線形分数変換

数学において、線形分数変換は、大まかに言えば、次の形式の可逆変換である。

z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}.

$正確な定義は、 a 、 b 、 c 、 d$ 、 $z$ の性質によって異なります。言い換えれば、線形分数変換とは、分子と分母が線形である分数で表される変換のことです。

最も基本的な設定では、 $a 、 b 、 c 、 d$ 、 $z$ は複素数（この場合、変換はメビウス変換とも呼ばれる）またはより一般的には体の要素である。可逆条件は $ad - bc \neq 0$ である。体上では、線形分数変換は射影変換または射影直線のホモグラフィを体に制限したものである。

$a 、 b 、 c 、 d$ が整数（またはより一般的には、整域に属する）の場合、 $z は$ 有理数（または整域の分数体に属する）であると想定されます。この場合、可逆性の条件は、 $ad - bc が$ 整域の単位（つまり、整数の場合は $1$ または $-1$ ）でなければならないということです。 ^{[ 1 ]}

最も一般的な設定では、 $a 、 b 、 c 、 d$ 、 $z$ は正方行列などの環の要素です。このような線形分数変換の例として、もともと3 × 3実数行列環上で定義されたケイリー変換があります。

線形分数変換は、古典幾何学、数論（例えば、ワイルズによるフェルマーの最終定理の証明で使用されている）、群論、制御理論など、数学のさまざまな分野や工学への応用で広く使用されています。

一般的な定義

一般に、線形分数変換は環 $A$ 上の射影直線 $P($ $A$ $)$ のホモグラフィである。A が可換環の場合 $、$ 線形分数変換はよく知られた形式をとる。

z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}},

ここで、 $a 、 b 、 c 、 dは$ $A$ の要素であり、 $ad - bcは$ $A$ の単元である（つまり、 $ad$ $-$ $bcは$ $A$ において乗法逆元を持つ）。

非可換環 $A$ において、 $(z, t)が$ $A 2$ に属するとき、単位元 $u は$ 同値関係を決定する。 $(z,t)\sim (uz,ut).$ A上の射影直線における同値類は $U$ $[$ $z$ $:$ $t$ $]$ と表記され、括弧は射影座標を表します。すると、線形分数変換は $P($ $A$ $)$ の要素の右側に作用します。

U[z:t]{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}=U[za+tb:\ zc+td]\sim U[(zc+td)^{-1}(za+tb):\ 1].

環は射影直線に $z \to U [z : 1]$ によって埋め込まれているため、 $t = 1 で通常の式が再現されます。この線形分数変換は、$ $U [za + tb : zc + td]$ が演算のために同値類からどの要素を選択するかに依存しないため、適切に定義されています。

$A$ 上の線形分数変換は群を形成し、射影線形群は次のように表される。 $\operatorname {PGL} _{2}(A).$

グループ $\operatorname {PGL} _{2}(\mathbb {Z} )$ 線形分数変換の集合はモジュラー群と呼ばれます。これは、数論への数多くの応用例、特にフェルマーの最終定理のワイルズによる証明などから、広く研究されてきました。

双曲幾何学における使用法

複素平面において、一般化された円は直線または円のいずれかである。無限遠点を基準として完成させた場合、平面上の一般化された円は、複素射影直線の表現であるリーマン球面上の円に対応する。線形分数変換は、球面上のこれらの円と、複素平面上の一般化された円の対応する有限点を入れ替える。

双曲平面のモデルを構築するには、単位円盤と上半平面を使用して点を表現します。これらの複素平面の部分集合には、ケイリー・クライン計量による計量が与えられます。次に、2点間の距離は、点を通り、モデルに使用される部分集合の境界に垂直な一般化円を使用して計算されます。この一般化円は、境界と他の2点で交わります。4点すべてが、ケイリー・クライン計量を定義する交差比に使用されます。線形分数変換は交差比を不変に保つため、単位円盤または上半平面を安定に保つ任意の線形分数変換は、双曲平面計量空間の等長変換となります。アンリ・ポアンカレがこれらのモデルを解説して以来、ポアンカレ円盤モデルとポアンカレ半平面モデルという彼の名前が付けられています。各モデルには、メビウス群の部分群である等長変換群があります。円盤モデルの等長変換群は $SU(1, 1)$ で、線形分数変換は「特殊ユニタリ」です。上半平面の等長変換群は $PSL(2,$ $R$ $)$ で、実数成分を持ち、行列式が1に等しい線形分数変換の射影線形群です。^[²^]

高等数学での使用

メビウス変換は、連分数理論や楕円曲線およびモジュラー形式の解析的整数論において、モジュラー群の作用による上半平面の自己同型を記述するものとしてよく現れる。また、線形分数変換によって誘導される測地線フローが複素射影空間を安定多様体と不安定多様体に分解し、ホロサイクルが測地線に垂直に現れるホップファイブレーションの典型的な例も提供する。ファイブレーションの具体的な例については、アノソフフローを参照のこと。この例では、測地線は分数線形変換によって与えられる。

(i\exp(t),\ 1){\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}\ =\ (ai\exp(t)+b,\ ci\exp(t)+d)\thicksim \left({\frac {ai\exp(t)+b}{ci\exp(t)+d}},\ 1\right)

$a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ は実数で、 $ad - bc = 1$ です。大まかに言うと、中心多様体は放物線変換によって生成され、不安定多様体は双曲変換によって、安定多様体は楕円変換によって生成されます。

制御理論での使用

線形分数変換は、機械工学や電気工学におけるプラントとコントローラの関係問題を解決するために制御理論で広く使用されています。^[³^]^[⁴^]線形分数変換とレッドヘファースター積を組み合わせる一般的な手順により、量子力学や量子場理論における S行列アプローチ、媒体（海洋の躍層や潜水艦など）における音波の散乱、微分方程式における散乱と束縛状態の一般的な解析など、一般的な微分方程式の散乱理論に適用できます。ここで、3 × 3行列の要素は、入射状態、束縛状態、および出射状態を表します。おそらく、線形分数変換の最も単純な応用例は、減衰調和振動子の解析です。もう1つの基本的な応用は、フロベニウス標準形、つまり多項式の伴侶行列を取得することです。

等角性

分割複素数と双対数の可換環は、角度と「回転」を表す環として通常の複素数に加わります。いずれの場合も、虚軸に適用される指数写像は、 $($ $A$ $、 + )$ の1 パラメータ群と単位群 ( U 、 × ) の同型 $を$ $生成$ $し$ ます。^[⁵^]

\exp(yj)=\cosh y+j\sinh y,\quad j^{2}=+1,

\exp(y\epsilon )=1+y\epsilon ,\quad \epsilon ^{2}=0,

\exp(yi)=\cos y+i\sin y,\quad i^{2}=-1.

「角度」 $y$ は、ホストリングに応じて、双曲線角、傾斜角、または円角のいずれかになります。

線形分数変換は、その生成元である乗法反転 $z$ $\to 1/$ $z$ とアフィン変換 $z$ $\to$ $az$ $+$ $b$ を考慮することで等角写像であることが示されます。等角性は、生成元がすべて等角であることを示すことで確認できます。並進 $z$ $\to$ $z$ $+$ $b$ は原点の変更であり、角度には影響を与えません。z $\to$ $az$ $が$ 等角であることを確認するには、 $a$ と $z$ の極分解を考えます。いずれの場合も、 $a$ の角度が $z$ の角度に加算され、等角写像が得られます。最後に、反転は $z$ $\to 1/$ $z$ がをに送るため等角です。 $\exp(yb)\mapsto \exp(-yb),\quad b^{2}=1,0,-1.$

参考文献

↑ NJ Young (1984)「環と加群における線形分数変換」、『線形代数とその応用』 56:251–90
↑ C.L. シーゲル（A. シェニッツァー、M. トレトコフ訳）（1971）『複素関数論のトピックス』第2巻、Wiley-Interscience ISBN 0-471-79080 X
↑ John Doyle、Andy Packard、Kemin Zhou、「LFT、LMI、およびmuのレビュー」（1991年）第30回意思決定および制御会議議事録
↑ Juan C. Cockburn、「パラメータの不確実性を伴うシステムの多次元実現」
↑ Kisil, Vladimir V. (2012). Geometry of Möbius transformations. Elliptic, parabolic and hyperbolic actions of SL(2,R) . London: Imperial College Press. p. xiv+192. doi : 10.1142/p835 . ISBN 978-1-84816-858-9. MR 2977041 .

B.A. Dubrovin、A.T. Fomenko、Sergei Novikov（数学者）S.P. Novikov（1984）現代幾何学 ― 方法と応用、第1巻、第2章、§15 多次元ユークリッド空間および擬ユークリッド空間の等角変換、 Springer-Verlag ISBN 0-387-90872-2。
ジェフリー・フォックス（1949）「双曲平面における超複素変数の初等理論と等角写像の理論」、修士論文、ブリティッシュコロンビア大学。
PG ゴームリー (1947)「立体投影と四元数の線形分数変換群」、アイルランド王立アカデミー紀要、セクション A 51:67–85。
AE Motter & MAF Rosa (1998)「双曲型微積分」、Advances in Applied Clifford Algebras 8(1):109 to 28、§4 等角変換、119 ページ。
高須鶴三郎 (1941) Gemeinsame Behandlungsweise der elliptischen konformen, hyperbolischen konformen und parabolischen konformen Differentialgeometrie, 2 , Proceedings of the Imperial Academy 17(8): 330–8, link from Project Euclid , MR 0014282
イサーク・ヤグロム（1968）『幾何学における複素数』 130ページおよび157ページ、アカデミック・プレス

[1] NJ Young (1984)「環と加群における線形分数変換」、『線形代数とその応用』 56:251–90

[2] C.L. シーゲル（A. シェニッツァー、M. トレトコフ訳）（1971）『複素関数論のトピックス』第2巻、Wiley-Interscience ISBN 0-471-79080 X

[3] John Doyle、Andy Packard、Kemin Zhou、「LFT、LMI、およびmuのレビュー」（1991年）第30回意思決定および制御会議議事録

[4] Juan C. Cockburn、「パラメータの不確実性を伴うシステムの多次元実現」

[5] Kisil, Vladimir V. (2012). Geometry of Möbius transformations. Elliptic, parabolic and hyperbolic actions of SL(2,R) . London: Imperial College Press. p. xiv+192. doi : 10.1142/p835 . ISBN 978-1-84816-858-9. MR 2977041 .

[ 1 ]

[

[

[

[

線形分数変換

一般的な定義

双曲幾何学における使用法

高等数学での使用

制御理論での使用

等角性

関連項目

参考文献

関連するトピック

数学

可逆変換である。

線形で

変換