グロモフ境界

数学において、δ 双曲空間（特に双曲群）のグロモフ境界は、双曲空間の境界球面を一般化した抽象概念です。概念的には、グロモフ境界は無限遠にあるすべての点の集合です。たとえば、実数直線のグロモフ境界は、正の無限大と負の無限大に対応する 2 つの点です。

測地線と真δ双曲空間のグロモフ境界には、同値な定義がいくつかある。最も一般的な定義の1つは、測地線の同値類を使用するものである。^[1]

双曲距離空間の任意の点を原点として選択します。測地線は等長変換によって与えられた経路であり、各線分はからまでの最短の長さの経路です。 ${\displaystyle O}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \gamma :[0,\infty )\rightarrow X}$${\displaystyle \gamma ([0,t])}$${\displaystyle O}$${\displaystyle \gamma (t)}$

2 つの測地線は、すべての に対してとなる定数が存在する場合に、同等であると定義されます。の同値類は と表されます。 ${\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle d(\gamma _{1}(t),\gamma _{2}(t))\leq K}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle [\gamma ]}$

測地線および真双曲距離空間のグロモフ境界は、内の測地線である集合です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle \partial X=\{[\gamma ]|\gamma }$${\displaystyle X\}}$

3 点のグロモフ積を使用すると便利です。距離空間における 3 点のグロモフ積は です。木 (グラフ理論)では、これはから までが分岐する前に一緒にいる時間の長さを測定します。双曲空間は木のようなので、グロモフ積はからまでが分岐する前に一緒にいる時間の長さを測定します。 ${\displaystyle x,y,z}$${\displaystyle (x,y)_{z}=1/2(d(x,z)+d(y,z)-d(x,y))}$${\displaystyle z}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

グロモフ境界内の点が与えられたとき、およびを持つ測地線が存在する集合を定義します。これらの開集合は、グロモフ境界の位相の 基礎を形成します。${\displaystyle p}$${\displaystyle V(p,r)=\{q\in \partial X|}$${\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2}}$${\displaystyle [\gamma _{1}]=p,[\gamma _{2}]=q}$${\displaystyle \lim \inf _{s,t\rightarrow \infty }(\gamma _{1}(s),\gamma _{2}(t))_{O}\geq r\}}$

これらの開集合は、1 つの固定された測地線をある距離までたどってから発散する測地線の集合です。 ${\displaystyle r}$

この位相により、グロモフ境界はコンパクトな 距離化可能な空間になります。

双曲群の端の数はグロモフ境界の 成分の数です。

グロモフ境界は準等長不変量である。つまり、2つのグロモフ双曲距離空間が準等長である場合、それらの間の準等長はそれらの境界間の同相写像を誘導する。 ^{[2] [3]}これは、コンパクト空間の同相写像は空間の準等長写像よりもはるかに理解しやすいため重要である。

この不変性により、グロモフ双曲群のグロモフ境界を定義することができます。 がそのような群である場合、そのグロモフ境界は、定義により、 が適切に不連続かつココンパクトに作用する任意の適切な測地線空間の境界になります(たとえば、そのケイリー グラフ)。 これは、準等長変換に対する不変性とミルノア-シュワルツの補題によって位相空間として明確に定義されます。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

• 次数d≥3の正則木のグロモフ境界はカントール空間です。
• 双曲型n空間のグロモフ境界は(n-1)次元球面である。
• コンパクトな双曲型リーマン面の基本群のグロモフ境界は単位円です。
• ほとんどの双曲群のグロモフ境界はメンガースポンジである。^[4]

完全な CAT(0) 空間 Xの場合、 Xの視覚的境界は、δ 双曲空間のグロモフ境界と同様に、漸近測地線の同値類から構成されます。ただし、グロモフ積を使用してその上の位相を定義することはできません。たとえば、平面の場合、反対方向に向かわない点から発する 2 つの測地線は、その点に関して無限のグロモフ積を持ちます。視覚的境界には、代わりに円錐位相が与えられます。 X内の点o を固定します。任意の境界点は、 oから発する一意の測地線で表すことができます。 oから発する光線と、正の数t > 0 およびr > 0 が与えられた場合、境界点の近傍基数は、次の形式の集合によって与えられます。 ${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle [\gamma ]}$

${\displaystyle U(\gamma ,t,r)=\{[\gamma _{1}]\in \partial X|\gamma _{1}(0)=o,d(\gamma _{1}(t),\gamma (t))<r\}.}$

上記で定義した円錐トポロジーはoの選択とは無関係です。

Xが適切な場合、円錐位相との視覚境界はコンパクトです。XがCAT(0)であり、かつ適切な測地線δ双曲空間である場合、円錐位相はグロモフ境界の位相と一致する。^[5]

キャノンの予想は、無限遠に2次元球面を持つ群の分類に関するものである。

キャノンの予想:無限遠2次元球面を持つすべてのグロモフ 双曲群は、 3次元双曲空間に幾何学的に作用する。^[6]

この予想の類似は、1 次元球面に対しては真であり、2 次元より大きいすべての次元の球面に対しては偽であることが知られています。

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