これはリーマン幾何学 と計量 幾何学で使用される用語の用語集であり、 微分位相幾何 学の用語は含まれていません。
以下の記事も参考になるかもしれません。これらの記事には専門用語が含まれているか、あるいは下記の定義についてより詳細な解説がされています。
関連項目：
特に明記しない限り、以下の文字X 、Y 、Z は計量空間を表し、M 、N はリーマン多様体を表します。| xy | または| x y | X {\displaystyle |xy|_{X}} は、 X 内の点x と点y の間の距離を表します。斜体で表記されている単語は 、この用語集への自己参照を示します。
注意点 ：リーマン幾何学や計量幾何学における凸関数 、凸集合 などの用語の多くは、一般的な数学における用法と全く同じ意味を持つとは限りません。
B バナッハ空間
重心（Barycenter）については 、質量中心を 参照してください。
バイ・リプシッツ地図 。f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} X の 任意のx とy に対して、正の定数c とC が 存在し、
c | x y | X ≤ | f （ x ） f （ y ） | Y ≤ C | x y | X 。 {\displaystyle c|xy|_{X}\leq |f(x)f(y)|_{Y}\leq C|xy|_{X}.} 無限遠における境界 。一般に、無限遠における方向空間とみなせる構成。幾何学的な例としては、双曲境界 、グロモフ境界 、視覚境界 、ティッツ境界 、サーストン境界などを参照。 射影空間 およびコンパクト化 も参照。
光線 : [ 0, ∞)→ X が与えられたとき、ブーゼマン関数は B γ （ p ） = リム t → ∞ （ | γ （ t ） − p | − t ） 。 ${\displaystyle B_{\gamma }(p)=\lim _{t\to \infty }(|\gamma (t)-p|-t).}$
C カルタン接続
カルタン＝アダマール空間は
カルタン・アダマールの定理は 指数写像を介してR n と微分同相であるという記述です。距離空間については、アレクサンドロフの意味での非正の曲率を持つ連結かつ単連結な完全測地距離空間は（大域的に） CAT(0) 空間 であるという記述です。
カルタン（エリー） カルタン ＝アダマール多様体 、カルタン部分代数 、カルタン接続の 名の由来となった数学者（息子のアンリ・カルタン と混同しないように）。
C A T （ κ ） {\textstyle CAT(\kappa )}
質量中心 。q ∈ M {\textstyle q\in M} [ 2 ]と呼ばれます p 1 、 p 2 、 … 、 p k {\textstyle p_{1},p_{2},\dots ,p_{k}}
f （ x ） = ∑ 私 | p 私 x | 2 。 {\displaystyle f(x)=\sum _{i}|p_{i}x|^{2}.} このような点は、すべての距離が| p 私 p j | {\displaystyle |p_{i}p_{j}|} 凸半径 よりも小さい。
チーガー定数
クリストッフェルのシンボル
粗い形状
崩壊する多様体
完全多様体 リーマン多様体のホップ・リノウの定理 によれば、リーマン多様体は、すべての測地線が無限に延長できる場合に限り、計量空間として完全である。
完全なメートル空間
完了
複素双曲空間
等角写像
Mが 共形的に平坦であると
p とq を共役点とする γ {\displaystyle \gamma } 共役 と呼ばれます。γ {\displaystyle \gamma } これはp とq でゼロになります。
繋がり
凸関数 。fは、任意の測地線に対して、が成り立つ場合に凸関数である。 γ {\displaystyle \gamma } f ∘ γ {\displaystyle f\circ \gamma } 凸関数 である。関数f は凸関数と呼ばれる。λ {\displaystyle \lambda } γ {\displaystyle \gamma } t {\displaystyle t} f ∘ γ （ t ） − λ t 2 {\displaystyle f\circ \gamma (t)-\lambda t^{2}} 凸型 である。
M の部分集合 Kは、 K 内の任意の 2 点に対して、それらを結ぶ唯一の最短経路 が存在し、その経路が K 内に完全に含まれる場合に凸と呼ばれます。完全凸 も参照してください。
凸度半径 p {\textstyle p} p {\textstyle p} （完全に）凸で ある。多様体の凸半径は、その点における凸半径の下限であり、コンパクト多様体の場合は正の数である。[ 3 ] p {\textstyle p} [ 4 ]
余接束
共変微分
立方体複合体
カット遺伝子座
私 pにおける単射半径は、点 p における指数写像 が微分同相 写像となる半径の上限です。リーマン多様体の単射半径は、 すべての点における単射半径の下限です。[ 5 ] カット 軌跡 も参照してください。
完全多様体の場合、点p における射影半径が有限数r であれば、点p を始点および終点とする長さ2rの測地線が存在するか、または点 p と共役な点q (上記の共役点を参照) が存在し、その点が点 p から距離r 上にあるかのいずれかである。[ 6 ] 閉じた リーマン多様体の場合、射影半径は、閉じた測地線の最小長さの半分か、測地線上の共役点間の最小距離のいずれかである。
インフラニル多様体 単連結冪零リー群N が左乗法によって自身に作用し、 N の有限自己同型群F が存在する場合 、半直積 の作用を定義できる。N ⋊ F {\displaystyle N\rtimes F} N 上。N の離散部分群による軌道空間。 N ⋊ F {\textstyle N\rtimes F} N 上で自由に作用するものは、インフラニル多様体 と呼ばれる。インフラニル多様体は、ニル多様 体によって有限に覆われる。[ 7 ]
等長埋め込みと
等長写像
等周関数 X {\textstyle X} デーン関数 と等価です。これらは準等長変換の下で不変です。[ 8 ]
内在的指標
J ヤコビ場 測地線 γ上のベクトル場 であり、次の方法で得られます。滑らかな1パラメータの測地線族を考えます。γ τ {\displaystyle \gamma _{\tau }} γ 0 = γ {\displaystyle \gamma _{0}=\gamma }
J （ t ） = ∂ γ τ （ t ） ∂ τ | τ = 0 。 {\displaystyle J(t)=\left.{\frac {\partial \gamma _{\tau }(t)}{\partial \tau }}\right|_{\tau =0}.} ジョーダンカーブ
N 自然パラメータ化とは、 長さ によるパラメータ化のことである。[ 12 ]
X の部分集合Sは ネットと 呼ばれますϵ {\textstyle \epsilon } -ネットX 内の任意の点に対して、距離上にS 内の点が存在する場合≤ ϵ {\textstyle \leq \epsilon } 13 ] 位相 ネットワーク とは異なります。
ニルマニフォールド S 1 {\displaystyle S^{1}} 冪零多様体上の束は冪零多様体である。また、連結冪零 リー群を 束 で割った因子としても定義できる。
正規束 ：多様体M を周囲のユークリッド空間に埋め込むことに関連付けられる。R N {\textstyle {\mathbb {R} }^{N}} p におけるファイバーが直交補空間であるベクトル束である（R N {\textstyle {\mathbb {R} }^{N}} T p M {\textstyle T_{p}M}
非拡張マップは、 ショートマップと同じです。
Q 準凸部分空間 X {\textstyle X} Y ⊆ X {\textstyle Y\subseteq X} K ≥ 0 {\textstyle K\geq 0} y 、 y ′ ∈ Y {\textstyle y,y'\in Y} [ y 、 y ′ ] {\textstyle [y,y']} z ∈ [ y 、 y ′ ] {\textstyle z\in [y,y']} d （ z 、 Y ） ≤ K {\textstyle d(z,Y)\leq K} 15 ]
準測地線に f : 私 → Y {\displaystyle f:I\to Y} 私 ⊆ R {\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} } 準測地線と呼ばれます。 K ≥ 1 {\displaystyle K\geq 1} C ≥ 0 {\displaystyle C\geq 0} x 、 y ∈ 私 {\displaystyle x,y\in I}
1 K d （ x 、 y ） − C ≤ d （ f （ x ） 、 f （ y ） ） ≤ K d （ x 、 y ） + C 。 {\displaystyle {1 \over K}d(x,y)-C\leq d(f(x),f(y))\leq Kd(x,y)+C.} 準測地線は必ずしも連続曲線ではないことに注意してください。
準等長 。 f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} 準等長性 と呼ばれます。K ≥ 1 {\displaystyle K\geq 1} C ≥ 0 {\displaystyle C\geq 0}
1 K d （ x 、 y ） − C ≤ d （ f （ x ） 、 f （ y ） ） ≤ K d （ x 、 y ） + C 。 {\displaystyle {1 \over K}d(x,y)-C\leq d(f(x),f(y))\leq Kd(x,y)+C.} また、 Y のすべての点は、f ( X )のいずれかの点から最大でC の 距離を持ちます。準等長写像は連続であるとは仮定されていないことに注意してください。たとえば、コンパクト距離空間間の任意の写像は準等長写像です。X から Y への準等長写像が存在する場合、X と Y は準等長で あると言われます。
R メートル空間の半径 は、その空間を完全に包含するメートル球の半径の最小値である。[ 16 ]
レイ は、各区間で最小値をとる片側無限測地線である。[ 17 ]
本物の木
修正可能な曲線
リッチ曲率
リーマン： リーマン幾何学の 名の由来となった数学者。
リーマン角
リーマン曲率テンソルは （ M 、 g ） {\textstyle (M,g)} R p （ X 、 Y 、 Z ） W = g p （ ∇ X ∇ Y Z − ∇ Y ∇ X Z − ∇ [ X 、 Y ] Z 、 W ） 、 {\displaystyle R_{p}(X,Y,Z)W={g_{p}({\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z,W})},} p ∈ M {\textstyle p\in M} X 、 Y 、 Z 、 W ∈ T p M {\textstyle X,Y,Z,W\in T_{p}M} X {\textstyle X} Y {\textstyle Y}
リーマン双曲空間
リーマン多様体
リーマン部分多様体 部分リーマン多様体 と混同しないように）。
リーマン的沈め込み 沈め込み と部分計量の 両方の性質を同時に有するものである。
S スカラー曲率
第二基本形式は 形状演算子 を記述する同等の方法である
II （ v 、 w ） = ⟨ S （ v ） 、 w ⟩ 。 {\displaystyle {\text{II}}(v,w)=\langle S(v),w\rangle .} また、任意の余次元に一般化することもでき、その場合は正規空間に値を持つ二次形式となる。
断面曲率 p {\textstyle p} M {\textstyle M} u 、 v ∈ T p M {\textstyle u,v\in T_{p}M} σ p （ V e c t （ u 、 v ） ） = R p （ u 、 v 、 v 、 u ） g p （ u 、 u ） g p （ v 、 v ） − g p （ u 、 v ） 2 {\displaystyle \sigma _{p}({Vect}(u,v))={\frac {R_{p}(u,v,v,u)}{g_{p}(u,u)g_{p}(v,v)-g_{p}(u,v)^{2}}}} R p {\textstyle R_{p}} 曲率テンソル は次のように表記されます。R p （ X 、 Y 、 Z ） W = g p （ ∇ X ∇ Y Z − ∇ Y ∇ X Z − ∇ [ X 、 Y ] Z 、 W ） {\textstyle R_{p}(X,Y,Z)W={g_{p}({\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z,W})}} g p {\textstyle {g_{p}}}
Mの 形状演算子 S p T p M → T p M です。nが M の単位法線場であり、 v が接ベクトルである
S （ v ） = ± ∇ v n {\displaystyle S(v)=\pm \nabla _{v}n} （定義においてプラス記号を使うかマイナス記号を使うかについては、標準的な合意はない。）
短い地図
滑らかなマニホールド
ソル多様体 は、連結可解リー群を 格子 で割った因子である。
球面幾何学
部分写像 距離空間間の短い写像fは 、 任意の点x と半径r < Rに対して、距離 r 球の像がr 球となるようなR > 0 が存在する場合に部分 写像 f （ B r （ x ） ） = B r （ f （ x ） ） 。 {\displaystyle f(B_{r}(x))=B_{r}(f(x)).} 部分リーマン多様体
対称空間
収縮期 M のk 収縮期、s y s t k （ M ） {\textstyle syst_{k}(M)} k サイクルの最小体積である。
T 接束
接線円錐
サーストンの幾何学 サーストンの幾何化予想 によって予測された8つの3次元幾何学（ペレルマンによって証明された）：S 3 {\textstyle \mathbb {S} ^{3}} R × S 2 {\textstyle \mathbb {R} \times \mathbb {S} ^{2}} R 3 {\textstyle \mathbb {R} ^{3}} R × H 2 {\textstyle \mathbb {R} \times \mathbb {H} ^{2}} H 3 {\textstyle \mathbb {H} ^{3}} S o l {\displaystyle \mathrm {Sol} } N 私 l {\displaystyle \mathrm {Nil} } P S L ～ 2 （ R ） {\textstyle {\widetilde {PSL}}_{2}(\mathbb {R} )}
乳房の境界線
M の部分集合Kは、 K 内の任意の 2 点に対して、それらを結ぶ測地線が完全にK内に含まれる場合、完全に凸で ある と呼ばれる。凸性 も参照。[ 19 ]
完全測地線 部分多様体とは、部分多様体内のすべての測地線 部分多様体のことである。 [ 20 ]
樹木が植えられた空間
U 一意測地線距離空間とは、任意の2点が一意の最小 測地線 の端点となる距離空間のことである。
参考文献 ↑ 小林正七、 野水勝己 (1963)「第 VII 部分多様体、8. 自己平行部分多様体と全測地線部分多様体」『微分幾何学の基礎 53–62 頁。ISBN 978-0-471-15732-8 . Zbl 0175.48504 . ↑ Mancinelli, Claudio; Puppo, Enrico (2023-06-01). "メッシュ上のリーマン重心の計算" . Computer Aided Geometric Design . 103 102203. doi : 10.1016/j.cagd.2023.102203 . ISSN 0167-8396 . ↑ ガロット、シルベストル。フーリン、ドミニク。 Lafontaine、Jacques (2004)、 「Riemannian metrics」 、Gallot、Sylvestre。フーリン、ドミニク。 Lafontaine、Jacques (編)、 Riemannian Geometry 、ベルリン、ハイデルベルク: Springer、Remark after Proof of Corollary 2.89、p.87、 doi : 10.1007/978-3-642-18855-8_2 、 ISBN 978-3-642-18855-8 2024年11月28日 取得↑ Petersen, Peter (2016), "Sectional Curvature Comparison I" , Petersen, Peter (編), Riemannian Geometry , Graduate Texts in Mathematics, vol. 171, Cham: Springer International Publishing, Theorem 6.4.8, pp. 258-259, doi : 10.1007/978-3-319-26654-1_6 , ISBN 978-3-319-26654-1 2024年11月29日 取得↑ Lee, Jeffrey M. (2009). "13. リーマン幾何学と半リーマン幾何学、定義 13.141". Manifolds and differential geometry . Providence, RI: American Mathematical Society (AMS). p. 615. ISBN 978-0-8218-4815-9 . Zbl 1190.58001 . ↑ ガロット、シルベストル。フーリン、ドミニク。ラフォンテーヌ、ジャック (2004)、 「Curvature」 、ガロット、シルベストル。フーリン、ドミニク。 Lafontaine、Jacques (編)、 リーマン幾何学 、ベルリン、ハイデルベルク: Springer、Scholium 3.78、 doi : 10.1007/978-3-642-18855-8_3 、 ISBN 978-3-642-18855-8 2024年11月28日 取得↑ ハーシュ、モリス W. (1970). 「拡張写像と変換群」. グローバル解析 . 純粋数学シンポジウム論文集. 第 14 巻. pp. 125–131 . doi : 10.1090/pspum/014/0298701 . ISBN 978-0-8218-1414-7 . Zbl 0223.58009 . ↑ Bridson, Martin R.; Haefliger, André (1999), "δ-双曲空間と面積" , Bridson, Martin R.; Haefliger, André (編), 非正曲率の計量空間 , ベルリン、ハイデルベルク: Springer, 2. 面積と等周不等式, pp. 414 – 417, doi : 10.1007/978-3-662-12494-9_21 , ISBN 978-3-662-12494-9 2024年12月23日 取得↑ ブラゴ、ドミトリ;ブラゴ、ユリイ。イワノフ、セルゲイ (2001)。 計量幾何学のコース 。ロードアイランド州プロビデンス: アメリカ数学協会 (AMS)。第 7 章、§7.2、249 ～ 250 ページ。 ISBN 0-8218-2129-6 . Zbl 0981.51016 . ↑ ブラゴ、ドミトリ;ブラゴ、ユリイ。イワノフ、セルゲイ (2001)。 計量幾何学のコース 。ロードアイランド州プロビデンス: アメリカ数学協会 (AMS)。第 9 章、§9.1、321 ～ 322 ページ。 ISBN 0-8218-2129-6 . Zbl 0981.51016 . ↑ Lang, Serge (1999). "微分幾何学の基礎" . Graduate Texts in Mathematics . 191. Chapter XII An example of seminegative curvature, p. 323. doi : 10.1007/978-1-4612-0541-8 . ISBN 978-1-4612-6810-9 ISSN 0072-5285 ↑ ブラゴ、ドミトリ;ブラゴ、ユリイ。イワノフ、セルゲイ (2001)。 計量幾何学のコース 。ロードアイランド州プロビデンス: アメリカ数学協会 (AMS)。第 2 章、§2.5.1、定義 2.5.7。 ISBN 0-8218-2129-6 . Zbl 0981.51016 . ↑ ブラゴ、ドミトリ;ブラゴ、ユリイ。イワノフ、セルゲイ (2001)。 計量幾何学のコース 。ロードアイランド州プロビデンス: アメリカ数学協会 (AMS)。第 1 章、§1.6、定義 1.6.1、p. 13.ISBN 0-8218-2129-6 . Zbl 0981.51016 . ↑ Bridson, Martin R.; Haefliger, André (1999), "Basic Concepts" , Bridson, Martin R.; Haefliger, André (eds.), Metric Spaces of Non-Positive Curvature , Berlin, Heidelberg: Springer, Chapter I.1, § Metric spaces, Definitions 1.1, p. 2, doi : 10.1007/978-3-662-12494-9_1 , ISBN 978-3-662-12494-9 2024年11月29日 取得↑ マーティン・R・ブリッドソン; Haefliger、André (1999)、 「Non-Positive Curvature and Group Theory」 、Bridson、Martin R.; Haefliger、André (編)、 非正曲率の計量空間 、ベルリン、ハイデルベルク: Springer、定義 3.4、p. 460、 土井 ： 10.1007/978-3-662-12494-9_22 、 ISBN 978-3-662-12494-9 2024年12月23日 取得↑ ブラゴ、ドミトリ;ブラゴ、ユリイ。イワノフ、セルゲイ (2001)。 計量幾何学のコース 。ロードアイランド州プロビデンス: アメリカ数学協会 (AMS)。第 10 章、§10.4、演習 10.4.5、p. 366.ISBN 0-8218-2129-6 . Zbl 0981.51016 . ↑ Petersen, Peter (2016). "リーマン幾何学" . Graduate Texts in Mathematics . 171. Chapter 7, §7.3.1 Rays and Lines, p. 298. doi : 10.1007/978-3-319-26654-1 . ISBN 978-3-319-26652-7 ISSN 0072-5285 ↑ Berestovskii, VN (1987-07-01). "負の曲率を持つ空間形式のサブメトリ" . Siberian Mathematical Journal . 28 (4): 552– 562. Bibcode : 1987SibMJ..28..552B . doi : 10.1007/BF00973842 . ISSN 1573-9260 . ↑ Petersen, Peter (2016). "リーマン幾何学" . Graduate Texts in Mathematics . 171. Chapter 12, §12.4 The Soul Theorem, p. 463. doi : 10.1007/978-3-319-26654-1 . ISBN 978-3-319-26652-7 ISSN 0072-5285 ↑ ガロット、シルベストル。フーリン、ドミニク。ラフォンテーヌ、ジャック (2004)。 「リーマン幾何学」 。 大学テキスト 。第 2 章、§2.C.1、定義 2.80 の 2、p.82。 土井 : 10.1007/978-3-642-18855-8 。 ISBN 978-3-540-20493-0 ISSN 0172-5939
![{\textstyle [y,y']}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e2bde3957d7a803c920714de32591a5d266c308)
![{\textstyle z\in [y,y']}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/625ba2f7078116f17619abb6839dc25c48ee86d1)
![{\displaystyle R_{p}(X,Y,Z)W={g_{p}({\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z,W})},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec2c9da51c8d3431192a550610b90c64aa75d141)
![{\textstyle R_{p}(X,Y,Z)W={g_{p}({\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z,W})}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c8e0966f2568e2429337748d2327e937cf86872)
