の和集合であることを示すことによって従う。この和集合はK × Aの連続像であるため、コンパクトかつ連結である。したがって、和集合がMにおいて開いていることを示せば十分であり、そのためにはAの各a がこの和集合において開近傍を持つことを示すだけで十分である。ここで 0 における導関数を計算すると、和集合には 1 の開近傍が含まれる。a が中心であれば、和集合はaによる乗算で不変であるため、 aの開近傍が含まれる。a が中心でない場合は、 b が A にある状態で a = b 2 と書く。すると、τ = Ad ^b − Ad b −1は^σと反可換な σ上の歪随伴作用素であり、これは σ 上のZ ₂次数作用素とみなすことができる。オイラー・ポアンカレ特性論によれば、の超次元はτの核の超次元と一致する。言い換えれば、 ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle \displaystyle {\mathrm {dim} \,{\mathfrak {k}}-\mathrm {dim} \,{\mathfrak {k}}_{a}=\mathrm {dim} \,{\mathfrak {m}}-\mathrm {dim} \,{\mathfrak {m}}_{a},}}$

ここで、 および はAd aによって固定された部分空間です。におけるの直交補空間を と します。導関数を計算すると、 Xが にあり、Yが にある場合、 Ad e ^X ( a e ^Y ) は和集合におけるaの開近傍になります。 ここで、項a e ^{Y は}、中心aに関する議論により和集合内にあります。 実際、a は、 σ に関して不変でA を含むaの中心化子の恒等成分の中心にあります。 ${\displaystyle {\mathfrak {k}}_{a}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{a}}$${\displaystyle {\mathfrak {k}}_{a}}$${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$${\displaystyle {\mathfrak {k}}_{a}^{\perp }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {k}}_{a}^{\perp }}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{a}}$

の次元はエルミート対称空間の 階数と呼ばれます。${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$

エルミート対称空間の場合、ハリシュ・チャンドラは の標準的な選択を与えました。 のこの選択は、リー代数 を持つK内のHの最大トーラスT を取ることによって決定されます。対称性 σ はHの中心にあるTの要素によって実装されるため、内の ルート空間はσ によって不変のままになります。 これは、 に含まれるルート空間の恒等式から内のルート空間の恒等式を引いたものとして機能します。 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\alpha }}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {k}}_{\mathbb {C} }}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{\mathbb {C} }}$

にルート空間を持つ根はコンパクトルート と呼ばれ、にルート空間を持つ根は非コンパクトルートと呼ばれます。（この用語は非コンパクト型の対称空間に由来しています。）Hが単純であれば、 Kの中心の生成元Zを使用して、α( Z )の符号に従って、正のルートの集合を定義できます。このルートの選択により 、およびは、正および負の非コンパクトルートα上のルート空間の直和になります。ルートベクトルE _αは、次のように選択できます 。${\displaystyle {\mathfrak {k}}_{\mathbb {C} }}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{\mathbb {C} }}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{+}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{-}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\alpha }}$

${\displaystyle \displaystyle {X_{\alpha }=E_{\alpha }+E_{-\alpha },\,\,\,Y_{\alpha }=i(E_{\alpha }-E_{-\alpha })}}$

は にあります。単純根 α ₁ , ...., α _{n は}分解不可能な正の根です。これらは、 α _{i が}iに対しての中心で消えるように番号付けできますが、 α _{1 は}消えません。したがって、 α ₁は唯一の非コンパクトな単純根であり、他の単純根はコンパクトです。したがって、任意の正の非コンパクトな根は、非負の係数c _{iを持つ β = α 1} + c ₂ α ₂ + ⋅⋅⋅ + c _n α _nの形を持ちます。これらの係数は、正の根の辞書式順序につながります。 はKに対して既約であるため、 α ₁の係数は常に 1 であり、したがって、単純コンパクト根 α に下降演算子E _{–α を}連続的に適用することによって得られるベクトルによって張られます。 ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{-}}$

2 つの根 α と β は、±α ±β が根またはゼロでない場合、α ≐ β と書き、強直交しているといいます。最大の正の根 ψ ₁は非コンパクトです。 ψ _{2 をψ 1}に強直交する最大の非コンパクト正の根とします (辞書式順序の場合)。次に、この方法で ψ _{i + 1 をψ 1}、...、ψ _iに強直交する最大の非コンパクト正の根とします。プロセスが終了するまで、対応するベクトルは

${\displaystyle \displaystyle {X_{i}=E_{\psi _{i}}+E_{-\psi _{i}}}}$

は強直交性によって可換である。それらの成す範囲はハリシュ・チャンドラの標準的な極大アーベル部分代数である。^{[15] （杉浦が後に示したように、} Tを固定すると、強直交根の集合はKのワイル群の要素を適用するまで一意に決定される。^[16]） ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$

最大性は、

${\displaystyle \displaystyle {[\sum c_{\alpha }E_{\alpha }+{\overline {c_{\alpha }}}E_{-\alpha },E_{\psi _{i}}+E_{-\psi _{i}}]=0}}$

すべてのiに対して、ψ _jとは異なるすべての正の非コンパクト根 α に対してc _{α = 0 が成り立ちます。これは、} c _α ≠ 0 であれば α が ψ ₁、 ψ ₂ 、... に強く直交することが帰納的に示されることによって従いますが、これは矛盾です。確かに、上記の関係は ψ _i + α が根ではあり得ないこと、そして ψ _i – α が根であれば、必然的に β – ψ _iという形になることを示しています。 ψ _{i – α が負であれば、 α は ψ i}よりも高い正の根となり、 j < iであるψ _jに強く直交しますが、これは不可能です。 β – ψ _iが正の場合も同様です。

ハリシュ・チャンドラの標準的な選択は、H */ KとH / Kにおける多円板定理と多球定理につながります。この結果により、幾何学は SL(2, C )、SU(1,1)、SU(2)を含む原型例の積、つまりリーマン球面内の単位円板に簡約されます。 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$

H = SU(2)の場合、対称性σは、要素が± iの対角行列の共役によって与えられ、

${\displaystyle \displaystyle {\sigma {\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\-{\overline {\beta }}&{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\alpha &-\beta \\{\overline {\beta }}&{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}}}$

不動点群は最大トーラスT 、つまりe ^{± it の}要素を持つ対角行列である。SU(2) はメビウス変換によってリーマン球面に推移的に作用し、 T は0 の安定化因子である。SU(2) の複素化である SL(2, C ) もメビウス変換によって作用し、0 の安定化因子は下三角行列のサブグループBである。非コンパクト サブグループ SU(1,1) は、開いた単位円 | z | < 1、単位円z = 1、およびその外部 | z | > 1の 3 つの軌道に作用する。したがって ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{1}}$

${\displaystyle \displaystyle {\mathrm {SU} (1,1)/\mathbf {T} =\{z:|z|<1\}\,\,\,\subset \,\,\,B_{+}/\mathbf {T} _{\mathbb {C} }=\mathbb {C} \,\,\,\subset \,\,\,\mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )/B=\mathbb {C} \cup \{\infty \},}}$

ここで、B ₊ とT _{C は}SL(2, C )における上三角行列と対角行列の部分群を表す。中間項は上一三角行列の下での0の軌道である。

${\displaystyle \displaystyle {{\begin{pmatrix}1&z\\0&1\end{pmatrix}}=\exp {\begin{pmatrix}0&z\\0&0\end{pmatrix}}.}}$

ここで、各根 ψ _iに対して、対称性と両立するSU(2) のHへの準同型 π _iが存在する。これは、 SL(2, C )のGへの準同型に一意に拡張される。異なる ψ _iに対するリー代数の像は、強直交性があるため可換である。したがって、直積 SU(2) ^rのHへの準同型 π が存在し、これは対称性と両立する。これは、 SL(2, C ) ^rのGへの準同型に拡張される。π の核は、対称性によって点ごとに固定されるSU(2) ^rの中心 (±1) ^rに含まれます。したがって、 π による中心の像はKにあります。したがって、多球面 (SU(2)/T) ^rのH / K = G / Pへの埋め込みが存在し、多球面には多円板 (SU(1,1)/T) ^rが含まれます。多球面と多円板は、リーマン球面と単位円板のr個のコピーの直積である。SU(2)とSU(1,1)のカルタン分解により、多球面はH / KにおけるT _r Aの軌道であり、多円板はT _r A *の軌道である。ここで、 T _r = π( T ^r ) ⊆ Kである。一方、H = KAK、H * = K A * Kである。

したがって、コンパクトなエルミート対称空間H / Kのすべての要素は、多球面上の点のK軌道にあります。また、非コンパクトなエルミート対称空間H * / Kのボレル埋め込みによる像のすべての要素は、多円板上の点のK軌道にあります。 ^[17]

非コンパクト型のエルミート対称空間H * / Kは、 の像、つまり に双正則な H / Kの稠密な開部分集合に存在します。 の対応する領域は有界です。これは、ハリシュ・チャンドラにちなんで名付けられたハリシュ・チャンドラ埋め込みです。 ${\displaystyle \exp {\mathfrak {m}}_{+}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{+}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{+}}$

実際、ハリシュ・チャンドラは空間の次の性質を示しました。 ${\displaystyle \mathbf {X} =\exp({\mathfrak {m}}_{+})\cdot K_{\mathbb {C} }\cdot \exp({\mathfrak {m}}_{-})=\exp({\mathfrak {m}}_{+})\cdot P}$

1. 空間として、X は3 つの因数の直積です。
2. XはGで開いています。
3. X はGにおいて稠密です。
4. XにはH *が含まれています。
5. X / P =におけるH * / Kの閉包はコンパクトです。${\displaystyle \exp {\mathfrak {m}}_{+}}$

実際、はK _Cで正規化された複素アーベル群です。さらに、であるため、 となります。 ${\displaystyle M_{\pm }=\exp {\mathfrak {m}}_{\pm }}$${\displaystyle [{\mathfrak {m}}_{+},{\mathfrak {m}}_{-}]\subset {\mathfrak {k}}_{\mathfrak {C}}}$${\displaystyle [{\mathfrak {m}},{\mathfrak {m}}]\subset {\mathfrak {k}}}$

これはP ∩ M ₊ = {1} を意味します。x = e ^XでXがPに含まれる場合 、M ₋を正規化する必要があるためになります。 しかしY がに含まれる 場合、 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{+}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{-}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{-}}$

${\displaystyle \displaystyle {Y=\mathrm {Ad} (X)\cdot Y=Y+[X,Y]+{1 \over 2}[X,[X,Y]]\in {\mathfrak {m}}_{+}\oplus {\mathfrak {k}}_{\mathbb {C} }\oplus {\mathfrak {m}}_{-},}}$

となる。しかし、Xが任意の非コンパクトルート空間と可換であれば、X は 0 でなければならないので、x = 1 となる。従って、 M ₊ × P上の乗法写像 μ は単射であるため、(1) が成立する。同様に、( x , p ) における μ の導関数は${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{-}}$

${\displaystyle \displaystyle {\mu ^{\prime }(X,Y)=\mathrm {Ad} (p^{-1})X+Y=\mathrm {Ad} (p^{-1})(X\oplus \mathrm {Ad} (p)Y),}}$

これは単射なので、(2) が成り立ちます。特殊なケースH = SU(2)、H * = SU(1,1)、G = SL(2, C ) では、残りの主張はリーマン球面、C 、単位円板との同一視の結果です。これらは各根 ψ _iに対して定義された群に適用できます。多球および多円板定理により、H */ K、X / P、およびH / K は、多円板、C ^{r 、}および多球のK変換の和集合です。したがって、 H * はXにあり、 H */ Kの閉包はX / Pでコンパクトであり、 X / P はH / Kで稠密です。

(2)と(3)は、 G / PにおけるXの像がGのガウス分解における大きなセルB ₊ Bの像であるという事実からも導かれることに注意されたい。^[18]

ヘルマンは対称空間H / KとH */ Kの制限ルートシステムの結果を用いて、 H */ Kの像が一般化された単位円板であることを示した。実際、それはXの凸集合であり、ad Im Xの演算子ノルムは1未満である。^[19]${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{+}}$

複素ベクトル空間内の有界領域Ω は、 Ω内のすべてのxに対して、 x が孤立した不動点であるようなΩの反転双正則同型σ _xが存在する場合、有界対称領域と呼ばれます。Harish-Chandra 埋め込みは、非コンパクト型H * / Kのすべてのエルミート対称空間を有界対称領域として示します。H ^* / Kの双正則同型群は、その等長変換群H ^*に等しいです。

逆に、すべての有界対称領域はこのようにして生じる。実際、有界対称領域Ωが与えられたとき、ベルクマン核はΩ上の計量、すなわちベルクマン計量を定義し、それに対するすべての双正則同型は等長写像となる。これにより、Ω は非コンパクト型のエルミート対称空間として実現される。^[20]

既約な有界対称領域はカルタン領域と呼ばれ、次のように分類されます。

古典的な場合（I-IV）では、非コンパクト群は2×2ブロック行列で実現できる^[21]

${\displaystyle \displaystyle {g={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}}}$

一般化されたメビウス変換によって作用する

${\displaystyle \displaystyle {g(Z)=(AZ+B)(CZ+D)^{-1}.}}$

多円板定理は古典的な場合には具体的には次のような形をとる: ^[22]

• タイプ I _pq ( p ≤ q ): すべてのp × q行列Mに対して、 UMVが対角となるユニタリ行列が存在します。実際、これはp × p行列の極分解から得られます。
• タイプ III _n : すべての複素対称n × n行列Mに対して、 UMU ^tが対角となるようなユニタリ行列Uが存在します。これはSiegelの古典的な議論によって証明されています。V をユニタリにして、 V * M * MV が対角になるようにします。するとV ^t MV は対称となり、その実部と虚部は可換になります。これらは実対称行列なので、実直交行列Wによって同時に対角化できます。したがって、 U = WV ^tの場合、 UMU ^{t は}対角となります。
• タイプ II _n : すべての複素歪対称n × n行列Mに対して、 UMU ^{t が}対角ブロックで構成され、 nが奇数の場合は 1 つのゼロで構成されるユニタリ行列が存在します。Siegel の議論と同様に、これはMの実部と虚部が交換可能な場合に還元できます。任意の実歪対称行列は、直交行列によって指定された標準形式に還元でき、これは交換可能な行列に対して同時に行うことができます。${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&a\\-a&0\end{pmatrix}}}$
• タイプIV _n : SO( n )×SO(2)の変換により、任意のベクトルを最初の2つの座標を除くすべての座標がゼロ以外になるように変換できます。

非コンパクト群H * は、有限個の軌道のみを持つ複素エルミート対称空間H / K = G / Pに作用する。軌道構造は Wolf (1972) で詳細に説明されている。特に、有界領域H */ Kの閉包は、領域のShilov 境界である唯一の閉軌道を持つ。一般に、軌道は低次元のエルミート対称空間の和集合である。領域の複素関数理論、特にコーシー積分公式の類似物は、カルタン領域について Hua (1979) で説明されている。有界領域の閉包は、 H */ Kのベイリー・ボレルコンパクト化である。^[23]

境界構造はケイリー変換を使用して記述できます。非コンパクト根 ψ _iの 1 つによって定義される SU(2) の各コピーに対して、メビウス変換として単位円板を上半平面にマップするケイリー変換c _iがあります。強直交族 ψ ₁、...、 ψ _rのインデックスのサブセットIが与えられた場合、部分ケイリー変換c _{I は、グループ π i}の積におけるI内のiを持つc _iの積として定義されます。G ( I )をGにおけるこの積の中心化し、H *( I ) = H * ∩ G ( I ) とします。σ はH *( I ) を不変にするため、対応するエルミート対称空間M _I H *( I )/ H *( I )∩ K ⊂ H */ K = Mが存在します。部分集合Iの境界成分はc _I M _IのK変換の和集合である。Iがすべての添字の集合であるとき、M _{I は}単一の点であり、境界成分はシロフ境界である。さらに、M _{I が}M _Jの閉包内にあるのは、 I ⊇ J のときのみである。^[24]

あらゆるエルミート対称空間はケーラー多様体である。これらは、リーマン計量がエルミートである平行複素構造を持つリーマン対称空間として同値に定義できる。複素構造は計量の等長群Hによって自動的に保存されるため、任意のエルミート対称空間Mは同次複素多様体である。例としては、通常のエルミート計量とフビニ・スタディ計量を持つ複素ベクトル空間と複素射影空間、および適切な計量によって完全かつリーマン対称になる複素単位球がある。コンパクトエルミート対称空間は射影多様体であり、同次である双正則同型性の厳密に大きいリー群G を許容する。実際、これらは一般化された旗多様体であり、Gは半単純で、点の安定子はGの放物型部分群Pである。 (複素) 一般化旗多様体G / Pのうち、それらはPのリー代数のnilradicalがアーベルであるものとして特徴付けられる。したがって、それらは対称 R 空間の族に含まれ、その族は逆にエルミート対称空間とその実数形式を含む。非コンパクトなエルミート対称空間は、複素ベクトル空間内の有界領域として実現できる。

古典的なエルミート対称空間はアドホックな方法で構築できますが、ジョルダン三重システム、または同等のジョルダンペアは、コンパクト型のエルミート対称空間とその非コンパクト双対に関連するすべての基本的特性を記述する統一的な代数的手段を提供します。この理論は、Koecher (1969)とLoos (1977)で詳細に説明され、Satake (1981)で要約されています。この開発は、コンパクトリー群の構造理論を使用するものとは逆の順序です。その出発点は、有界対称領域として実現された非コンパクト型のエルミート対称空間です。これは、ジョルダンペアまたはエルミートジョルダン三重システムで記述できます。このジョルダン代数構造は、特にすべての関連するリー代数とリー群を含む、コンパクト型の双対エルミート対称空間を再構築するために使用できます。

理論は、既約コンパクトエルミート対称空間がチューブ型の場合に最も簡単に記述できます。その場合、空間は 負定値のキリング形式を持つ単純な実リー代数によって決定されます。これは、自明表現と随伴表現を介してのみ作用する SU(2) の作用を許容する必要があり、両方のタイプが発生します。は単純なので、この作用は内部的であり、SU(2) のリー代数を に含めることによって実装されます。 の複素化は、SU(2) の対角行列の 3 つの固有空間の直和として分解されます。これは、SU(2) のワイル群要素が反転を提供する 3 次複素リー代数です。±1 固有空間のそれぞれは、ユークリッド ジョルダン代数の複素化として明示的に生じる単位複素ジョルダン代数の構造を持ちます。これは、 の SU(2) の随伴表現の多重度空間と同一視できます。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

チューブ型の既約エルミート対称空間の記述は、単純なユークリッドジョルダン代数Eから始まります。これは、ジョルダンフレーム、すなわち直交極小冪等元e ₁ , ..., e _mの集合を許容します。任意の 2 つはEの自己同型によって関連付けられるため、整数mはEの階数と呼ばれる不変量になります。さらに、A がEの複素化である場合、ユニタリ構造群を持ちます。これは、 A上の自然な複素内積を保存するGL( A )の部分群です。 Aの任意の元aには、極分解a = u Σ α _i a _i ( α _i ≥ 0 )があります。スペクトルノルムは ||a|| = sup α _iで定義されます。関連する有界対称領域は、 Aの開単位球Dです。Dとチューブ領域T = E + iC の間には双正則同型性が存在します。ここで、C はEの元の開いた自己双対凸錐で、形式はa = u Σ α _i a _iで、 u はEの自己同型で、α _i > 0 です。これにより、非コンパクト型のエルミート対称空間の 2 つの記述が得られます。ジョルダン代数Aの変異を使用して空間Aをコンパクト化する自然な方法があります。コンパクト化X は複素多様体であり、 X上の正則ベクトル場の有限次元リー代数は明示的に決定できます。双正則同型の 1 パラメータ群は、対応する正則ベクトル場が に及ぶように定義できます。これには、SL(2, C )の行列に対応するすべての複素メビウス変換のグループが含まれます。サブグループ SU(1,1) は、単位球とその閉包を不変のままにします。サブグループ SL(2, R ) は、チューブ領域とその閉包を不変のままにします。通常のケーリー変換とその逆変換は、 Cの単位円を上半平面に写像し、DとTの間に類似の写像を確立する。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$。多円板は、固定されたジョルダンフレームによって生成される実および複素ジョルダン部分代数に対応する。これは SU(2) ^mの推移的作用を許容し、この作用はXに拡張される。双正則同型の1パラメータ群によって生成される群Gは、 に忠実に作用する。ユニタリ構造群の恒等成分Kと SU(2) ^mの演算子によって生成される部分群。これは、 Xに推移的に作用するコンパクトリー群H を定義する。したがって、H / K は、コンパクト型の対応するエルミート対称空間である。群Gは、 Hの複素化と同一視できる。 D を不変にする部分群H *は、 Gの非コンパクトな実形式である。これはDに推移的に作用するため、H * / K は非コンパクト型の双対エルミート対称空間である。包含D ⊂ A ⊂ Xは、ボレル埋め込みとハリシュ-チャンドラ埋め込みを再現する。チューブ型のエルミート対称空間の分類は、単純なユークリッドジョルダン代数の分類に帰着する。これらは、ジョルダン、フォン・ノイマン、ウィグナー (1934) によって、特殊なタイプの合成代数であるユークリッド・フルヴィッツ代数によって分類された。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

一般に、エルミート対称空間は、次数 ±1 の部分を切り替え、次数 0 の部分をそのままにする周期 2 の共役線型自己同型を持つ 3 次リー代数を生じます。これにより、ジョルダン対またはエルミートジョルダン三重システムの構造が生じ、Loos (1977) はこれにジョルダン代数の理論を拡張しました。すべての既約エルミート対称空間は、この枠組み内で一様に構築できます。Koecher (1969) は、周期 2 の自己同型とともに、単純なユークリッドジョルダン代数から非チューブ型の既約エルミート対称空間を構築しました。自己同型の −1 固有空間は、より大きなジョルダン代数の固有空間から演繹できるジョルダン対の構造を持ちます。タイプ II のジーゲル領域に対応する非チューブ型の場合、実または複素メビウス変換の区別された部分群は存在しません。既約エルミート対称空間の場合、チューブ型はシロフ境界Sの実次元がDの複素次元に等しいことによって特徴付けられます。

• 不変凸円錐

• 阿賀岡 芳雄、金田 英治 (2002)、「ルートシステムにおける強直交部分集合」、北海道数学誌、31 : 107–136、doi : 10.14492/hokmj/1350911773
• アラジー、ジョナサン (1995)、「有界対称領域上の解析関数の不変ヒルベルト空間の調査」、多変数作用素理論 (シアトル、ワシントン州、1993)、現代数学、第 185 巻、プロビデンス、ロードアイランド州: アメリカ数学協会、pp. 7–65、doi :10.1090/conm/185/02147、ISBN 9780821802984、MR  1332053
• ボレル、アルマン (1952)、Les espaces hermitiens symétriques、Exposé No. 62、Séminaire Bourbaki、vol. 2、2016 年 3 月 4 日にオリジナルからアーカイブ
• ボレル、アルマンド、ジ、リジェン（2006）、対称空間と局所対称空間のコンパクト化、シュプリンガー、ISBN 978-0817632472
• Bourbaki, N. (1981)、Groupes et Algèbres de Lie (Chapitres 7-8)、Éléments de Mathématique、Masson、ISBN 978-3540339397
• Bourbaki, N. (1982)、Groupes et Algèbres de Lie (Chapitre 9)、Éléments de Mathématique、Masson、ISBN 978-3540343929
• Cartan、Élie (1935)、「Sur les Domaines Bornés homogènes de l'espace des variables complexes」、Abhandlungen aus dem Mathematischen セミナー der Universität Hamburg、11 : 116–162、doi :10.1007/bf02940719
• Chu, CH. (2020)、バナッハ空間における有界対称領域、World Scientific、ISBN 9789811214103
• Dieudonné, J. (1977)、「コンパクト・リー群と半単純リー群」、第 XXI 章、解析学論文集、第 5 巻、Academic Press、ISBN 978-0122155055
• ドゥイスターマート、JJ; Kolk, A. (2000)、リー群、Universitext、Springer、ISBN 978-3540152934
• ギルモア、ロバート（1994）、リー群、リー代数、およびその応用、クリーガー、ISBN 978-0-89464-759-8
• ヘルガソン、シグルドゥル（1978）、微分幾何学、リー群、対称空間、アカデミックプレス、ISBN 978-0-8218-2848-9リーマン対称空間に関する標準的な書籍。
• ヘルガソン、シグルドゥル（1994）、対称空間の幾何学的解析、アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-1538-0
• Hua, LK (1979)、「古典領域における複素変数関数の調和解析」、数学モノグラフの翻訳、第6巻、アメリカ数学会、プロビデンス、ISBN 978-0-8218-1556-4
• ジョーダン、P.; フォン・ノイマン、J.; ウィグナー、E. (1934)、「量子力学的形式の代数的一般化について」、Ann. of Math.、35 (1): 29–64、doi :10.2307/1968117、JSTOR  1968117
• Knapp, Anthony W. (1972)、「有界対称領域と正則離散級数」、Boothby, William、Weiss, Guido (編)、『対称空間 (ワシントン大学短期コース)』、純粋および応用数学、第 8 巻、Dekker、pp. 211–246
• 小林正七；野水勝美 (1996)、微分幾何学の基礎、vol. 2、ワイリー・インターサイエンス、ISBN 978-0-471-15732-8
• ケッチャー、マックス (1969)、「有界対称領域への初等的アプローチ」、ライス大学数学講義ノート
• Loos, Ottmar (1977)、「有界対称領域とジョルダン対」(PDF) 、数学講義、カリフォルニア大学アーバイン校、 2016-03-03 にオリジナル(PDF)からアーカイブ、2013-03-18に取得
• Mok, Ngaiming (1989)、エルミート局所対称多様体上の計量剛性定理、World Scientific、ISBN 978-9971-5-0802-9
• 佐竹一郎（1981）「対称領域の代数的構造」プリンストン大学出版局、ISBN 9780691082714
• シーゲル、カール・ルートヴィヒ（1943）、「シンプレクティック幾何学」、アメリカ数学誌、65（1）：1–86、doi：10.2307/2371774、JSTOR  2371774
• ウルフ、ジョセフ A. (1964)、「エルミート対称空間の分類について」、インディアナ大学数学ジャーナル、13 (3): 489–495、doi : 10.1512/iumj.1964.13.13028
• ウルフ、ジョセフ A. (2010)、「定曲率空間」、AMS チェルシー出版 (第 6 版)、アメリカ数学会、ISBN 978-0821852828第 8 章では、コンパクト型のエルミート対称空間について説明しています。
• ウルフ、ジョセフ A. (1972)、「エルミート対称空間の微細構造」、ブースビー、ウィリアム、ワイス、グイド (編)、『対称空間 (ワシントン大学短期コース)』、純粋および応用数学、第 8 巻、デッカー、pp. 271–357これには、非コンパクト型のエルミート対称空間の詳細な説明が含まれています。