無限遠平面

射影幾何学において、無限遠平面とは、3 次元射影空間の無限遠超平面、または任意の高次元射影空間の無限遠超平面に含まれる任意の平面のことです。この記事では、3 次元の場合のみを扱います。

無限遠平面を定義するには、射影 3 次元空間から開始するか、アフィン 3 次元空間から開始するかによって2 つのアプローチがあります。

射影 3 次元空間が与えられた場合、無限遠平面は空間の任意の射影平面です。 ^[1]この観点は、この平面が他のどの平面とも幾何学的に異なるものではないという事実を強調しています。一方、アフィン 3 次元空間が与えられた場合、無限遠平面は、アフィン 3 次元空間に入射閉包特性を与えるために追加された射影平面です。つまり、無限遠平面の点はアフィン 3 次元空間の平行線が交わる点であり、線はアフィン 3 次元空間の平行面が交わる線です。追加した結果が射影 3 次元空間です。この観点は無限遠平面の内部構造を強調しますが、空間の他の平面と比較して「特別」に見えます。 ${\displaystyle P^{3}}$

アフィン 3 次元空間が実数である場合、無限遠における実射影平面の追加により、実射影 3 次元空間が生成されます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} P^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} P^{3}}$

射影3次元空間内の任意の2つの射影平面は同等であるため、同次座標系を選択して、無限遠平面上の任意の点を( X : Y : Z :0)と表すことができます。^{[2]アフィン3次元空間内の任意の点は(} X : Y : Z :1) と表されます。無限遠平面上の点は3つの自由度を持っているように見えますが、同次座標は任意の再スケーリングまで同等です。

${\displaystyle (X:Y:Z:0)\equiv (aX:aY:aZ:0)}$、

座標 ( X : Y : Z :0)を正規化して自由度を 2 つ (つまり、表面、つまり射影平面) に減らすことができます。

命題:原点(0:0:0:1) と点 ( X : Y : Z :1) を通る任意の直線は、点 ( X : Y : Z :0)で無限遠平面と交差します。

証明: 点 (0:0:0:1) と点 ( X : Y : Z :1)を通る線は、与えられた 2 つの点の線形結合である点から構成されます。

${\displaystyle a(0:0:0:1)+b(X:Y:Z:1)=(bX:bY:bZ:a+b).}$

このような点が無限遠平面上にあるためには、 でなければなりません。したがって、 を選択すると、要求どおりに 点 が得られます 。QED${\displaystyle a+b=0}$${\displaystyle a=-b}$${\displaystyle (bX:bY:bZ:0)=(X:Y:Z:0)}$

3 次元空間内の任意の 2 つの平行線は、無限遠平面上の点で交差します。また、3 次元空間内のすべての線は、無限遠平面と 1 つの点で交差します。この点は、線の方向によってのみ決定されます。この点を決定するには、指定された線に平行で、原点を通過しない線を考えます。次に、この 2 番目の線上で、原点以外の任意の点を選択します。この点の同次座標が ( X : Y : Z :1) である場合、最初の線と 2 番目の線の両方が通過する無限遠点の同次座標は ( X : Y : Z :0) です。

例: 点 (0:0:1:1) と点 (3:0:1:1) を通る直線を考えます。平行線は点 (0:0:0:1) と点 (3:0:0:1) を通ります。この 2 番目の線は点 (3:0:0:0) で無限遠平面と交差します。しかし、最初の線もこの点を通ります。

${\displaystyle \lambda (3:0:1:1)+\mu (0:0:1:1)}$

${\displaystyle =(3\lambda :0:\lambda +\mu :\lambda +\mu )}$

${\displaystyle =(3:0:0:0)}$

いつ。■ ${\displaystyle \lambda +\mu =0}$

アフィン3次元空間内の任意の平行平面のペアは、無限遠平面内の射影直線（無限遠直線）で互いに交差します。また、アフィン3次元空間内のすべての平面は、無限遠平面と一意の直線で交差します。^[3] この直線は、平面の方向によってのみ決定されます。

無限遠平面は射影平面であるため、 「対蹠点を法とする球面」、すなわち対蹠点が同値である球面の表面に同相である: S ² /{1,-1} ここで商は群作用による商として理解される (商空間を参照)。

• バンクロット、ロバート J. (1969)、現代射影幾何学、ホルト、ライナーハート、ウィンストン
• メサーブ、ブルース E. (1983) [1955]、幾何学の基礎概念、ドーバー、ISBN 0-486-63415-9
• ペドー、ダン（1988）[1970]、幾何学/総合コース、ドーバー、ISBN 0-486-65812-0
• サミュエル、ピエール（1988）、射影幾何学、UTM数学読本、シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 0-387-96752-4
• ウッズ、フレデリック S. (1961) [1922]、高等幾何学 / 解析幾何学の高度な方法入門、ドーバー
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