プロジェクト建設

させて${\displaystyle S}$可換次数付き環である。$${\displaystyle S=\bigoplus _{i\geq 0}S_{i}}$$は、段階に関連する直接和分解です。${\displaystyle S}$正の次数を持つ要素の理想$${\displaystyle S_{+}=\bigoplus _{i>0}S_{i}.}$$イデアルが同質要素によって生成される場合、そのイデアルは同質であると言います。すると、集合として、$${\displaystyle \operatorname {Proj} S=\{P\subseteq S{\text{ 斉次素イデアル, }}S_{+}\not \subseteq P\}.}$$簡潔にするために、私たちは時々次のように書きます${\displaystyle X}$のために${\displaystyle \operatorname {プロジェクト} S}$。

ザリスキー位相と呼ばれる位相を定義できます。${\displaystyle \operatorname {プロジェクト} S}$閉集合を次の形式の集合と定義する

${\displaystyle V(a)=\{p\in \operatorname {Proj} S\mid a\subseteq p\},}$

どこ${\displaystyle a}$は均質な理想である${\displaystyle S}$アフィンスキームの場合と同様に、${\displaystyle V(a)}$位相の閉集合を形成する${\displaystyle X}$。

実際、もし${\displaystyle (a_{i})_{i\in I}}$理想の集合体であるならば、${\textstyle \bigcap V(a_{i})=V\left(\sum a_{i}\right)}$インデックス集合Iが有限である場合、${\textstyle \bigcup V(a_{i})=V\left(\prod a_{i}\right).}$

同様に、開集合を起点として定義することもできます。

${\displaystyle D(a)=\{p\in \operatorname {Proj} S\mid a\not \subseteq p\}.}$

一般的な略記法は、${\displaystyle D(Sf)}$による${\displaystyle D(f)}$、 どこ${\displaystyle Sf}$は、​${\displaystyle f}$あらゆる理想のために${\displaystyle a}$セット${\displaystyle D(a)}$そして${\displaystyle V(a)}$は相補的であり、したがって、前と同じ証明により、集合は${\displaystyle D(a)}$トポロジーを形成する${\displaystyle \operatorname {プロジェクト} S}$このアプローチの利点は、セットが${\displaystyle D(f)}$、 どこ${\displaystyle f}$リングのすべての均質要素にわたる${\displaystyle S}$は、このトポロジーの基礎を形成し、これは、の分析に不可欠なツールである。${\displaystyle \operatorname {プロジェクト} S}$リングのスペクトルに関する同様の事実も同様に不可欠である。

また、層を構成する${\displaystyle \operatorname {プロジェクト} S}$アフィンの場合と同様に「構造層」と呼ばれ、スキームとなる。Spec構成の場合と同様に、進め方は多数ある。最も直接的な方法は、古典的な代数幾何学における射影多様体上の正則関数の構成を強く示唆するものであり、次の通りである。任意の開集合に対して${\displaystyle U}$の${\displaystyle \operatorname {プロジェクト} S}$（これは定義上、同質素イデアルの集合である）${\displaystyle S}$含まない${\displaystyle S_{+}}$) リングを定義します${\displaystyle O_{X}(U)}$すべての関数の集合である

${\displaystyle f\colon U\to \bigcup _{p\in U}S_{(p)}}$

（どこ${\displaystyle S_{(p)}}$分数環の部分環を表す${\displaystyle S_{p}}$同じ次数の同次要素の分数から構成される）各素イデアルに対して${\displaystyle p}$の${\displaystyle U}$:

1. ${\displaystyle f(p)}$は${\displaystyle S_{(p)}}$;
2. 開集合が存在する${\displaystyle V\subseteq U}$含む${\displaystyle p}$および均質な要素${\displaystyle s,t}$の${\displaystyle S}$各素イデアルに対して同じ次数である${\displaystyle q}$の${\displaystyle V}$:
   • ${\displaystyle t}$は${\displaystyle q}$;
   • ${\displaystyle f(q)=s/t}$

定義からすぐにわかることは、${\displaystyle O_{X}(U)}$リングの束を形成する${\displaystyle O_{X}}$の上${\displaystyle \operatorname {プロジェクト} S}$、そしてペア(${\displaystyle \operatorname {プロジェクト} S}$、${\displaystyle O_{X}}$) は実際にはスキームです (これは、各開部分集合が${\displaystyle D(f)}$実際にはアフィン変換である。

本質的な特性${\displaystyle S}$上記の構造では、局所化を形成する能力があった。${\displaystyle S_{(p)}}$各素イデアルについて${\displaystyle p}$の${\displaystyle S}$この特性は、評価対象となるすべてのモジュールにも備わっています。${\displaystyle M}$以上${\displaystyle S}$したがって、適切な軽微な修正を加えることで、前述のセクションは、そのようなあらゆるものに対して構築されます。${\displaystyle M}$束、表記される$\displaystyle {\tilde {M}}}$、 の${\displaystyle O_{X}}$-モジュール${\displaystyle \operatorname {プロジェクト} S}$この層は構成上準連接である。${\displaystyle S}$次数が有限個の要素によって生成される${\displaystyle 1}$（例えば多項式環またはその同次商環）上のすべての準連接層${\displaystyle \operatorname {プロジェクト} S}$この構成により、次数付きモジュールから生じる。^{[ 1 ]}対応する次数付きモジュールは一意ではない。

次数付きモジュールに関連付けられた層の特殊なケースは、${\displaystyle M}$である${\displaystyle S}$それ自体を異なる評価で、つまり、学位を${\displaystyle d}$要素${\displaystyle M}$度${\displaystyle (d+1)}$要素${\displaystyle S}$、 それで$${\displaystyle M_{d}=S_{d+1}}$$そして、${\displaystyle M=S(1)}$すると、$\displaystyle {\tilde {M}}}$準連接層として${\displaystyle \operatorname {プロジェクト} S}$、と表記される${\displaystyle O_{X}(1)}$または単に${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$セルのねじれた束と呼ばれる。確認できるのは${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$実際には可逆層である。

有用性の理由の1つは、${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$それは、代数情報を復元するということです。${\displaystyle S}$それは、${\displaystyle O_{X}}$次数ゼロの分数に移行しました。環AのSpec Aの場合、構造層のグローバルセクションはA自体を形成しますが、${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ここでは、次数ゼロの要素のみを形成する。${\displaystyle S}$定義すると

${\displaystyle {\mathcal {O}}(n)=\bigotimes _{i=1}^{n}{\mathcal {O}}(1)}$

そしてそれぞれ${\displaystyle {\mathcal {O}}(n)}$度数を含む${\displaystyle n}$情報${\displaystyle S}$、と表記される${\displaystyle S_{n}}$それらを合わせると、失われたすべての評価情報が含まれます。同様に、評価済みのあらゆる束についても${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-モジュール${\displaystyle N}$定義する

${\displaystyle N(n)=N\otimes {\mathcal {O}}(n)}$

そしてこの「ねじれた」束には、${\displaystyle N}$特に、${\displaystyle N}$段階的に関連付けられた束は${\displaystyle S}$-モジュール${\displaystyle M}$同様に、失われた評価情報も含まれていると予想されます。${\displaystyle M}$これは、誤ってではあるが、${\displaystyle S}$実際にはこれらの束から再構築することができます。$${\displaystyle \bigoplus _{n\geq 0}\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}(n)).}$$しかし、これは次の場合には当てはまります。${\displaystyle S}$は多項式環であり、以下に示すとおりである。この状況は、 Spec ファンクターが局所環空間の圏における大域セクションファンクターに随伴しているという事実とは対照的である。

もし${\displaystyle A}$は環であり、射影n空間を 上で定義する。${\displaystyle A}$計画である

${\displaystyle \mathbb {P} _{A}^{n}=\operatorname {Proj} A[x_{0},\ldots ,x_{n}].}$

多項式環の次数付け${\displaystyle S=A[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$は、各${\displaystyle x_{i}}$レベル 1 を持ち、すべての要素${\displaystyle A}$、0度。これを定義と比較すると${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$上記のように、${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$実際には線形同次多項式であり、${\displaystyle x_{i}}$彼ら自身。これは、別の解釈を示唆している。${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$すなわち、「座標」の束として${\displaystyle \operatorname {プロジェクト} S}$以来${\displaystyle x_{i}}$文字通り射影の座標です${\displaystyle n}$-空間。

ベースリングを${\displaystyle A=\mathbb {C} [\lambda ]}$、 それから$${\displaystyle X=\operatorname {Proj} \left({\frac {A[X,Y,Z]_{\bullet }}{(ZY^{2}-X(XZ)(X-\lambda Z))_{\bullet }}}\right)}$$アフィン直線への正準射影射を持つ$\displaystyle \mathbb {A} _{\lambda }^{1}}$その繊維は、点を除いて楕円曲線である。${\displaystyle \lambda =0,​​1}$そこでは曲線が節曲線に退化する。つまりファイブレーションが存在する。$${\displaystyle {\begin{matrix}E_{\lambda }&\longrightarrow &X\\&&\downarrow \\&&\mathbb {A} _{\lambda }^{1}-\{0,1\}\end{matrix}}}$$これはスキームの滑らかな射でもあります（これはヤコビアン基準を使用して確認できます）。

射影超曲面${\displaystyle \operatorname {Proj} \left(\mathbb {C} [X_{0},\ldots ,X_{4}]/(X_{0}^{5}+\cdots +X_{4}^{5})\right)}$は、カラビ・ヤウ多様体でもあるフェルマー五次三次元多様体の例です。射影超曲面に加えて、同次多項式の系によって切り取られた任意の射影多様体$${\displaystyle f_{1}=0,\ldots ,f_{k}=0}$$で${\displaystyle (n+1)}$次数付き代数の proj 構成を使用して、変数を射影スキームに変換できます。$${\displaystyle {\frac {k[X_{0},\ldots ,X_{n}]_{\bullet }}{(f_{1},\ldots ,f_{k})_{\bullet }}}}$$射影多様体を射影スキームに埋め込むことを可能にする。

重み付き射影空間は、変数の次数が標準でない多項式環を用いて構築することができる。例えば、重み付き射影空間${\displaystyle \mathbb {P} (1,1,2)}$取得に相当${\displaystyle \operatorname {Proj} }$指輪の${\displaystyle A[X_{0},X_{1},X_{2}]}$どこ${\displaystyle X_{0},X_{1}}$体重がある${\displaystyle 1}$その間${\displaystyle X_{2}}$重量は2です。

proj構成は、2次および多重次数環に拡張されます。幾何学的には、これは射影スキームの積を取ることに対応します。たとえば、次数付き環が与えられた場合、$${\displaystyle A_{\bullet }=\mathbb {C} [X_{0},X_{1}],{\text{ }}B_{\bullet }=\mathbb {C} [Y_{0},Y_{1}]}$$各ジェネレータの次数${\displaystyle 1}$すると、これらの代数のテンソル積は${\displaystyle \mathbb {C} }$2次代数を与える$${\displaystyle {\begin{aligned}A_{\bullet }\otimes _{\mathbb {C} }B_{\bullet }&=S_{\bullet ,\bullet }\\&=\mathbb {C} [X_{0},X_{1},Y_{0},Y_{1}]\end{aligned}}}$$どこで${\displaystyle X_{i}}$体重がある${\displaystyle (1,0)}$そして${\displaystyle Y_{i}}$体重がある${\displaystyle (0,1)}$すると、proj の構築は次のようになります。$${\displaystyle {\text{Proj}}(S_{\bullet ,\bullet })=\mathbb {P} ^{1}\times _{{\text{Spec}}(\mathbb {C} )}\mathbb {P} ^{1}}$$これは射影スキームの積である。このようなスキームは、全次数代数を取ることによって射影空間に埋め込まれる。$${\displaystyle S_{\bullet ,\bullet }\to S_{\bullet }}$$学位${\displaystyle (a,b)}$要素は度数とみなされる${\displaystyle (a+b)}$要素。これは、${\displaystyle k}$- 等級の作品${\displaystyle S_{\bullet }}$モジュールです$${\displaystyle S_{k}=\bigoplus _{a+b=k}S_{a,b}}$$さらに、この計画は${\displaystyle {\text{Proj}}(S_{\bullet ,\bullet })}$二段階の滑車が付属するようになりました${\displaystyle {\mathcal {O}}(a,b)}$これらは層のテンソル積である${\displaystyle \pi _{1}^{*}{\mathcal {O}}(a)\otimes \pi _{2}^{*}{\mathcal {O}}(b)}$どこ$${\displaystyle \pi _{1}:{\text{Proj}}(S_{\bullet ,\bullet })\to {\text{Proj}}(A_{\bullet })}$$そして$${\displaystyle \pi _{2}:{\text{Proj}}(S_{\bullet ,\bullet })\to {\text{Proj}}(B_{\bullet })}$$これらは、可換代数のテンソル積図からのこれらの代数の注入から得られる正準射影である。

形式的には、X を任意のスキームとし、S を次数付き層の層とする。${\displaystyle O_{X}}$-代数（その定義は、の定義に似ている）${\displaystyle O_{X}}$-局所環空間上の加群）：すなわち、直和分解を持つ層

${\displaystyle S=\bigoplus _{i\geq 0}S_{i}}$

それぞれ${\displaystyle S_{i}}$は${\displaystyle O_{X}}$-モジュールであって、 Xの任意の開部分集合Uに対して、S ( U ) は${\displaystyle O_{X}(U)}$-代数と結果として得られる直接和分解

${\displaystyle S(U)=\bigoplus _{i\geq 0}S_{i}(U)}$

これは、この代数を環として次数付けしたものです。ここでは、${\displaystyle S_{0}=O_{X}}$さらに、 Sは準連接層であるという仮定を置きます。これは、異なる開集合上の切断に関する「一貫性」の仮定であり、構成を進めるために必要なものです。

この設定では、スキームを構築できます。${\displaystyle \operatorname {\mathbf {Proj} } S}$また、X上の任意の開アフィンUに対して、

${\displaystyle (\operatorname {\mathbf {Proj} } S)|_{p^{-1}(U)}=\operatorname {Proj} (S(U)).}$

この定義は、私たちが構築することを示唆しています${\displaystyle \operatorname {\mathbf {Proj} } S}$まずスキームを定義することによって${\displaystyle Y_{U}}$各開アフィンUに対して、

${\displaystyle Y_{U}=\operatorname {Proj} S(U),}$

そして地図${\displaystyle p_{U}\colon Y_{U}\to U}$そして、これらのデータを2つの開アフィンUとVの各交点上で「接着」して、次のように定義されるスキームYを形成できることを示す。${\displaystyle \operatorname {\mathbf {Proj} } S}$それぞれを定義することは難しくないことを示すのは難しくない。${\displaystyle p_{U}}$以下の内容を含む地図となる${\displaystyle O_{X}(U)}$S ( U ) を次数ゼロの要素として扱うと、必要な一貫性が得られます。${\displaystyle p_{U}}$一貫性は${\displaystyle Y_{U}}$それ自体はSに関する準コヒーレンス仮定から導かれる。

Sが次の追加特性を持つ場合${\displaystyle S_{1}}$は連接層であり、局所的にSを生成する。${\displaystyle S_{0}}$（つまり、次数ゼロの要素が環を形成する次数付き代数であるXの点xで層Sの茎に移動するとき）${\displaystyle O_{X,x}}$すると、次数１の要素は有限生成加群を形成する。${\displaystyle O_{X,x}}$また、茎をその上の代数として生成する）ならば、さらに構成することができる。各開アフィンU上で、Proj S ( U ) は可逆層O(1)を持ち、先ほど行った仮定により、これらの層は次のように貼り合わせることができる。${\displaystyle Y_{U}}$上;結果として生じる束は${\displaystyle \operatorname {\mathbf {Proj} } S}$はO (1)とも表記され、ほぼ同じ目的を果たす。${\displaystyle \operatorname {\mathbf {Proj} } S}$リングの突起上のねじれた束のように。

させて${\displaystyle {\mathcal {E}}}$スキーム上の準コヒーレント層である${\displaystyle X}$対称代数の層${\displaystyle \mathbf {Sym} _{O_{X}}({\mathcal {E}})}$自然には次数付き準コヒーレント層である${\displaystyle O_{X}}$次数1の要素によって生成されるモジュール。結果として得られるスキームは、で表されます。${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})}$。 もし${\displaystyle {\mathcal {E}}}$が有限型である場合、その標準射${\displaystyle p:\mathbb {P} ({\mathcal {E}})\to X}$は射影射である。^{[ 2 ]}

いかなる場合でも${\displaystyle x\in X}$、上記の射のファイバー${\displaystyle x}$射影空間${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}}(x))}$ベクトル空間の双対に関連付けられている${\displaystyle {\mathcal {E}}(x):={\mathcal {E}}\otimes _{O_{X}}k(x)}$以上${\displaystyle k(x)}$。

もし${\displaystyle {\mathcal {S}}}$次数付き準コヒーレント層${\displaystyle O_{X}}$-モジュール、生成元${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}}$そしてそのような${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}}$有限型の場合、${\displaystyle \mathbf {Proj} {\mathcal {S}}}$は閉じたサブスキームです${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {S}}_{1})}$そして、射影的である${\displaystyle X}$実際、射影的のすべての閉じた部分スキームは${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})}$この形式である。^{[ 3 ]}

特別なケースとして、${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ローカルにランクフリー${\displaystyle n+1}$射影バンドルが得られます${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})}$以上${\displaystyle X}$相対的な寸法${\displaystyle n}$実際、 Xの開アフィン変換による開被覆を取ると、${\displaystyle U=\operatorname {Spec} (A)}$これらのそれぞれに限定すると、${\displaystyle {\mathcal {E}}}$A上で自由である場合、

${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})|_{p^{-1}(U)}\simeq \operatorname {Proj} A[x_{0},\dots ,x_{n}]=\mathbb {P} _{A}^{n}=\mathbb {P} _{U}^{n},}$

そしてそれゆえに${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})}$は射影空間束です。楕円曲線のワイエルシュトラス族のように、多くの多様体の族は、これらの射影空間束の部分スキームとして構成できます。詳細については、メイン記事を参照してください。