ブーゼマン関数

幾何トポロジーにおいて、ブーゼマン関数は、アダマール空間、特にアダマール多様体（非正曲率の単連結完備リーマン多様体）における測地線の大規模幾何学を研究するために用いられる。ブーゼマン関数は、それを導入したヘルベルト・ブーゼマンにちなんで名付けられ、彼は1955年の著書『測地線の幾何学』でこのテーマを詳細に論じている。

定義と基本的性質

させて $(X,d)$ 距離空間である。測地線は経路である。 ${\displaystyle \gamma$ は、その長さに沿ってあらゆる場所で距離を最小化します。つまり、すべての $t,t'\in [0,\infty )$ 、 $d{\big (}\gamma (t),\gamma (t'){\big )}={\big |}tt'{\big |}.$ 同様に、光線は「標準光線」（集合）からの等長写像である。 $[0,\infty )$ ユークリッド距離を備えた) を距離空間Xに取り込む。

光線γが与えられたとき、ブーゼマン関数 $B_{\gamma }:X\to \mathbb {R}$ 定義される

$B_{\gamma }(x)=\lim _{t\to \infty }{\big (}d{\big (}\gamma (t),x{\big )}-t{\big )}$

したがって、tが非常に大きい場合、距離は $d{\big (}\gamma (t),x{\big )}$ ほぼ等しい $B_{\gamma }(x)+t$ 光線γが与えられた場合、そのブーゼマン関数は常に適切に定義されます。実際、上記の右辺は次のようになります。 $F_{t}(x){\stackrel {\text{def}}{=}}d{\big (}\gamma (t),x{\big )}-t$ コンパクト面では、点ごとに左側に偏る傾向がある。 $t-d(\gamma (t),x)=d(\gamma (t),\gamma (0))-d(\gamma (t),x)$ 上側は $d(\gamma (0),x)$ そして非減少なので、 $s\leq t$ 、

$t-s+d(x,\gamma (s))-d(x,\gamma (t))\geq t-s-d(\gamma (s),\gamma (t))=0.$

三角不等式から、

$|B_{\gamma }(x)-B_{\gamma }(y)|\leq d(x,y),$

となることによって $B_{\gamma }$ は一様連続である。より具体的には、上記の推定値は、

ブーゼマン関数は定数1のリプシッツ関数である。^{[ 1 ]}

ディニの定理により、関数は $F_{t}(x)=d(x,\gamma (t))-t$ 傾向 $B_{\gamma }(x)$ tが無限大に近づくにつれて、コンパクト集合上で一様に変化する。

例：ポアンカレ円盤

させて $D$ 複素平面上のポアンカレ計量を持つ単位円盤とする。

$ds^{2}={4\,|dz|^{2} \over (1-|z|^{2})^{2}}.$

それから、 $|z|<1$ そして $|\zeta |=1$ ブーゼマン関数は^{[ 2 ]で与えられる。}

$B_{\zeta }(z)=-\log \left({1-|z|^{2} \over |z-\zeta |^{2}}\right),$

ここで、右辺の括弧内の項は単位円盤のポアソン核であり、 $\zeta$ 放射状測地線に対応する $\gamma$ 原点から $\zeta$ 、 $\gamma (t)=\zeta \tanh(t/2)$ 計算 $d(x,y)$ にまで減らすことができる $d(z,0)=d(|z|,0)=2\operatorname {artanh} (|z|)=\log \left({\tfrac {1+|z|}{1-|z|}}\right)$ メビウス変換の下で計量が不変であるため $SU(1,1)$ 測地線は $0$ フォーム $\zeta g_{t}(0)$ どこ $g_{t}$ はの 1 パラメータ部分群です $SU(1,1)$ 、

$g_{t}={\begin{pmatrix}\cosh(t/2)&\sinh(t/2)\\\sinh(t/2)&\cosh(t/2)\end{pmatrix}}$

上記の式は、メビウスの不変性によってブーゼマン関数を完全に決定する。

アダマール空間上のブーゼマン関数

アダマール空間では、任意の2点が一意の測地線で結ばれており、関数は $F=F_{t}$ 凸である、すなわち測地線セグメント上で凸である。 $[x,y]$ 具体的には、 $z(s)$ 分割する点 $[x,y]$ 比率 $s : (1 - s)$ の場合、 $F(z(s))\leq sF(x)+(1-s)F(y)$ 固定の場合 $a$ 機能 $d(x,a)$ は凸であり、したがってその平行移動も凸である。特に、 $\gamma$ は測地線光線です $X$ 、それから $F_{t}$ 凸関数である。 $B_{\gamma }$ は、 $F_{t}$ 、

ブーゼマン関数はアダマール空間上で凸関数である。^{[ 3 ]}
アダマール空間では、関数 $F_{t}(y)=d(y,\gamma (t))-t$ 一様に収束して $B_{\gamma }$ 任意の有界部分集合上で一様に $X$ [ ⁴^]^[⁵^]

$h (t) = d (y,γ( t)) - t = Ft (y)$ とする。 $\gamma (t)$ 弧長によってパラメータ化され、アダマール空間に対するアレクサンドロフの第1比較定理は、関数 $g (t) = d (y,γ(t)) 2 - t 2$ が凸関数であることを示しています。したがって、 $0< s < tの場合、$

$g(s)\leq (1-{s \over t})g(0)+{s \over t}g(t).$

したがって

$2sh(s)\leq (h(s)+s)^{2}-s^{2}=g(s)\leq (1-{s \over t})d(x,y)^{2}+{s \over t}(2th(t)+h(t)^{2})\leq d(x,y)^{2}+2sh(t)+{s \over t}d(x,y)^{2},$

となることによって

$|F_{s}(y)-F_{t}(y)|=|h(s)-h(t)|\leq {1 \over 2}(s^{-1}+t^{-1})d(x,y)^{2}.$

tを∞に近づけると、次のことが導かれる。

$|F_{s}(y)-B_{\gamma }(y)|\leq {d(x,y)^{2} \over 2s},$

したがって、収束は有界集合上で一様である。

上記の不等式は、 $|F_{s}(y)-F_{t}(y)|$ （証明とともに）は測地線分にも成り立つ。γ $($ $t$ $)が$ $x$ から始まり弧長でパラメータ化された $測地$ 線分である場合、

$|d(y,\Gamma (s))-s-d(y,\Gamma (t))+t|\leq (s^{-1}+t^{-1})d(x,y)^{2}.$

次に、 $x 、 y が$ アダマール空間内の点であると仮定し、 $δ (s)を$ $x$ を通る測地線とし、 $δ (0) = y$ および $δ (t) = x$ とします。ここで $t = d (x, y)$ です。この測地線は、閉球 $B (y, r)$ の境界を点 $δ (r)$ で切断します。したがって、 $d (x, y) > rの場合、$ $d$ $($ $y$ $,$ $v$ $) =$ $r$ となる点v が存在し $、$ $d$ $($ $x$ $,$ $v$ $) =$ $d$ $($ $x$ $,$ $y$ $) -$ $r$ となります。

この条件はブーゼマン関数にも当てはまります。ブーゼマン関数に関するこの性質の記述と証明は、ヒルベルト空間における直交射影を一般化した、アダマール空間の閉凸部分集合に関する基本定理に基づいています。すなわち、 C がアダマール空間 X の閉凸集合である場合 $、$ X $の$ すべての $点$ xは $、$ $C$ において一意の最も近い点 $P$ $($ $x$ $) \equiv$ $P$ $C$ $($ $x$ $)$ を持ち、 $d$ $($ $P$ $($ $x$ $),$ $P$ $($ $y$ $)) \leq$ $d$ $($ $x$ $,$ $y$ $)$ となります。さらに、 $a$ $=$ $P$ $($ $x$ $)$ は、 $yが$ $C$ において、

$d(x,y)^{2}\geq d(x,a)^{2}+d(a,y)^{2},$

つまり、 $a$ $、$ $x$ $、$ $y$ のユークリッド比較三角形における $aの角度は$ $π$ $/2$ 以上である。

$h$ がアダマール空間上のブーゼマン関数である場合、 $y が$ $X$ に属し、 $r > 0であるとき、$ $d(y,v) = r$ となるような点 $v$ が一意に存在し、 $h(v) = h(y) - r となる$ 。固定された $r > 0$ に対して、点 $vは、$ $h(u)$ $\leq$ $h(y) - r$ となる閉凸集合 $C$ の点 $u$ に最も近い $y$ の点であり、したがって $y$ に連続的に依存する。^{[ 6 ]}

$C$ において $y$ に最も近い点を $v$ とする。すると $h$ $($ $v$ $) =$ $h$ $($ $y$ $) -$ $r$ となり、 $h は$ $B$ $($ $y$ $,$ $R$ $)$ において $v$ によって最小化される。ここで $R$ $=$ $d$ $($ $y$ $,$ $v$ $) であり、$ $v は$ $h$ が最小化される唯一の点である。リプシッツ条件により、 $r$ $= |$ $h$ $($ $y$ $) -$ $h$ $($ $v$ $)| \leq$ $R$ となる。主張を証明するには、 $R$ $=$ $r$ 、すなわち $d$ $($ $y$ $,$ $v$ $) =$ $r$ を示すだけで十分である。一方、 $h$ $は任意の$ 閉球上の関数 $h$ $n$ の一様極限である。B ( y , r ) 上では $、$ $h$ $n$ $($ $v$ $n$ $)$ $=$ $h$ $n$ $($ $y$ $)$ $-$ $r$ $と$ $なる$ 点 $v$ $n$ によって最小化される。したがって、 $B$ $($ $y$ $,$ $r$ $)$ 上の $h$ の下限は $h$ $($ $y$ $) -$ $r$ であり、 $h$ $($ $vn$ $)$ $は$ $h$ $($ $y$ $) -$ $r$ に収束する。したがって、 $h$ $($ $vn$ $)$ $=$ $h$ $($ $y$ $) -$ $rn$ であり $、$ $rn$ $\leq$ $r$ $で$ 、 $rn$ $は$ $r$ に収束する。un $を$ $h$ $($ $un$ $)$ $\leq$ $h$ $($ $y$ $) -$ $rn$ $を$ 満たす $y$ $に$ 最も近い点とする $。Rn$ = $d$ $($ $y$ $,$ $un$ $)$ $\leq$ $r と$ $する$ $。$ すると $、$ $h$ $($ $un$ $)$ $=$ $h$ $($ $y$ $) - r n$ 、そして $h$ に関するリプシッツ条件により、 $R n \geq r n$ となります。特に、 $R n は$ $r$ に収束します。必要に応じて部分列に移動すると、 $r n$ と $R n は$ 両方とも増加（ $r$ に収束）していると仮定できます。凸最適化の不等式は、 $n > m$ の場合に次のことを意味します。

$d(u_{n},u_{m})^{2}\leq R_{n}^{2}-R_{m}^{2}\leq 2r|R_{n}-R_{m}|,$

したがって、 $u n$ はコーシー列です。u $が$ その極限である場合、 $d (y, u) = r$ および $h (u) = h (y) - r$ となります。一意性により、 $u = v$ となり、したがって $d (y, v) = r$ となり、要求どおりです。

一様極限。上記の議論は、 $d (x n, x 0)$ が無限大に近づき、関数 $h n (x) = d (x, x n) - d (x n, x 0)$ が有界集合上で一様に $h (x)$ に近づく場合、 $h$ は凸関数であり、リプシッツ定数 1 のリプシッツ関数であり、 $X$ 内の $y$ と $r$ $> 0が与えられたとき、$ $d$ $($ $y$ $,$ $v$ $) =$ $r$ となる一意の点 $vが存在し、$ $h$ $($ $v$ $) =$ $h$ $($ $y$ $) -$ $r$ となることを証明している。一方、数列 $($ $x$ $n$ $)$ が有界である場合、項はすべて何らかの閉球内にあり、その一様収束は $($ $x$ $n$ $)$ がコーシー列であることを意味するので、 $X$ 内の何らかの $x$ $\infty$ に収束する。したがって、 $h$ $n は$ $一様にh$ $\infty$ $($ $x$ $) =$ $d$ $($ $x$ $,$ $x$ $\infty$ $) -$ $d$ $($ $x$ $\infty$ $,$ $x$ $0$ $)$ に収束し、これは同じ形式の関数です。同様の議論により、同じ 3 つの条件 (凸関数であること、リプシッツ連続であること、閉球上で最小値を持つこと) を満たす関数のクラスは、有界集合上で一様な極限を取る操作に関して閉じていることも示されます。

注釈。アダマール空間のアダマール部分集合の任意の閉凸部分集合もまたアダマール空間であるため、アダマール空間内の任意の閉球はアダマール空間であることに注意してください。特に、すべての測地線セグメントが、 $R$ 全体または半無限区間 $[0, \infty)$ で定義された測地線に含まれる必要はありません。ヒルベルト空間の閉単位球は、適切な距離空間ではない具体的な例を示しています。

$h$ が凸関数であり、定数 1 のリプシッツ連続で、y $を$ 中心とする半径 $r$ の任意の閉球上で境界上の唯一の点 v において h(v) = h(y) − r で最小値を $とる$ 場合、 $X$ $内$ $の$ 各y に対して、 $δ$ $($ $0) = y$ となるような唯一の測地線 $δが存在し、$ $δ$ $はr > 0$ である各閉凸集合 $h$ $\leq$ $h(y) - rを$ $δ$ $(r)$ で切断するため、 $h($ $δ$ $(t)) = h(y) - t$ となります。特に、これは各ブーゼマン関数に対して成り立ちます。^{[ 7 ]}

3つ目の条件は、 $vが$ 点の閉凸集合 $C$ $r$ $の中でy$ に最も近い点であることを意味する。 $u$ $h (u) \leq h (y) - r$ となるように。 $0$ $\leq$ $t$ $\leq$ $r$ の $δ (t)を$ $y$ と $v$ を結ぶ測地線とする。すると、 $k$ $($ $t$ $) =$ $h$ $($ $δ$ $($ $t$ $)) -$ $h$ $($ $y$ $)は$ $[0,$ $r$ $]$ 上の凸リプシッツ関数であり、リプシッツ定数は 1 で $、k$ $($ $t$ $) \leq -$ $t$ および $k$ $(0) = 0$ および $k$ $($ $r$ $) = -$ $r$ を満たす。したがって、 $0 <$ $s$ $<$ $r$ $の場合、$ $k$ $($ $s$ $) \leq -$ $s$ および $|$ $k$ $(s)| \leq$ $s$ であるため、 $k は$ どこでもゼロになる。したがって、 $h$ $($ $δ$ $($ $t$ $)) =$ $h$ $($ $y$ $) -$ $t と$ なる。一意性により、 $δ$ $($ $t$ $)は$ $Ct$ における $y$ に最も近い点であり、 $B$ $($ $y$ $,$ $t$ $)$ において $hを$ 最小化する唯一の点であることが $導か$ れる。一意性は、これらの測地線セグメントが任意の $r$ に対して一致することを意味し、したがって $δ$ は上記の性質を持つ測地線まで拡張される。

$h = h γ$ の場合、 $y$ から始まる測地線 $δ は$ 以下を満たす。 $\sup d(\gamma (t),\delta (t))<\infty$ $δ$ $1$ $がy$ から始まる別の光線である場合 $\sup d(\delta (t),\delta _{1}(t))<\infty$ すると $δ 1 = δ$ となります。

$最初の主張を証明するには、 t が$ 十分に大きい場合についてこれを検証すれば十分です。この場合、 $γ(t)$ と $δ (t - h (y))は、$ $x$ と $y を$ 閉凸集合 $h \leq -t に$ 射影したものです。したがって、 $d (γ (t), δ (t - h (y))) \leq d (x, y)$ となります。したがって $、d (γ (t), δ (t)) \leq d (γ (t), δ (t - h (y))) + d (δ (t - h (y)), δ (t)) \leq d (x, y) + | h (y)|$ となります。 2 番目の主張は、 $d (δ 1 (t), δ (t))が$ $[0, \infty)$ 上で凸かつ有界であることから導かれる。したがって、 $t = 0$ でゼロになる場合は、どこでもゼロになるはずである。

$h$ が連続凸関数であり、 $X$ の各 $yに対して、$ $δ$ $(0) = y$ となるような一意の測地線 $δが存在し、$ $δ$ が r > 0である各閉凸集合 $h$ $\leq$ $h(y) - r を$ $δ$ $(r)$ で切断し、 $h($ $δ$ $(t)) = h(y) - t$ となると仮定します。この場合、 $h$ はブーゼマン関数です。h $- h$ $δ$ は定数関数です。^{[ 7 ]}

$C r を、$ $h$ $($ $z$ $)$ $\leq$ $-$ $r$ を満たす点 $z$ の閉じた凸集合とする。X はアダマール空間であるため $、$ X 内のすべての点 y に対して、 $C$ r $内$ $に$ $y$ に $最も$ 近い点 $P$ $r$ $($ $y$ $)$ が一意に存在する。これは $y$ に連続的に依存し、 $y が$ $C$ $r の$ 外にある場合、 $P$ $r$ $($ $y$ $)$ は超曲面 $h$ $($ $z$ $) = -$ $r$ $—C r の境界 \partial C$ $r—$ 上に $あり$ $、$ P $r$ $($ $y$ $)$ $は$ 凸最適化の不等式を満たす。 $δ$ $($ $s$ $)を$ $y$ から始まる測地線とする。

$X$ 内の $x$ を固定します。γ $($ $s$ $)$ $を$ $x$ から始まる測地線とします $。g ( z ) = h γ$ ( z ) を $、$ $基点$ $x$ $を$ $持つ$ $γ$ $の$ $ブーゼマン$ 関数と $し$ $ます$ 。特に $g$ $($ $x$ $) = 0 です$ $。g$ $=$ $h$ $-$ $h$ $($ $x$ $)$ を示すだけで十分です。次に、 $h$ $($ $x$ $) =$ $h$ $($ $y$ $)$ となる $y を$ 取り、 $δ$ $($ $t$ $)を$ $h$ に対応する $y$ から始まる測地線とします。すると

$d(x,y)\geq d(\gamma (t),\delta (t)),\,\,\,d(x,\delta (t))^{2}\geq d(x,\gamma (t))^{2}+d(\gamma (t),\delta (t))^{2},\,\,\,d(y,\gamma (t))^{2}\geq d(y,\delta (t))^{2}+d(\gamma (t),\delta (t))^{2}.$

一方、アダマール空間内の任意の4点 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ に対して、レシェトニャクの次の四角形不等式が成り立つ。

$|d(a,c)^{2}+d(b,d)^{2}-d(a,d)^{2}-d(b,c)^{2}|\leq 2d(a,b)d(c,d).$

$a = x$ 、 $b = y$ 、 $c = γ (t)$ 、 $d = δ (t)$ とすると、次のことが導かれる。

$|d(y,\gamma (t))^{2}-d(x,\gamma (t))^{2}|\leq 2d(x,y)^{2},$

となることによって

$|d(y,\gamma (t))-d(x,\gamma (t))|\leq 2{d(x,y)^{2} \over d(y,\gamma (t))+d(x,\gamma (t))}\leq {d(x,y)^{2} \over t}.$

したがって、 $h γ (y) = 0$ です。同様に、 $h δ (x) = 0 です$ 。したがって、 $x$ を含む $h$ のレベル面上では $h γ (y) = 0$ です。ここで、 $t$ $\geq 0$ かつ $zが$ $X$ 内にある場合、 $α$ $t$ $($ $z$ $) = γ$ $1$ $($ $t$ $)を$ $z$ から始まる測地線とします。すると、 $α$ $s$ $+$ $t$ $= α$ $s$ $\circ α$ $t$ および $h$ $\circ α$ $t$ $=$ $h$ $-$ $t$ となります。さらに、有界性により、 $d$ $(α$ $t$ $($ $u$ $),α$ $t$ $($ $v$ $)) \leq$ $d$ $($ $u$ $,$ $v$ $)$ です。流れ $α$ $s を$ 使用すると、この結果を $h$ のすべてのレベル面に転送できます。一般の $y$ $1$ に対して、 $h$ $($ $y$ $1$ $) <$ $h$ $($ $x$ $)$ の場合、 $h$ $(α$ $s$ $($ $x$ $)) =$ $h$ $($ $y$ $1$ $)$ となるような $s$ $> 0を取り、$ $x$ $1$ $= α$ $s$ $($ $x$ $)$ とおく。すると、 $h$ $γ$ $1$ $($ $y$ $1$ $) = 0 となる$ 。ここで、 $γ$ $1$ $($ $t$ $) = α$ $t$ $($ $x$ $1$ $) = γ($ $s$ $+$ $t$ $)$ である。しかし、 $h$ $γ$ $1$ $=$ $h$ $γ$ $-$ $s$ となるので、 $h$ $γ$ $($ $y$ $1$ $) =$ $s$ となる。したがって、 $g$ $($ $y$ $1$ $) =$ $s$ $=$ $h$ $((α$ $s$ $($ $x$ $)) -$ $h$ $($ $x$ $) =$ $h$ $($ $y$ $1$ $) -$ $h$ $($ $x$ $)$ となり、要求どおりである。同様に、 $h (y 1) > h (x)$ の場合、 $h$ $(α$ $s$ $($ $y$ $1$ $)) =$ $h$ $($ $x$ $)$ となるような $s > 0$ を取る。y $= α$ $s$ $($ $y$ $1$ $)$ $と$ する。すると $h$ $γ$ $($ $y$ $) = 0 となる$ ので、 $h$ $γ$ $($ $y$ $1$ $) = -$ $s$ となる。したがって、 $g$ $($ $y$ $1$ $) = -$ $s$ $=$ $h$ $($ $y$ $1$ $) -$ $h$ $($ $x$ $)$ となり、要求どおりである。

最後に、2つの測地線が定数を除いて同じブーゼマン関数を定義するための必要十分条件は以下のとおりである。

アダマール空間では、2つの測地線光線のブーゼマン関数 $\gamma _{1}$ そして $\gamma _{2}$ 定数だけ異なるのは、 $\sup _{t\geq 0}d(\gamma _{1}(t),\gamma _{2}(t))<\infty$ [ ⁸^]

まず、 $γ$ と $δ が$ 定数だけ異なるブーゼマン関数を持つ 2 つの測地線であると仮定します。一方の測地線の引数を定数だけシフトすると、 $B γ = B δ = B$ と仮定できます。C $を$ $B (x) \leq - r$ となる閉凸集合とします。すると、 $B (γ(t)) = B γ (γ(t)) = - t$ となり、同様に $B (δ(t)) = - t$ となります。すると、 $s \leq r$ の場合、点 $γ(s)$ と $δ(s)は$ $C$ 内で最も近い点 $γ(r)$ と $δ(r)$ を持つため、 $d$ $(γ($ $r$ $), δ($ $r$ $)) \leq$ $d$ $(γ($ $s$ $), δ($ $s$ $))$ となります。したがって、 $sup$ $t$ $\geq 0$ $d$ $(γ($ $t$ $), δ($ $t$ $)) < \infty$ 。

$ここで、$ $sup t \geq 0 d (γ 1 (t), γ 2 (t)) < \infty で$ あると仮定します。h γ i に関連付けられた y から始まる測地線を δ i ( t ) とし $ます$ $。$ すると $、$ sup $t \geq 0 d ($ γ $i$ $($ $t$ $)$ $,$ $δ$ $i$ $($ $t$ $)$ $)$ $<$ $\infty となり$ ます。したがって、 $sup$ $t$ $\geq 0$ $d$ $(δ$ $1$ $($ $t$ $), δ$ $2$ $($ $t$ $)) < \infty と$ なります。δ $1$ と $δ$ $2 はどちらも$ $y$ から始まるので、 $δ$ $1$ $($ $t$ $) \equiv δ$ $2$ $($ $t$ $)$ となります。前の結果から、 $h$ $γ$ $i$ $と$ h $δ$ $i$ $は$ 定数だけ異なるため、 $h$ $γ$ $1$ と $h$ $γ$ $2$ も定数だけ異なります。

要約すると、上記の結果は、アダマール空間上のブーゼマン関数の以下の特徴付けを与える。^{[ 7 ]}

定理。アダマール空間において、関数 $f$ に関する以下の条件は同値である。

$h$ はブーゼマン関数である。
$h$ は凸関数であり、定数 $1 の$ リプシッツ連続であり、 $h は、$ $y$ を中心とする半径 $r$ の任意の閉球上の境界上の唯一の点 $vで最小値をとります。ここで$ $h(v) = h(y) - r です$ 。
$h$ は連続凸関数であり、 $X$ の各 $yに対して$ $、δ(0) = y$ となるような一意の測地線 $δ$ が存在し、任意の $r > 0$ に対して、線 $δ$ は各閉凸集合 $h \leq h(y) - r を$ $δ(r)$ で切断します。

アダマール空間の境界化

前の節では、 $X$ がアダマール空間であり、 $x 0が$ $X$ の固定点である場合、 $x 0$ で消滅するブーゼマン関数の空間と関数 $h y (x) = d (x, y) - d (x 0, y)の空間の和集合は、有界集合上で一様極限を取ることによって閉じられることが示されました。この結果は、$ $X$ の境界化の概念で形式化できます。^[⁹^]この位相では、点 $x$ $n は$ $、 d$ $($ $x$ $0$ $,$ $x$ $n$ $)が$ $\infty$ に近づく場合に限り、 $x$ 0から始まる測地線 $γ$ に近づき、 $t$ $> 0が任意に大きい場合、各セグメント$ $[$ $x$ $0$ $,$ $x$ $n$ $]上の点を$ $x$ $0$ から距離 $t$ $の$ 位置で取ることによって得られる数列は $γ($ $t$ $)$ に近づきます。

$X$ $が$ 距離空間である場合、 $グロモフ$ の境界化は次のように定義できます。X内の点 $x 0$ を固定し、 $X$ $N$ $=$ $B$ $($ $x$ $0$ $,$ $N$ $)$ とします。Y $=$ $C$ $($ $X$ $)を$ $X$ 上のリプシッツ連続関数の空間、すなわち、ある定数 $A$ $> 0に対して$ $|$ $f$ $($ $x$ $) -$ $f$ $($ $y$ $) | \leq$ $A$ $d$ $($ $x$ $,$ $y$ $)$ を満たす関数の空間とします。空間 $Yは、半ノルム$ $‖$ $f$ $‖$ $N$ $= sup$ $X$ $N$ $|$ $f$ $|$ によって位相化できます。これは、有界集合上の一様収束の位相です。半ノルムは、リプシッツ条件により有限です。これは、 $C$ $($ $X$ $)から$ $X$ $N$ 上の連続有界関数のバナッハ空間 $C$ $b$ $($ $X$ $N$ $)$ の直積への自然な写像によって誘導される位相です。これは、メトリック $D$ $($ $f$ $,$ $g$ $) = Σ 2$ $-$ $N$ $‖$ $f$ $-$ $g$ $‖$ $N$ $(1 +$ $‖$ $f$ $-$ $g$ $‖$ $N$ $)$ $-1$ によって与えられます。

空間 $Xは、$ $x を$ 関数 $f$ $x$ $($ $y$ $) =$ $d$ $($ $y$ $,$ $x$ $) -$ $d$ $($ $x$ $0$ $,$ $x$ $)$ に送ることによって $Y$ に埋め込まれます。X $を$ $Y$ における $X$ の閉包とします。すると、 $Y$ は距離化可能であり、 $X を$ 開集合として含むので、 $X も$ $距離化可能です。さらに、異なる基点の選択から生じる境界化は自然に同相です。h ($ $x$ $) = ($ $d$ $($ $x$ $,$ $x$ $0$ $) + 1)$ $-1$ とします。すると、 $h は$ $C$ $0$ $($ $X$ $)$ $に$ 含まれます。h は $X$ 上で非ゼロであり、 $\infty$ でのみゼロになります。したがって、h はゼロ集合 $X$ $\$ $Xを持つ$ $X$ 上の連続関数に拡張されます。したがって、 $X$ $\$ $Xは$ $X$ で閉じられており、要求どおりです。 $X$ $=$ $X$ $($ $x$ $0$ $)$ が基点に依存しないことを確認するには、 $k$ $($ $x$ $) =$ $d$ $($ $x$ $,$ $x$ $0$ $) -$ $d$ $($ $x$ $,$ $x$ $1$ $)が$ $X$ 上の連続関数に拡張されることを示せば十分です。しかし、 $k$ $($ $x$ $) =$ $f$ $x$ $($ $x$ $1$ $)$ なので、 $gが$ $X$ に属する場合、 $k$ $($ $g$ $) =$ $g$ $($ $x$ $1$ $)となります。したがって、$ $x$ $0$ と $x$ $1$ のコンパクト化の対応は、 $gが$ $X$ $($ $x$ $0$ $)$ に属する場合、 $g$ $+$ $g$ $($ $x$ $1$ $)1 が$ $X$ $($ $x$ $1$ $)$ に属する場合に与えられます。

$X$ がアダマール空間の場合、グロモフの理想境界 $∂ X = X \ X は、$ ブーゼマン関数を使用して測地線の「漸近極限」として明示的に実現できます。 $x n が$ $X$ 内の非有界列で、h $n (x) = d (x, x n) - d (x n, x 0)が$ $Y$ 内で $h$ に収束する場合、 $h は$ $x$ $0$ でゼロになり、凸関数であり、リプシッツ定数 $1$ のリプシッツ連続であり、任意の閉球 $B$ $($ $y$ $,$ $r$ $)$ 上で最小値 $h$ $($ $y$ $) -$ $r$ を持ちます。したがって、 $h は、$ $x$ $0$ から始まる一意の測地線 $γ$ に対応するブーゼマン関数 $B$ $γ$ です。

一方、 $h n が$ 有界集合上で一様に $B γ$ に収束するのは、 $d (x 0, x n)が$ $\infty$ に収束し、 $t > 0が任意に大きい場合、各セグメント$ $[x 0, x n]$ 上の点を $x$ $0$ から距離 $t$ $だけ取って得られる数列がγ($ $t ) に収束する場合に限る。d ($ $x$ $0$ , $x$ $n$ $)$ $\geq$ $t$ $の$ $場合$ $、$ x n $($ $t$ $)$ $を$ $d$ $($ $x$ $0$ $,$ $x$ $n$ $($ $t$ $)$ $) =$ $t$ となる $[$ $x$ $0$ $,$ $x$ $n$ $]$ 内の点とする。まず、 $h$ $n が$ $B$ $($ $x$ $0$ $,$ $R$ $)$ 上で一様に $B$ $γ$ に収束すると仮定する。すると、 $t$ $\leq$ $R$ の場合、 $|$ $h$ $n$ $(γ($ $t$ $)) -$ $B$ $γ$ $(γ($ $t$ $))|=$ $d$ $(γ($ $t$ $),$ $x$ $n$ $) -$ $d$ $($ $x$ $n$ $,$ $x$ $0$ $) +$ $t$ となる。これは凸関数です。t $= 0$ でゼロになるため、増加関数です。したがって、t = R で最大値をとります $。$ $したがって$ $、$ $各$ t に対して $、$ | $d$ $($ $γ($ $t$ $),$ $x$ $n$ $) -$ $d$ $($ $x$ $n$ $,$ $x$ $0$ $) -$ $t$ $|$ は 0 に近づきます。a $=$ $X$ $0$ 、 $b$ $= γ($ $t$ $)$ 、 $c$ $=$ $x$ $n$ とします。すると、 $d$ $($ $c$ $,$ $a$ $)$ $-$ $d$ $($ $c$ $,$ $b$ $)$ は $d$ $($ $a 、 b)$ で $d (c 、 a)$ が大きい。したがって、ユークリッド比較三角形 $CA - CBは$ $CA$ が $大きいAB$ に近くなる $。したがって、 A$ の角度 $は小さい。したがって、 AC$ 上の $AB$ と同じ距離にある点 $Dは$ $B$ に近い。したがって、測地線三角形の第一比較定理により、 $d$ $($ $x$ $n$ $($ $t$ $),γ($ $t$ $))は小さい。逆に、固定された$ $t$ と $n$ が十分に大きい場合 $、 d$ $($ $x$ $n$ $($ $t$ $),γ($ $t$ $))$ が0 に近づくと仮定する。すると、上記の $F$ $s$ $($ $y$ $) =$ $d$ $($ $y$ $,γ($ $s$ $)) -$ $s は$ 以下を満たす。

$|F_{s}(y)-B_{\gamma }(y)|\leq {d(x_{0},y)^{2} \over 2s},$

したがって、任意の有界集合において、 $h n (y) = d (y, x n) - d (x 0, x n)が十分に大きい$ $n$ に対して $F s (y)$ に一様に近づくことを示せば十分である。^[¹⁰^]

固定された球 $B (x 0, R)$ に対して、 $R$ $2$ $/$ $s$ $\leq ε$ となるように $s を$ 固定する。この主張は、アダマール空間における測地線セグメントの不等式から直ちに導かれる。

$|d(y,x_{n})-d(y,x_{0})-d(y,x_{n}(s))+s|\leq {d(x_{0},y)^{2} \over s}\leq \varepsilon .$

したがって、 $y が$ $B (x 0, R)$ に属し、 $n$ が十分に大きく $d (x n (s),γ(s)) \leq ε で$ ある場合、

$|h_{n}(y)-B_{\gamma }(y)|=|d(y,x_{n})-d(y,x_{0})-B_{\gamma }(y)|\leq |d(y,x_{n})-d(y,x_{0})-d(y,x_{n}(s))+s|+d(x_{n}(s),\gamma (s))+|F_{s}(y)-B_{\gamma }(y)|\leq 3\varepsilon .$

アダマール多様体上のブーゼマン関数

$x 、 y$ をアダマール多様体の点とし、 $γ (s)$ を $γ$ $(0) =$ $y を満たす$ $x$ を通る測地線とする。この測地線は、閉球 $B$ $($ $y$ $,$ $r$ $)$ の境界を2 点 $γ(\pm$ $r$ $)$ で切断する。したがって、 $d$ $($ $x$ $,$ $y$ $) >$ $rの場合、$ $d$ $($ $y$ $,$ $u$ $) =$ $d$ $($ $y$ $,$ $v$ $) =$ $r$ を満たす点 $u$ $、$ $v$ が存在し、 $|$ $d$ $($ $x$ $,$ $u$ $) -$ $d$ $($ $x$ $,$ $v$ $)| = 2r$ $と$ なる。連続性により、この条件はブーゼマン関数に対しても成り立つ。

$h$ がアダマール多様体上のブーゼマン関数である場合、 $y が$ $X$ に属し、 $r > 0$ であるとき、 $d(y,u) = d(y,v) = r と$ なるような一意の点 $u$ 、 $vが存在し$ $、h(u) = h(y) + r$ および $h(v) = h(y) - r$ となる。固定された $r$ $> 0$ に対して、点 $u$ と $v は$ $y$ に連続的に依存する。^{[ 3 ]}

数列 $t n を$ $\infty$ に収束させ、 $h n = F t n$ $とすると、 n$ が十分に大きい場合、 $h$ $n$ のこれらの条件を満たす点 $u n$ と $v n が$ 存在する。必要に応じて部分列に移動すると、 $u$ $n$ と $v$ $n は$ $u$ と $v$ に収束すると仮定できる。連続性により、これらの点は $h$ の条件を満たす。一意性を証明するために、コンパクト性により、 $h は$ $B$ $($ $y$ $,$ $r$ $)$ 上で最大値と最小値をとることに注意する。リプシッツ条件は、そこでの $h$ の値の差が最大で $2$ $r$ であることを示している。したがって、 $hは$ $v$ で最小値、 $u$ で最大値をとる。一方、 $d$ $($ $u$ $,$ $v$ $) = 2$ $rであり、$ $u$ と $v$ に対して、点 $v$ と $u$ は、この距離を最大化する $B$ $($ $y$ $,$ $r$ $)$ 内の唯一の点である。 $h$ に関するリプシッツ条件から、 $u$ と $v は$ $B$ $($ $y$ $,$ $r$ $)内で$ $h$ を最大化および最小化する唯一の点であることがわかります。ここで、 $y$ $n が$ $y$ に収束すると仮定します。すると、対応する点 $u$ $n$ と $v$ $n は$ 閉球内にあるため、収束する部分列を持ちます。しかし、 $u$ と $vの一意性により、そのような部分列は$ $u$ と $v$ に収束しなければならないため、 $u$ $n$ と $v$ $n は$ $u$ と $v$ に収束し、連続性が確立されます。

上記の結果は、アダマール空間においてより一般的に成り立つ。^{[ 6 ]}

$h$ がアダマール多様体上のブーゼマン関数である場合、 $h は$ すべての $yに対して$ $‖ dh(y) ‖ = 1$ となるように連続微分可能である。^{[ 3 ]}

$h$ のこれまでの性質から、各 $y$ に対して、弧長によってパラメータ化された一意の測地線 γ( t ) が存在し、 $γ(0) = yで、$ $h \circ γ(t) = h (y) + t$ となる。この測地線は、 $\partial B (y, r)を$ $t = \pm r$ で切断するという性質を持つ。すなわち、前述の表記では $γ(r) = u$ および $γ(- r) = v$ である。単位ベクトルによって定義されるベクトル場 $V h がある。$ ${\dot {\gamma }}(0)$ $y$ において $u は$ $y$ の連続関数であり、 $(x, v)から$ $(x,exp x v)$ への写像はカルタン・アダマールの定理により $TXから$ $X \times X$ への微分同相写像であるため、は連続である。 $δ($ $s$ $)を$ $y$ を通る弧長でパラメータ化された別の測地線とし、 $δ(0) =$ $y$ とする。すると $dh$ $\circ δ (0)/$ $ds$ $=$ $({\dot {\delta }}(0),{\dot {\gamma }}(0))$ 実際、 $H (x) = h (x) - h (y)$ とすると、 $H (y) = 0 と$ なる。すると

$|H(\delta (s))-H(x)|\leq d(\delta (s),x).$

$これをx = u$ および $v$ に適用すると、 $s > 0の場合、次のことが導かれる。$

$(r-d(\delta (s),u))/s\leq (h(\delta (s))-h(y))/s\leq (d(\delta (s),v)-r)/s.$

外側の項は $({\dot {\delta }}(0),{\dot {\gamma }}(0))$ $s$ が0に近づくにつれて、主張どおり、中間項も同じ極限値をとる。s $< 0の場合$ $も$ 同様の議論が成り立つ。

外側の項に関する主張は弧長の第1変分公式から導かれるが、次のように直接導き出すこともできる。 $a={\dot {\delta }}(0)$ そして $b={\dot {\gamma }}(0)$ 両方とも単位ベクトルです。次に、単位球内の $y$ における接線ベクトル $p$ と $qについて$ ^[¹¹^]

$d(\exp _{y}p,\exp _{y}q)=\|p-q\|+\varepsilon \max \|p\|^{2},\|q\|^{2}$

$ε$ は一様に有界である $。s = t 3$ 、 $r = t 2$ とする。すると

$(d(\delta (s),v)-r)/s=(d(\exp _{y}(t^{3}a),\exp _{y}(-t^{2}b))-t^{2})/t^{3}=(\|t^{3}a+t^{2}b\|-t^{2})/t^{3}+\varepsilon |t|=(\|ta+b\|-1)/t+\varepsilon |t|.$

右辺は、 $t が$ 0 に近づくにつれて $(a, b)に近づく。$

${d \over dt}\|b+ta\||_{t=0}={1 \over 2}\,{d \over dt}\|b+ta\|^{2}|_{t=0}=(a,b).$

他の用語についても同じ方法が有効です。

したがって、 $h は$ ベクトル場 $V$ $h$ $の双対であるdh$ $を持つC 1$ 関数であり、 $‖$ $dh$ $($ $y$ $)$ $‖$ $= 1 と$ なります。ベクトル場 $V$ $h$ $は、 h$ の勾配ベクトル場です。任意の点を通る測地線は、 $V$ $h$ の流れ $α$ $t$ の流れ線であり、 $α$ $t$ $はh$ の勾配流れです。

定理。アダマール多様体 $X$ 上では、連続関数 $h$ に関する以下の条件は同値である。^{[ 3 ]}

$h$ はブーゼマン関数である。
$h$ は定数 1 の凸リプシッツ関数であり、 $X$ の各 $yに対して、$ $y$ から距離 $rにある点$ $u$ $\pm$ が存在し、 $h(u$ $\pm$ $) = h(y) \pm r が$ 成り立つ。
$h$ は凸 $C 1$ 関数であり $、‖ dh(x) ‖ \equiv 1$ である。

（１）が（２）を意味することは既に証明されている。

上記の議論は、多少の変更を加えれば（2）が（3）を意味することを示している。

したがって、(3)が(1)を意味することを示す必要がある。X内の $x を固定する$ $。α$ $t を$ $h$ の勾配流とする。すると、 $h$ $\circ α$ $t$ $($ $x$ $)$ $=$ $h$ $($ $x$ $) +$ $t$ となり、 $γ($ $t$ $) = α$ $t$ $($ $x$ $)$ は弧長によってパラメータ化された $x を$ 通る測地線であり、 $γ(0) =$ $x$ となる。実際、 $s$ $<$ $t$ の場合、

$|s-t|=|h(\alpha _{s}(x))-h(\alpha _{t}(x))|\leq d(\alpha _{s}(x),\alpha _{t}(x))\leq \int _{s}^{t}\|d\alpha _{\tau }(x)/d\tau \|\,d\tau =\int _{s}^{t}\|dh(\alpha _{\tau }(x))\|\,d\tau =|s-t|,$

したがって、 $d (γ(s),γ(t)) = | s - t |$ となります。g ( y ) = h γ ( y ) を基点 x を持つ γ のブーゼマン関数とします $。特に、 g (x) = 0$ です $。$ $($ 1 ) $を$ $証明$ $する$ $には、$ $g$ $=$ $h$ $-$ $h$ $($ $x$ $)1$ を示すだけで十分です。

$C (- r)$ を、 $h$ $($ $z$ $) \leq -$ $r$ を満たす点 $z$ の閉凸集合とする。X はアダマール空間であるため $、$ X 内のすべての点 y に対して、 $C$ ( $-$ $r$ $)$ $内$ $に$ y $に$ 最も近い点 $P$ $r$ $($ $y$ $)$ が一意に存在する。これは $y$ に連続的に依存し、 $y が$ $C$ $(-$ $r$ $)$ の外にある場合、 $P$ $r$ $($ $y$ $)$ は超曲面 $h$ $($ $z$ $) = -$ $r$ $—C$ $(-$ $r$ $)$ の境界 $\partial$ $C$ $(-$ $r$ $) — 上にあり、$ $yから$ $P$ $r$ $($ $y$ $)$ への測地線は $\partial$ $C$ $(-$ $r$ $)$ に直交する。この場合、測地線は $α$ $t$ $($ $y$ $)$ である。実際、 $α$ $t が$ $h$ の勾配流であり、条件 $‖$ $dh$ $($ $y$ $)$ $‖$ $\equiv 1 である$ ことから、流線 $α$ $t$ $($ $y$ $)$ は弧長でパラメータ化された測地線であり、 $h$ の等高線と直交することがわかります。h $($ $y$ $) =$ $h$ $($ $x$ $)$ かつ $t$ $> 0$ $の$ $y を$ 取ると、

$d(x,y)\geq d(\alpha _{t}(x),\alpha _{t}(y)),\,\,\,d(x,\alpha _{t}(y))^{2}\geq d(x,\alpha _{t}(x))^{2}+d(\alpha _{t}(x),\alpha _{t}(y))^{2},\,\,\,d(y,\alpha _{t}(x))^{2}\geq d(y,\alpha _{t}(y))^{2}+d(\alpha _{t}(x),\alpha _{t}(y))^{2}.$

一方、アダマール空間内の任意の4点 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ に対して、レシェトニャクの次の四角形不等式が成り立つ。

$|d(a,c)^{2}+d(b,d)^{2}-d(a,d)^{2}-d(b,d)^{2}|\leq 2d(a,b)d(c,d).$

$a = x$ 、 $b = y$ 、 $c = α t (x)$ 、 $d = α t (y)$ とすると、次のことが導かれる。

$|d(y,\alpha _{t}(x))^{2}-d(x,\alpha _{t}(x))^{2}|\leq 2d(x,y)^{2},$

となることによって

$|d(y,\alpha _{t}(x))-d(x,\alpha _{t}(x))|\leq 2{d(x,y)^{2} \over d(y,\alpha _{t}(x))+d(x,\alpha _{t}(x))}\leq {d(x,y)^{2} \over t}.$

したがって、 $x$ を含む $h$ のレベル面上では $h γ (y) = 0 となります$ 。流れ $α$ $s$ を使用すると、この結果を $h$ のすべてのレベル面に転送できます。一般の $y$ $1に対して、$ $h$ $(α$ $s$ $($ $x$ $)) =$ $h$ $($ $y$ $1$ $)$ となるような $s$ を取り、 $x$ $1$ $= α$ $s$ $($ $x$ $)$ とします。すると、 $h$ $γ$ $1$ $($ $y$ $1$ $) = 0 となります$ 。ここで、 $γ$ $1$ $($ $t$ $) = α$ $t$ $($ $x$ $1$ $) = γ($ $s$ $+$ $t$ $)$ です。しかし、 $h$ $γ$ $1$ $=$ $h$ $γ$ $-$ $s$ なので、 $h$ $γ$ $($ $y$ $1$ $) =$ $s$ となります。したがって、 $g$ $($ $y$ $1$ $) =$ $s$ $=$ $h$ $((α$ $s$ $($ $x$ $)) -$ $h$ $($ $x$ $) =$ $h$ $($ $y$ $1$ $) -$ $h$ $($ $x$ $)$ となり、要求どおりです。

この議論は、対応する測地線が $sup$ $t$ $\geq 0$ $d$ $(γ($ $t$ $),δ($ $t$ $)) < \infty を満たす場合に限り、2 つのブーゼマン関数$ $h γ$ と $h δ が$ $定数だけ異なるという事実を利用することで短縮できることに注意してください。実際、流れα$ $t$ によって定義されるすべての測地線は後者の条件を満たすため、定数だけ異なります。これらの測地線に沿って $h$ は導関数 1 を持つ線形関数であるため、 $h は$ これらのブーゼマン関数と定数だけ異なる必要があります。

適切なアダマール空間のコンパクト化

Eberlein & O'Neill (1973)は、ブーゼマン関数を用いたアダマール多様体 $X$ のコンパクト化を定義した。彼らの構成は、より一般的に適切な (すなわち局所的にコンパクトな)アダマール空間に拡張することができ、すべての閉球がコンパクトであるような、より一般的な適切な距離空間 $X$ のクラスに対して、「理想的な境界」を追加することによって、Gromov によって定義されたコンパクト化の明示的な幾何学的実現を与える。任意のコーシー列は閉球に含まれるため、適切な距離空間は自動的に完備であることに注意されたい。^{[ 12 ]}理想的な境界は、距離空間の理想的な境界の特殊な場合である。アダマール空間の場合、これは、空間の境界化においてブーゼマン関数を用いて記述される任意の固定点から発する測地線光線の空間と一致する。

$X$ $が$ 適切な距離空間である場合、 $グロモフ$ のコンパクト化は次のように定義できます。X内の点 $x 0$ を固定し、 $X$ $N$ $=$ $B$ $($ $x$ $0$ $,$ $N$ $)$ とします。Y $=$ $C$ $($ $X$ $)を$ $X$ 上のリプシッツ連続関数の空間、すなわち、ある定数 $A$ $> 0に対して$ $|$ $f$ $($ $x$ $) -$ $f$ $($ $y$ $) | \leq$ $A$ $d$ $($ $x$ $,$ $y$ $)$ を満たす関数の空間とします。空間 $Y$ は、コンパクト空間上の一様収束の位相である半ノルム $‖$ $f$ $‖$ $N$ $= sup$ $X$ $N$ $|$ $f$ $|によって位相化できます。これは、$ C ( X ) からバナッハ空間 $C$ $($ $X$ $N$ $)$ の直積への自然な写像によって誘導される位相です。これは、計量 $ D$ $($ $f$ $,$ $g$ $) = Σ 2$ $-$ $N$ $‖$ $f$ $-$ $g$ $‖$ $N$ $(1 +$ $‖$ $f$ $-$ $g$ $‖$ $N$ $)$ $-1$ によって与えられます。

空間 $Xは、$ $x を$ 関数 $f$ $x$ $($ $y$ $) =$ $d$ $($ $y$ $,$ $x$ $) -$ $d$ $($ $x$ $0$ $,$ $x$ $)$ に送ることによって $Y$ に埋め込まれます。 $X を$ $Y$ における $X$ の閉包とします。すると、 $X$ はコンパクト (計量可能) であり、 $X を$ 開集合として含みます。さらに、異なる基点の選択から生じるコンパクト化は自然に同相です。コンパクト性は、 $C$ $($ $X$ $N$ $)$ の像が等連続であり、ノルムで $N$ によって一様に有界であることから、アルツェラ–アスコリの定理から導かれます。 $x$ $n を$ $X$ $\subset$ $X$ の列で、 $X$ $\$ $X$ の $y$ に収束するものとします。すると、有限個の項を除いてすべての項が $X$ $N の$ 外側にある必要があり、 $X$ $N は$ コンパクトであるため、任意の部分列は $X$ $N$ 内の点に収束します。したがって、列 $x$ $n は$ $X$ で有界でなければなりません。 $h$ $($ $x$ $) = ($ $d$ $($ $x$ $,$ $x$ $0$ $) + 1)$ $-1$ とします。すると $hは$ $C$ $0$ $($ $X$ $)$ に含まれる。h は $X$ 上で非ゼロであり、 $\infty$ でのみゼロになる。したがって、h は $X$ 上の連続関数に拡張され、その零集合は $X$ $\$ $X$ となる。したがって、 $X$ $\$ $Xは$ $X$ において閉じていることがわかる。コンパクト化 $X$ $=$ $X$ $($ $x$ $0$ $)$ が基点に依存しないことを確認するには、 $k$ $($ $x$ $) =$ $d$ $($ $x$ $,$ $x$ $0$ $) -$ $d$ $($ $x$ $,$ $x$ $1$ $)が$ $X$ 上の連続関数に拡張されることを示せば十分である。しかし、 $k$ $($ $x$ $) =$ $f$ $x$ $($ $x$ $1 )$ $)$ 、したがって、 $g が$ $X$ に属する場合、 $k (g) = g (x 1)となります。したがって、$ $x 0$ と $x 1$ のコンパクト化間の対応は、 $g が$ $X (x 0)$ に属する場合、 $g + g (x 1)1 が$ $X (x 1)$ に属する場合に与えられます。

$X$ がアダマール多様体 (またはより一般的には適切なアダマール空間) の場合、グロモフの理想境界 $∂ X = X \ X$ は、ブーゼマン関数を使用して測地線の「漸近極限」として明示的に実現できます。基点 $x 0$ を固定すると、弧長によってパラメータ化された一意の測地線 $γ(t)$ が存在し、 $γ(0) = x 0$ および ${\dot {\gamma }}(0)$ $は与えられた単位ベクトルです。Bγが$ $対応$ するブーゼマン関数である場合 $、$ Bγ $は \partialX$ $( x₀) 内$ にあり、単位 $(n -1)$ $球面$ $から\partialX$ (x₀)へ $の$ $同相写像を誘導$ し、 ${\dot {\gamma }}(0)$ $Bγ$ へ。 $$

ポアンカレ円盤、CAT(-1)空間、および双曲空間における準測地線

モース・モストウ補題

ポアンカレ円盤、CAT(-1)、双曲空間などの負の曲率を持つ空間の場合、そのグロモフ境界上に計量構造が存在する。この構造は、測地線光線を準測地線光線に運ぶ準等長写像の群によって保存される。準測地線は、最初にモースによって負の曲率を持つ曲面、特に双曲上半平面と単位円盤について研究され、モストウによって離散群の剛性に関する研究で負の曲率を持つ対称空間に一般化された。基本的な結果は、測地線の安定性に関するモース-モストウの補題である。 ^[¹³^]^[¹⁴^]^[¹⁵^]^[¹⁶^]

定義によれば、 $-\infty \leq$ $a$ $<$ $b$ $\leq \infty$ の区間 $[$ $a$ $,$ $b$ $]上で定義された$ 準測地線Γ は、必ずしも連続ではない距離空間への写像 $Γ($ $t$ $)であり、すべての$ $s$ および $t$ $に対して、定数λ \geq 1$ および $ε > 0$ が存在し、次の式が成り立つ。

$\lambda ^{-1}|s-t|-\varepsilon \leq d(\Gamma (s),\Gamma (t))\leq \lambda |s-t|+\varepsilon .$

以下の結果は、基本的にマーストン・モース（1924）によるものです。

測地線の安定性に関するモースの補題。双曲円盤では、 $λ$ と $ε$ に依存する定数 $R$ が存在し、有限区間 $[$ $a$ $,$ $b$ $]$ 上で定義された任意の準測地線セグメント $Γ$ は、測地線セグメント $[Γ($ $a$ $),Γ($ $b$ $)]から$ ハウスドルフ距離 $R$ 以内にある。^[¹⁷^]^[¹⁸^]

ポアンカレ円盤の古典的な証明

ポアンカレ単位円盤または上半平面に対するモースの補題の古典的な証明は、測地線セグメントへの直交射影を使用することでより直接的に進められます。^{[ 19 ]}^{[ 20 ]}^{[ 21 ]}

Γはより強い「擬似測地線」条件を満たすと想定できる。^{[ 22 ]}

$\lambda ^{-1}|s-t|-\varepsilon \leq d(\Gamma (s),\Gamma (t))\leq \lambda |s-t|.$

$Γ は、同じ端点が$ $Γから$ $c = (2λ 2 + 1)ε$ 未満の有限ハウスドルフ距離にある連続区分測地線 Δ に置き換えることができます。Γ $が$ 定義されている区間を長さ $2λε$ の等しい部分区間に分割し、部分区間の端点の $Γ$ による像間の測地線を取ります。Δは区分測地線であるため、 $Δ$ $は定数$ $λ 1$ でリプシッツ連続であり、 $d (Δ(s),Δ(t)) \leq λ 1 | s - t |$ 、ここで $λ 1 \leq λ + ε$ です。下限は区間の端点で自動的に得られます。構成上、他の値は $λ$ と $ε$ のみに依存する一様境界によってこれらと異なります。下限不等式は、この一様境界の 2 倍を ε に加えることで成り立ちます。

$γ が$ 測地線の $s$ 近傍の外側にある区分的に滑らかな曲線セグメントであり、 $P が$ 測地線への直交射影である場合、次のようになります。 ^{[ 23 ]}

$\ell (P\circ \gamma )\leq {\ell (\gamma ) \over \cosh s}.$

上半平面で等長変換を適用すると、測地線は正の虚軸であると仮定でき、その場合、測地線への直交投影は $P (z) = i | z |$ および $| z | / Im z = cosh d (z, Pz)$ で与えられる。したがって、仮説は $| γ(t) | \geq cosh(s) Im γ(t)$ を意味し、したがって、

$\ell (P\circ \gamma )=\int _{a}^{b}{|d\gamma | \over |\gamma |}\leq \int _{a}^{b}{|d\gamma | \over \cosh(s)\,\Im \gamma }={\ell (\gamma ) \over \cosh(s)}.$

$λ$ と $ε$ のみに依存する定数 $h > 0が存在し、$ $Γ[$ $a$ $,$ $b$ $]$ は測地線セグメント $[Γ($ $a$ $),Γ($ $b$ $)]の$ $h$ 近傍内に含まれる。^[²⁴^]

測地線を $γ(t)$ とし、測地線セグメント $[Γ(a),Γ(b)]を含むものとする。このとき、$ $λ$ と $ε$ のみに依存する定数 $h > 0が存在し、$ $h$ 近傍 $Γ[$ $a$ $,$ $b$ $]は$ $γ($ $R$ $)$ の $h$ 近傍内に含まれる。実際、任意の s > 0 に対して、 $Γ$ $($ $t$ $)$ $が$ $γ($ $R$ $)$ の $s$ 近傍の閉包の外側にある $[$ $a$ $,$ $b$ $]$ の部分集合は開集合であり、可算個の開区間 $($ $c$ $,$ $d$ $)$ の和集合となる。

$\ell (\Gamma |_{[c,d]})\leq s_{1}\equiv \lambda ^{2}(2s+\varepsilon )\left(1-{\lambda ^{2} \over \cosh(s)}\right),$

左辺は

λ| c - d |

以下であり、

${|c-d| \over \lambda }-\varepsilon \leq d(\Gamma (c),\Gamma (d))\leq 2s+d(P\circ \Gamma |_{[c,d]})\leq 2s+{\lambda |c-d| \over \cosh(s)}.$

したがって、すべての点はγ(

R

)

から

s + s 1

以下離れた距離にある。この主張を導出するには、

Γ(

t

)

が

[Γ(

a

),Γ(

b

)] \subset γ(

R

)の

s

近傍の閉包の外側にある

[

a

,

b

]

の部分集合は開集合であることに注意する。したがって、 Γ

(

c

)

と

Γ(

d

)の両方が

Γ(

a

)

または

Γ(

b

)

から

s

+

s

1

離れた距離にある区間

(

c

,

d

)

の和集合が存在する。すると、

$\ell (\Gamma |_{[c,d]})\leq s_{2}\equiv \lambda ^{2}(2(s+s_{1})+\varepsilon ),$

以来

${|c-d| \over \lambda }-\varepsilon \leq d(\Gamma (c),\Gamma (d))\leq 2(s+s_{1}).$

したがって、 s

+

s

1

+

s

2

より大きい任意の

h

を取ると、この主張が成り立つ。

$λ$ と $ε$ のみに依存する定数 $h > 0$ が存在し、測地線セグメント $[Γ($ $a$ $),Γ($ $b$ $)]は$ $Γ[$ $a$ $,$ $b$ $]$ の $h$ 近傍内に含まれる。^[²⁵^]

$Γ[a, b]$ のすべての点は、 $[Γ($ $a$ $),Γ($ $b$ $)]$ から距離 $h$ 以内にある。したがって、直交射影 $P は$ $、Γ[$ $a$ $,$ $b$ $]$ の各点を、距離 $h$ より小さい閉凸集合 $[Γ($ $a$ $),Γ($ $b$ $)]内の点に写像する。P$ $は$ 連続であり、 $Γ[$ $a$ $,$ $b$ $]$ は連結であるため、画像には $[Γ($ $a$ $),Γ($ $b$ $)]$ の端点が含まれるため、写像 $P$ $は全射でなければならない。しかし、その場合、 [Γ($ $a$ $),Γ($ $b$ $)]$ のすべての点は、 $Γ[$ $a$ $,$ $b$ $]$ の点から距離 $h$ 以内にある。

グロモフによるポアンカレ円盤の証明

モースの補題を CAT(-1) 空間に一般化したものは、モース-モストウの補題と呼ばれることが多く、古典的な証明を単純に一般化することで証明できます。また、グロモフによる、より一般的な双曲距離空間のクラスに対する一般化もあります。以下に、ポアンカレ単位円盤に対するグロモフの証明を示します。双曲距離空間の性質は証明の過程で展開されるため、必要に応じて CAT(-1) 空間や双曲距離空間にも適用できます。^[¹³^]^[¹⁴^]

これは大規模な現象であるため、不等式を満たす円盤への任意の $N$ $> 0に対する$ ${0, 1, 2, ...,$ $N$ $}$ からの写像 $Δ が測地線セグメント$ $[Δ(0),Δ($ $N$ $)]$ のハウスドルフ距離 $R$ $1$ 以内にあることを確認するだけで十分です。次に、一般性を失うことなく、 $Γは$ $r$ $> 1$ の $[0,$ $r$ $]$ 上で定義され、 $N$ $= [$ $r$ $] ($ $r$ の整数部分)とすると、結果は $Δ($ $i$ $) = Γ($ $i$ $)$ で定義される $Δ$ $に$ 適用できます。Γと $Δ$ の像間のハウスドルフ距離は明らかに $λ$ と $ε$ のみに依存する定数 $R$ $2$ で制限されます。

測地線三角形の内接円の直径は

、δ = 2 log 3

の場合、

δ

より小さくなります。実際、内接円の直径は

、2 log 3

に等しい理想三角形の内接円の直径によって厳密に最大化されます。特に、内接円は三角形を 3 つの二等辺三角形に分割し、元の三角形の頂点の反対側にある 3 番目の辺の長さは

δ

より小さいため、測地線三角形のすべての辺は、他の 2 つの辺の

δ

近傍に含まれることがわかります。簡単な帰納法により、

k

\geq 0

の場合、頂点が

2

k

+ 2個の測地線多角形は、各辺が他の辺の

(

k

+ 1)δ

近傍内にあることがわかります (このような多角形は、共通の辺に沿って

2

k

-1

+ 1

個の辺を持つ 2 つの測地線多角形を組み合わせることによって作られます)。したがって、

M

\leq 2

k

+ 2の場合、

M

個の辺を持つ多角形についても同じ評価が成り立ちます。

y i = Δ(i)

の場合、

f (x) = min d (x, y i)

とします。これは、内部に

y

i を

含まない、

x

を中心とする閉球の最大半径です。これは

[Δ(0),Δ(

N

)]

上でゼロでない連続関数なので、この区間内の点

x

で最大値

h

を得ます。すると、

[Δ(0),Δ(

N

)] は、

任意の

h

1

>

h

に対して、 Δ

の像の

h

1

近傍内に存在します。したがって、

N

に依存しない

h

の上限を見つけるだけで十分です。

x

の前後の区間

[Δ(0),Δ(

N

)]内の

y

と

z を、

d

(

x

,

y

) = 2

h

および

d

(

x

,

z

) = 2

h

となるように選択します(または、

x

から

2

h

未満の距離にある場合は端点を選択します)。すると、

d

(

y

,Δ(

i

))

、

d

(

z

,Δ(

j

)) \leq

h

となる

i

、

j

が存在します。したがって、

d

(Δ(

i

),Δ(

j

)) \leq 6

h

となり、

|

i

-

j

| \leq 6λ

h

+ λε となります

。三角不等式により、区間

[

y

,Δ(

i

)]

および

[

z

,Δ(

j

)]上のすべての点は、

x

から

h

以上

の距離にあります。したがって、

yから

z

で終わる有限個の点列が存在し、最初は線分

[

y

,Δ(

i

)]

上にあり、次に点

Δ(

i

), Δ(

i

+1), ..., Δ(

j

)

を通り、最後に線分

[Δ(

j

),

z

]

を取る。連続する点

Δ(

i

), Δ(

i

+1), ..., Δ(

j

)は

λ + ε を

超える距離で隔てられており、測地線分上の連続する点もこの条件を満たすように選択できる。このような点列の最小点数

Kは

K

\leq |

i

-

j

| + 3 + 2(λ + ε)

-1

h

を

満たす。これらの点は[

y

,

z

]

を辺の 1 つとする測地多角形を形成する。L

= [

h

/δ]

とすると、

[

y

,

z

]

の

(

L

- 1)δ近傍は

多角形の他の辺をすべて含んでいるわけではない。したがって、上記の結果から、 K > 2 L - 1 + 2

が成り立つ。したがって

$3+2(\lambda +\varepsilon )^{-1}h+6\lambda h+\varepsilon >2^{h/\delta }+2.$

この不等式は、主張どおり、

hが

N

に依存せず一様に有界であることを意味する。

すべての点

Δ(i) が

[Δ(0),Δ(

N

)]

から

h 1

以内にある場合、結果が導かれる。そうでない場合、

r

<

s

である最大部分集合

S

= {

r

, ...,

s

}

に入らない点。したがって、

[Δ(0),Δ(

N

)]の点には

、

距離

h

1以内の

S

の補集合に含まれる点

Δ(

i

)がある。しかし、

S

の補集合

=

S

1

∐

S

2

は、

S

1

= {0, ...,

r

- 1}

と

S

2

= {

s

+ 1, ...,

N

}

の非交和である。

[Δ(0),Δ(

N

)]

の連結性は、

i

<

r

かつ

j

>

s

である点

Δ(

i

)

と

Δ(

j

)から距離

h

1

以内にある線分内の点

x

が存在することを意味する。しかし、

d

(Δ(

i

),Δ(

j

)) < 2

h

1

なので、

|

i

-

j

| \leq 2λ

h

1

+ λεとなります。したがって、

S

内の

k

の点

Δ(

k

)は

、[Δ(0),Δ(

N

)]から

h

1

+ λ |

i

-

j

| + ε \leq

h

1

+ λ (2λ

h

1

+ λε) + ε \equiv

h

2

より小さい距離内にあります。

準測地線と準測地線への拡張

アダマール空間において、 $[a 1, b 1]$ と $[a 2, b 2]$ が 2 つの測地線分であり、中間点 $c 1 (t)$ と $c 2 (t)がそれらを$ $t :(1 - t)$ の比に分割する場合、 $d (c 1 (t), c 2 (t))は$ $t$ の凸関数であることを思い出してください。特に、 $Γ 1 (t)$ と $Γ 2 (t)$ が同じ点から始まる $[0, R]$ 上で定義された単位速度の測地線分である場合、

$d(\Gamma _{1}(t),\Gamma _{2}(t))\leq {t \over R}d(\Gamma _{1}(R),\Gamma _{2}(R)).$

特に、これは以下のことを意味します。

CAT(–1)空間 $X$ $において、 λ$ と $ε$ のみに依存する定数 $h > 0$ が存在し、任意の準測地線は測地線から有界なハウスドルフ距離 $h$ 以内にある。準測地線と測地線についても同様の結果が成り立つ。

$Γ(t)が定数$ $λ$ と $ε$ を持つ測地線である場合、 $Γ N (t)$ をセグメント $[Γ(0),Γ(N)]$ の単位速度測地線とする。上記の評価は、固定された $R > 0$ と十分に大きな $N$ $に対して、 (Γ N)が$ $C ([0, R], X)$ における均一計量を持つコーシー列であることを示している。したがって、 $Γ N は$ コンパクト上で一様に測地線 $γに収束し、$ $Γ$ とセグメント $Γ N$ の間のハウスドルフ距離の上限は、極限測地線 $γ$ にも適用される。準測地線に関する主張は、測地線セグメント $[Γ(-$ $N$ $),Γ($ $N$ $)]に対応する$ $Γ N を$ 取ることによって得られる。

エフレモビッチ・ティホミロワの定理

CAT(-1) 空間について議論する前に、このセクションでは、ポアンカレ計量を持つ単位円盤 $D$ に対するEfremovich–Tikhomirova の定理について説明します。この定理は、 $D$ の準等長写像が、ユークリッド計量を持つ単位円盤の準メビウス同相写像に拡張されることを主張しています。この定理は、より一般的な CAT(-1) 空間の理論の原型を形成します。彼らの元の定理は、Efremovich & Tikhomirova (1964)でやや一般的ではなく、精度も低い形で証明され、ポアンカレ計量を持つ単位円盤の双リプシッツ同相写像に適用されました。^[²⁶^]以前、日本の数学者森明は、死後出版された論文Mori (1957)で、円盤のすべての準等角同相写像がヘルダー連続であり、したがって単位円の同相写像に連続的に拡張されることを保証するタイヒミュラー理論内の関連結果を証明した(この拡張は準メビウス拡張であることが知られている)。^[²⁷^]

準等長変換の境界への拡張

$X$ がポアンカレ単位円盤、またはより一般的には CAT(-1) 空間である場合、準測地線の安定性に関するモースの補題は、 $X$ のすべての準等長写像が境界に一意に拡張されることを意味します。定義により、 $X$ の2 つの自己写像 $f 、 g$ $は、 sup$ $X$ $d$ $($ $f$ $($ $x$ $),$ $g$ $($ $x$ $)) < \infty の$ 場合に準同値であり、対応する点が互いに一様に有界な距離にあることを意味します。X の準等長写像 $f$ $1$ $は$ 、 $必ずしも$ $連続$ ではない $X$ の自己写像であり、 $f$ $1$ $\circ$ $f$ $2$ および $f$ $2$ $\circ$ $f$ 1 が適切な恒等写像と準同値であり、すべての $x$ $、$ $y$ ∈ $X$ および両方の写像に対して $λ \geq 1$ および $ε > 0 の$ 定数が存在するような準逆 $f 2を持ちます。$

$\lambda ^{-1}d(x,y)-\varepsilon \leq d(f_{k}(x),f_{k}(y))\leq \lambda d(x,y)+\varepsilon .$

準逆元は準同値を除いて一意であること、異なる可能性のある右準逆元と左準逆元を使用して同等の定義を与えることができるが、それらは必然的に準同値であること、準等長変換は合成に関して閉じており、その合成は準同値を除いて準同値類のみに依存すること、そして準同値を除いて準等長変換は群を形成することに注意する。^{[ 28 ]}

$X$ 内の点 $xを固定し、$ $x$ から始まる測地線 $γ$ が与えられたとき、準等長写像 $f$ による像 $f$ $\circ γ$ は準測地線です。モース・モストウの補題により、それは $x$ から始まる唯一の測地線 $δの有界距離内にあります。これにより、$ $f$ の準同値類とは無関係に、 $X$ の境界 $\partial$ $X$ 上に写像 $\partial$ $f$ が定義され、 $\partial($ $f$ $\circ$ $g$ $) = \partial$ $f$ $\circ \partial$ $g$ $となります。したがって、準等長写像群から\partial$ $X$ の自己写像群への準同型写像が存在します。

$\partial f$ が連続であることを確認するには、 $γ 1$ と $γ 2 が$ 距離 $η以内で$ $[0, R]$ 上で一様に近接する測地線である場合、 $f$ $\circ γ$ $1$ と $f$ $\circ γ$ $2$ $は[0,$ $R$ $]$ 上で距離 $λη + ε$ 以内にあるため、 $δ$ $1$ と $δ$ $2$ は距離 $λη + ε + 2$ $h$ $(λ,ε)以内にあることに注意します。したがって、より小さな区間$ $[0,$ $r$ $]$ 上では、凸性により、 $δ$ $1$ と $δ$ $2$ は距離 $($ $r$ $/$ $R$ $)\cdot[λη + ε + 2$ $h$ $(λ,ε)]$ 以内にあることになります。^[²⁹^]

CAT(-1)空間では、より細かい連続性により、 $\partial f$ $は、 \partial X$ 上の自然なクラスの計量、すなわち単位円上のユークリッド計量とメビウス群によるその変換を一般化した「視覚計量」に関して準メビウス写像であると主張される。これらの視覚計量はブーゼマン関数を用いて定義できる。^{[ 30 ]}

単位円盤の場合、タイヒミュラー理論によれば、準同型写像は円盤の準等角同相写像を円の準メビウス同相写像の群に写す（例えば、アールフォルス・ベウリング拡張やドゥアディ・アール拡張を用いる）ので、準等長群から準メビウス群への準同型写像は全射である。

反対方向には、準同型写像が単射であることを証明するのは簡単である。^{[ 31 ]} $f$ が単位円盤の準等長写像であり、 $\partial f が$ 恒等写像であると仮定する。仮定とモースの補題から、 $γ(R)$ が測地線であれば、 $f (γ(R))は$ $γ($ $R$ $)$ の $h$ 近傍にあることがわかる。ここで、 $δ$ と $γが$ $a$ の与えられた点で直交するように、2 番目の測地線 $δ$ を取る。すると、 $f$ $($ $a$ $)は$ $δ$ と $γ$ の $h$ 近傍の交点にある。メビウス変換を適用すると、 $a は$ 単位円盤の原点にあり、測地線は実軸と虚軸であると仮定できる。凸性により、これらの軸の $h$ 近傍は原点の $3$ $h近傍で交差します。z$ $が$ 両方の近傍にある場合、 $x$ と $y を$ $zの$ $x$ 軸と $y$ 軸への直交射影とします。すると $d$ $($ $z$ $,$ $x$ $) \leq$ $hとなり、$ $y$ 軸への射影を取ると $d$ $(0,$ $y$ $) \leq$ $h$ となります。したがって、 $d$ $($ $z$ $,0) \leq$ $d$ $($ $z$ $,$ $y$ $) +$ $d$ $($ $y$ $,0) \leq 2$ $h$ となります。したがって、 $d$ $($ $a$ $,$ $f$ $($ $a$ $)) \leq 2$ $h$ となり、主張どおり $f$ は恒等式とほぼ等価です。

交差比と交差しない測地線間の距離

単位円または実軸上の異なる2点 $z 、 w$ $に対して、それらを結ぶ双曲測地線[z 、 w]$ は一意に定まります。これは、単位円または実軸をその2点で直交する円（または直線）によって与えられます。拡張複素平面上の異なる4点 $a 、 b 、 c 、 d$ に対して、それらの交差比は次のように定義されます。

$(a,b;c,d)={(a-c)(b-d) \over (a-d)(b-c)}.$

$g$ が複素メビウス変換である場合、交差比は不変になります。 $(g (a), g (b); g (c), g (d)) = (a, b : c, d)$ 。メビウス群は点の 3 つに対して単純に推移的に作用するため、交差比は、メビウス変換 g に対して $g$ $($ $a$ $) = 0、$ $g$ $($ $b$ $) = 1、$ $g$ $($ $c$ $) = λ、$ $g$ $($ $d$ $) = \infty$ となる $C$ $\{0,1}$ の複素数 $z$ として記述することもできます $。$

交差比を定義する分子には $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ がすべて現れるため、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $dの順列の下での交差比の挙動を理解するには、$ $d を$ 固定する順列、つまり $a$ 、 $b$ 、 $c のみ$ を順列する順列を考慮すれば十分です。交差比は、 $λを$ $1 - λ$ および $λ$ $-1$ に送るメビウス変換によって生成される位数 6 の非調和群に従って変換されます。他の 3 つの変換は、 $λ$ を $1 - λ$ $-1$ 、 $λ(λ - 1)$ $-1$ 、および $(1 - λ)$ $-1$ に送ります。^[³²^]

ここで、 $a 、 b 、 c 、 d を$ 単位円または実軸上の点とし、この順序とする。すると、測地線 $[a 、 b]$ と $[c 、 d]$ は交わらず、これらの測地線間の距離は明確に定義される。すなわち、これら 2 つの測地線を直交する一意の測地線が存在し、その距離はそれらの間の測地線セグメントの長さで与えられる。これは明らかに実メビウス変換の下で不変である。交差比と測地線間の距離を比較するために、メビウス不変性により計算を対称構成に縮小できる。0 $< r < R$ の場合、 $a = - R 、 b = - r 、 c = r 、 d = R$ とする。すると $、λ = (a 、 b 、 c 、 d) = (R + r) 2 /4 rR = (t + 1) 2 /4 tとなる。ただし、$ $t = R / r > 1$ である。一方、測地線 $[a, d]$ と $[b, c]は、半径$ $r$ と $R$ の上半平面上の半円です。これらを直交する測地線は正の虚軸なので、それらの間の距離は $ir$ と $iRの間の双曲線距離$ $d (ir, iR) = log$ R $/$ $r$ $=$ $log$ $t$ です。s = log t とする $と、 λ$ = $cosh 2 (s /2)$ となり、定数 $C > 0$ が存在し、 $(a, b; c, d) > 1 の$ 場合、

$d([a,d];[b,c])-C\leq \log(a,b;c,d)\leq d([a,d];[b,c])+C,$

$log[cosh(x)/exp x)] = log (1 + exp(-2 x))/2は$ $x \geq 0$ で上下に有界であるため。 $a 、 b 、 c 、 d$ $が単位円の周りを並んでいるのは、 (a 、 b; c 、 d) > 1 の$ 場合のみであることに注意してください。

交差比のより一般的で正確な幾何学的解釈は、理想点を測地線に投影することによって与えることができ、円上の点の順序や測地線が交差するかどうかには依存しません。^{[ 33 ]}

$p$ と $qが、$ $c$ と $d$ から測地線 $ab$ への垂線の足である場合、 $d(p,q) = | log | (a,b;c,d) || と$ なります。

両辺はメビウス変換の下で不変であるため、 $a = 0$ 、 $b = \infty$ 、 $c = x$ 、 $d = 1$ の場合でこれを検証すれば十分です。この場合、測地線は正の虚軸であり、右辺は $| log | x ||$ に等しく、 $p = | x | i$ および $q = i$ です。したがって、左辺は $| log | x ||$ に等しくなります。pと $q$ $は、理想的な三角形$ $abc$ と $abdの内接円が$ $ab$ に接する点でもあることに注意してください。

定理の証明

円の同相写像 F は、定数 $a$ $、$ $b$ $>$ $0$ が存在して、

$\displaystyle {{|F(z_{1})-F(z_{2})| \over |F(z_{1})-F(z_{3})|}\leq a{|z_{1}-z_{2}|^{b} \over |z_{1}-z_{3}|^{b}}.}$

準メビウスとは、定数 $c 、 d > 0$ が存在し、

$\displaystyle {|(F(z_{1}),F(z_{2});F(z_{3}),F(z_{4}))|\leq c|(z_{1},z_{2};z_{3},z_{4})|^{d},}$

どこ

$\displaystyle {(z_{1},z_{2};z_{3},z_{4})={(z_{1}-z_{3})(z_{2}-z_{4}) \over (z_{2}-z_{3})(z_{1}-z_{4})}}$

は交差比を表します。

準対称および準メビウス同相写像は、反転および合成の操作に関して閉じていることは明らかである。

$F$ が準対称であれば、 $c = a 2$ および $d = b$ の準メビウス写像でもある。これは、最初の不等式を $(z 1, z 3, z 4)$ と $(z 2, z 4, z 3)$ に掛けることで導かれる。逆に、任意の準メビウス同相写像 $Fは準対称である。これを確認するには、まず$ $F$ (したがって $F -1$ ) がヘルダー連続であることをチェックすればよい。S $を$ 1 の立方根の集合とすると、 $S$ において $a \neq b$ であれば、 $|$ $a$ $-$ $b$ $| = 2 sin$ $π$ $/3 =$ $\sqrt$ $3$ $となる。ヘルダー推定を証明するには、 x$ $-$ $y$ が一様に小さいと仮定すればよい。すると、 $x$ と $y はどちらも$ $S$ 内の $a$ $、$ $b$ から一定の距離よりも離れており、 $a$ $\neq$ $b$ であるため、準メビウスの不等式を $x$ $、$ $a$ $、$ $y$ $、$ $bに適用することで推定値が得られます。F$ $が$ 準対称であることを検証するには、 $|$ $x$ $- z | = | x -$ $y$ $|$ が一様に小さいトリプルの場合に、 $| F ( x ) - F ( y ) | / | F ($ $x$ $)$ $-$ $F$ $($ $z$ $)$ $|$ $の$ $一様$ $な$ $上限$ $を$ $見つける$ $だけ$ $で$ $十分$ $です$ $。$ この場合、x 、y 、z から 1 より大きい距離に点 w があります $。$ $準$ メビウス $の$ 不等式 $を$ x $、$ w 、y 、z に適用すると $、$ 必要 $な$ 上限 $が$ 得 $られ$ ます。まとめると次のようになります。

円の同相写像は、準対称である場合に限り準メビウス写像となる。この場合、その写像とその逆写像はヘルダー連続である。準メビウス同相写像は合成に関して群を形成する。^{[ 34 ]}

定理を証明するには、 $F = \partial f$ の場合、単位円上の異なる点 $a$ $、$ $b$ $、$ $c$ $、$ $d$ に対して定数 $A 、 B > 0$ が存在し、次のようになることを証明すれば十分である^[³⁵^]

$\displaystyle {|(F(a),F(b);F(c),F(d))|\leq A|(a,b;c,d)|^{B}.}$

$F$ （およびその逆関数）が連続であることは既に確認済みです。必要に応じて $f$ 、そして $Fを複素共役で合成すると、$ $Fが$ 円の向きを保存するとさらに仮定できます。この場合、 $a 、 b 、 c 、 dが$ 円上に並んでいる場合、 $F$ による像も同様に並んでいます。したがって、 $(a 、 b 、 c 、 d)$ と $(F (a)、 F (b)、 F (c)、 F (d))$ はどちらも実数で1より大きい値になります。この場合

$(F(a),F(b);F(c),F(d))\leq A(a,b;c,d)^{B}.$

これを証明するには、 $log (F (a), F (b); F (c), F (d)) \leq B log (a, b; c, d) + C$ を示すだけで十分です。前のセクションから、 $d ([F (a), F (b)],[F (c), F (d)]) \leq P d ([a, b],[c, d]) + Q$ $を示すだけで十分です。これは、 [$ $a$ $,$ $b$ $]$ と $[$ $c$ $,$ $d$ $]$ の $f$ による像が $[$ $F$ $($ $a$ $),$ $F$ $($ $b$ $)]$ と $[$ $F$ $($ $c$ $),$ $F$ $($ $d$ $)]$ の $h$ 近傍内にあるという事実から導かれます。最小距離は、 $d$ $([$ $a$ $,$ $b$ $],[$ $c$ $,$ $d$ $])を実現する$ $[$ $a$ $,$ $b$ $]$ および $[$ $c$ $,$ $d$ $]$ 上の点に適用された $f$ の準等長定数を使用して推定できます。

$必要に応じてA$ と $B$ を調整すると、上記の不等式は $F -1$ にも適用される。a $、$ $b$ 、 $c$ 、 $dを$ $F$ によるそれらの像で置き換えると、次のようになる。

$A^{-1}|(a,b;c,d)|^{-B}\leq |(F(a),F(b);F(c),F(d))|\leq A|(a,b;c,d)|^{B}$

$a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ が単位円上に並んでいる場合。したがって、同じ不等式は、4 組 $a 、 b 、 c 、 d$ の 3 つの巡回に対して有効です。a と b を入れ替えると $、$ $交差$ 比は逆数に送られるため、0 から 1 の間に収まります。c と d を入れ替えた場合も同様です $。$ $両方$ のペアを入れ替えても、交差比は変わりません。したがって、この場合も不等式は有効です。最後に、 $b$ と $c$ を入れ替えると、交差比は $λから$ $λ -1 (λ - 1) = 1 - λ -1$ に変わり、0 から 1 の間に収まります。したがって、ここでも同じ不等式が有効です。これらの変換を使用すると、不等式が $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ のすべての可能な順列に対して有効であることが簡単に確認でき、F $と$ その逆が準メビウス同相写像になります。

CAT(-1)空間のブーゼマン関数と視覚的指標

ブーゼマン関数は、CAT(-1)空間のクラスにおける特別な視覚的計量を決定するために使用できます。これらは、測地線三角形の境界上の点間の距離が双曲上半平面の比較三角形、または同等にポアンカレ計量を持つ単位円盤以下であるような、完全な測地線計量空間です。単位円盤の場合、弦計量はブーゼマン関数 $B γ$ を使用して直接復元でき、円盤に関する特別な理論は、任意の適切な CAT(-1)空間 $X$ に完全に一般化されます。双曲上半平面は CAT(0) 空間です。双曲測地線三角形の長さは、ユークリッド比較三角形の長さよりも小さいからです。特に、CAT(-1) 空間は CAT(0) 空間なので、ブーゼマン関数とグロモフ境界の理論が適用されます。双曲円盤の理論から、特に、CAT(-1) 空間のすべての測地線は測地線に延長され、境界の 2 点が与えられたとき、これらの点を極限 $γ(\pm\infty)とする一意の測地線$ $γ$ が存在することが導かれる。この理論は、CAT(-1) 空間の計量を $κ$ $-1/2$ $でスケーリングすることによって生じるκ > 0の任意の CAT($ $-κ$ ) 空間にも同様に適用できる。双曲単位円盤 $D上では、$ $D$ の準等長変換が、関数的な方法で境界の準メビウス同相写像を誘導する。グロモフ双曲空間のより一般的な理論があり、同様の記述が成り立つが、境界の同相写像に対する制御はより不正確である。^[¹³^]^[¹⁴^]

例：ポアンカレ円盤

浸透理論への応用

最近では、ブーゼマン関数は、確率論者によって、最初の通過パーコレーション^{[ 36 ]}^{[ 37 ]}および方向性のある最後の通過パーコレーション^[³⁸^]のモデルにおける漸近特性を研究するために使用されています。

注記

↑ブーゼマン 1955年、 131ページ
↑ Bridson & Haefliger 1999 、p. 273
1 2 3 4ボールマン、グロモフ、シュローダー 1985
↑ Bridson & Haefliger 1999 、pp. 268–269
↑ルーリー 2010 、p. 13
1 2 Bridson & Haefliger 1999 、pp. 271–272
1 2 3 Bridson & Haefliger 1999 、pp. 271–272
↑ダルボ、ペニエ、サンブセッティ、2012 年、 94–96ページ
↑ Bridson & Haefliger 1999 、pp. 260–276
↑ボールマン1995、27-30頁
↑測地線正規座標では、計量 $g$ $($ $x$ $) = I + ε$ $‖$ $x$ $‖$ です。測地線の凸性により、 $pから$ $q$ への $測地線は半径r$ $= max$ $‖$ $p$ $‖$ $,$ $‖$ $q$ $‖$ の球内にあります。直線セグメントは、 $上記の形式のd$ $($ $p$ $,$ $q$ $)$ の上限推定値を与えます。同様の下限推定値を得るには、 $c$ $($ $t$ $)が$ $pから$ $q$ への滑らかな経路、 $L$ $($ $c$ $) \geq (1 - ε$ $r$ $) \cdot \int$ $‖$ $c$ $‖$ $dt$ $\geq (1 - ε$ $r$ $) \cdot$ $‖$ $p$ $-$ $q$ $‖であることに注目してください。（これらの不等式は、より正確な推定値$ $g$ $($ $x$ $) = I + ε$ $‖$ $x$ $‖$ $2$ を使用することで改善できることに注意してください）。
↑ 完備かつ局所コンパクトである距離空間 $X は$ 、必ずしも適切であるとは限らないことに注意してください。たとえば、距離 $d$ $($ $x$ $,$ $y$ $) = |$ $x$ $-$ $y$ $| /(1 + |$ $x$ $-$ $y$ $|)を持つ$ $R$ などです。一方、距離空間に関するHopf–Rinow の定理によれば、 $X$ が完備、局所コンパクトかつ測地的である場合（任意の 2 点 $x$ と $y が$ 弧長でパラメータ化された測地線で結ばれている場合）、 $X$ は適切です ( Bridson & Haefliger 1999 、pp. 35–36を参照)。実際、そうでない場合、 $X$ には点 $x$ と閉球 $K$ $=$ $B$ $($ $x$ $,$ $r$ $)$ が存在します。次に、仮定により、 $B$ $($ $x$ $,$ $R$ $)は各$ $R$ $>$ $r$ に対して非コンパクトであるため、対角線論法 $により、 d$ $($ $x$ $,$ $x$ $n$ $)$ が $r$ に減少する $が収束部分列を持たない数列($ $x$ $n$ $)$ が存在することが示されます。一方、 $x$ と $x$ $n$ を結ぶ測地線上に $y$ $n を$ 取り、 $d$ $($ $x$ $,$ $y$ $n$ $) =$ $rとすると、$ $K$ のコンパクト性から ( $y$ $n$ $)$ $、$ したがって $($ $x$ $n$ $)$ は収束部分列を持つことになり、矛盾が生じます。
1 2 3ブルドン 1995
1 2 3 Buyalo & Schroeder 2007
↑モストウ 1973
↑ロー 2003
↑ Buyalo & Schroeder 2007 、pp. 1–6
↑ Bridson & Haefliger 1999 、pp. 399–405
↑カポビッチ2001、51-52頁
↑モース 1924
↑ラトクリフ 2006、580 ～599ページ
↑カポビッチ 2001 、p.51
↑ラトクリフ 2006 、p. 583、補題4
↑ラトクリフ 2006、584–586頁、補題5–6
↑カポビッチ 2001 、p.52
↑双リプシッツ同相写像とは、自身とその逆写像がリプシッツ連続である写像のことである。
↑
参照：
- アールフォルス 1966
- レヒト 1987
↑
参照：
↑ Bridson & Haefliger 1999 、pp. 430–431
↑
参照：
↑ Roe 2003 、p. 113
↑ Beardon 1983 、pp. 75–78 $S$ $4$ から $S$ $3$ への自然な準同型が存在し、 $($ $a$ $,$ $b$ $)($ $c$ $,$ $d$ $)、($ $a$ $,$ $c$ $)($ $b$ $,$ $d$ $)$ 、 $($ $a$ $,$ $d$ $)($ $b$ $,$ $c$ $)$ に共役作用を及ぼすことに注意する。実際、これらの置換と恒等式は、自身の中心化群に等しい正規アーベル部分群を形成する。 $非自明な要素に対するS$ $4の共役作用により、$ $S$ $3$ への準同型が得られる。
↑
参照：
- ポーリン 1996
- ブヤロ＆シュローダー 2007
↑ヴァイサラ 1984
↑ブルドン 2009
↑ホフマン 2005
↑ダムロン＆ハンソン 2014
↑ゲオルギウ、ラソウル＝アガ、セッパライネン 2016

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[1] ブーゼマン 1955年、 131ページ

[2] Bridson & Haefliger 1999 、p. 273

[BGS-3] 1 2 3 4ボールマン、グロモフ、シュローダー 1985

[4] Bridson & Haefliger 1999 、pp. 268–269

[5] ルーリー 2010 、p. 13

[ReferenceA-6] 1 2 Bridson & Haefliger 1999 、pp. 271–272

[Bridson_1999_pages=271–272-7] 1 2 3 Bridson & Haefliger 1999 、pp. 271–272

[8] ダルボ、ペニエ、サンブセッティ、2012 年、 94–96ページ

[9] Bridson & Haefliger 1999 、pp. 260–276

[10] ボールマン1995、27-30頁

[11] 測地線正規座標では、計量 $g$ $($ $x$ $) = I + ε$ $‖$ $x$ $‖$ です。測地線の凸性により、 $pから$ $q$ への $測地線は半径r$ $= max$ $‖$ $p$ $‖$ $,$ $‖$ $q$ $‖$ の球内にあります。直線セグメントは、 $上記の形式のd$ $($ $p$ $,$ $q$ $)$ の上限推定値を与えます。同様の下限推定値を得るには、 $c$ $($ $t$ $)が$ $pから$ $q$ への滑らかな経路、 $L$ $($ $c$ $) \geq (1 - ε$ $r$ $) \cdot \int$ $‖$ $c$ $‖$ $dt$ $\geq (1 - ε$ $r$ $) \cdot$ $‖$ $p$ $-$ $q$ $‖であることに注目してください。（これらの不等式は、より正確な推定値$ $g$ $($ $x$ $) = I + ε$ $‖$ $x$ $‖$ $2$ を使用することで改善できることに注意してください）。

[12] 完備かつ局所コンパクトである距離空間 $X は$ 、必ずしも適切であるとは限らないことに注意してください。たとえば、距離 $d$ $($ $x$ $,$ $y$ $) = |$ $x$ $-$ $y$ $| /(1 + |$ $x$ $-$ $y$ $|)を持つ$ $R$ などです。一方、距離空間に関するHopf–Rinow の定理によれば、 $X$ が完備、局所コンパクトかつ測地的である場合（任意の 2 点 $x$ と $y が$ 弧長でパラメータ化された測地線で結ばれている場合）、 $X$ は適切です ( Bridson & Haefliger 1999 、pp. 35–36を参照)。実際、そうでない場合、 $X$ には点 $x$ と閉球 $K$ $=$ $B$ $($ $x$ $,$ $r$ $)$ が存在します。次に、仮定により、 $B$ $($ $x$ $,$ $R$ $)は各$ $R$ $>$ $r$ に対して非コンパクトであるため、対角線論法 $により、 d$ $($ $x$ $,$ $x$ $n$ $)$ が $r$ に減少する $が収束部分列を持たない数列($ $x$ $n$ $)$ が存在することが示されます。一方、 $x$ と $x$ $n$ を結ぶ測地線上に $y$ $n を$ 取り、 $d$ $($ $x$ $,$ $y$ $n$ $) =$ $rとすると、$ $K$ のコンパクト性から ( $y$ $n$ $)$ $、$ したがって $($ $x$ $n$ $)$ は収束部分列を持つことになり、矛盾が生じます。

[Bourdon_1995-13] 1 2 3ブルドン 1995

[Buyalo_2007-14] 1 2 3 Buyalo & Schroeder 2007

[15] モストウ 1973

[16] ロー 2003

[17] Buyalo & Schroeder 2007 、pp. 1–6

[18] Bridson & Haefliger 1999 、pp. 399–405

[19] カポビッチ2001、51-52頁

[20] モース 1924

[21] ラトクリフ 2006、580 ～599ページ

[22] カポビッチ 2001 、p.51

[23] ラトクリフ 2006 、p. 583、補題4

[24] ラトクリフ 2006、584–586頁、補題5–6

[25] カポビッチ 2001 、p.52

[26] 双リプシッツ同相写像とは、自身とその逆写像がリプシッツ連続である写像のことである。

[27] 参照：
アールフォルス 1966
レヒト 1987

[mwCI8] アールフォルス 1966

[mwCJE] レヒト 1987

[28] 参照：
ブルドン 1995
ブリドソン＆ヘフリガー 1999
ロー 2003
ブヤロ＆シュローダー 2007
ブルドン 2009

[mwCJc] ブルドン 1995

[mwCJk] ブリドソン＆ヘフリガー 1999

[mwCJw] ロー 2003

[mwCJ4] ブヤロ＆シュローダー 2007

[mwCKE] ブルドン 2009

[29] Bridson & Haefliger 1999 、pp. 430–431

[30] 参照：
ブルドン 1995
ブヤロ＆シュローダー 2007
ブルドン 2009

[mwCK8] ブルドン 1995

[mwCLE] ブヤロ＆シュローダー 2007

[mwCLQ] ブルドン 2009

[31] Roe 2003 、p. 113

[32] Beardon 1983 、pp. 75–78 $S$ $4$ から $S$ $3$ への自然な準同型が存在し、 $($ $a$ $,$ $b$ $)($ $c$ $,$ $d$ $)、($ $a$ $,$ $c$ $)($ $b$ $,$ $d$ $)$ 、 $($ $a$ $,$ $d$ $)($ $b$ $,$ $c$ $)$ に共役作用を及ぼすことに注意する。実際、これらの置換と恒等式は、自身の中心化群に等しい正規アーベル部分群を形成する。 $非自明な要素に対するS$ $4の共役作用により、$ $S$ $3$ への準同型が得られる。

[33] 参照：
ポーリン 1996
ブヤロ＆シュローダー 2007

[mwCOI] ポーリン 1996

[mwCOQ] ブヤロ＆シュローダー 2007

[34] ヴァイサラ 1984

[35] ブルドン 2009

[36] ホフマン 2005

[37] ダムロン＆ハンソン 2014

[38] ゲオルギウ、ラソウル＝アガ、セッパライネン 2016

[ 1 ]

[ 2 ]で与えられる。

[ 3 ]

4

[

[ 6 ]

[ 7 ]

8

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[ 12 ]

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[ 19 ]

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[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

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[ 30 ]

[ 31 ]

[

[ 33 ]

[ 34 ]

[

[ 36 ]

[ 37 ]

[

定義と基本的性質

例：ポアンカレ円盤

アダマール空間上のブーゼマン関数

アダマール空間の境界化

アダマール多様体上のブーゼマン関数

適切なアダマール空間のコンパクト化

ポアンカレ円盤、CAT(-1)空間、および双曲空間における準測地線

モース・モストウ補題

ポアンカレ円盤の古典的な証明

グロモフによるポアンカレ円盤の証明

準測地線と準測地線への拡張

エフレモビッチ・ティホミロワの定理

準等長変換の境界への拡張

交差比と交差しない測地線間の距離

定理の証明

CAT(-1)空間のブーゼマン関数と視覚的指標

例：ポアンカレ円盤

浸透理論への応用

注記

参考文献

関連するトピック

幾何トポロジー

アダマール空間

アダマール多様体

単連結