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『特性クラス』は特性クラスに関する数学の教科書です。この分野の標準的な著作とされています。 [ 1 ] 1956年にフィールド賞を受賞したミルナー球の構成において特性クラスを中心的に使用したジョン・ミルナー[ 2 ] [ 3 ]とジェームズ・スタシェフによって書かれました。1974年8月24日に出版されました。
特性クラスでは、まず特性クラスが関連付けるベクトル束と特異コホモロジーについて簡単に紹介します。[ 4 ]この基礎に基づいて、スティフェル・ホイットニー類、チャーン類、ポントリャーギン類、オイラー類などの基本的な特性クラスの構成について説明します。 [ 5 ]その後、ボルディズムの分類のためのスティフェル・ホイットニー数とポントリャーギン数の応用について説明します。[ 6 ]また、双対スティフェル・ホイットニー類、整数スティフェル・ホイットニー類、ウー類、組み合わせ論的ポントリャーギン類などのマイナーな特性クラスについても説明します。[ 7 ]トム同型性やヒルツェブルフの署名定理などの中心的な結果についても説明します。[ 8 ]
1957年、ジム・スタシェフはプリンストン大学で学んでいた。ジョン・ミルナーは1954年に同大学で博士号を取得し、その後も研究を続けていた。ミルナーによる特性クラスに関する講義中に、スタシェフはメモを取り、それが後に加筆され、17年後に教科書として出版された。（「以下のテキストは、主に1957年のプリンストン大学での講義に基づいています。筆頭著者は出版の遅れをお詫び申し上げます。」[ 9 ]）当時、エドゥアルト・シュティーフェル、ハスラー・ホイットニー、シンシェン・チャーン、ルー・ポントリャーギンは皆、研究活動を続けており、この教科書は彼らに捧げられた。（「特性クラス理論の4人の創始者が全員、数学者として今もなお活躍していることを嬉しく思います。[…] この本は彼らに捧げます。」[ 9 ]）
ジョン・ミルナーが2004年にスティール賞を受賞した際、彼の業績と数学文献への貢献が強調された。「彼の容易さは巨匠の証であり、ミルナーの扱いを改善することはしばしば不可能に思える」。これにより、彼は「すべての数学者が目指すべき明快さ、優雅さ、美しさの基準を確立した」。[ 10 ]
エドウィン・スパニアはこの教科書を「主題の優雅な扱い」と評した。彼は事前の要件について次のように書いている。「主要な概念と結果は明快に提示され、容易に理解できる。主題の要点を学びたい人や復習したい人にとって優れた資料である。」「背景は代数トポロジーと微分トポロジー、微分幾何学、代数幾何学、および大域解析である。」結果は数理物理学から来ているが、「物理学の背景は数学的展開に明示的に必要ではないため、説明されていない」。要約すると、彼は次のように結論付けている。「この本は基本的な参考書となるだろう。間違いなく、将来の世代の数学者たちが興味深く難しい問題に取り組むよう刺激するだろう。」[ 1 ]