グロモフ・ハウスドルフ収束

数学において、ミハイル・グロモフとフェリックス・ハウスドルフにちなんで名付けられたグロモフ・ハウスドルフ収束は、ハウスドルフ距離の一般化である距離空間の収束の概念です。

グロモフ・ハウスドルフ距離は 1975 年にデイビッド・エドワーズによって導入され、^{[1] [2]}その後1981 年にミハイル・グロモフによって再発見され一般化されました。 ^{[3] [4]この距離は、2 つの}コンパクトな距離空間が等長からどれだけ離れているかを測定します。XとY が2 つのコンパクトな距離空間である場合、d _GH ( X , Y ) は、すべての (コンパクトな) 距離空間Mとすべての等長埋め込みf  :  X  →  Mおよびg  :  Y  →  Mに対するすべての数d _H ( f ( X ), g ( Y )) の最小値として定義されます。ここでd _{H は}M内の部分集合間のハウスドルフ距離を表し、等長埋め込みは大域的な意味で理解されます。つまり、無限小距離だけでなくすべての距離を保存する必要があります。たとえば、コンパクトなリーマン多様体は、同じ次元の ユークリッド空間へのそのような埋め込みを許容しません。

グロモフ・ハウスドルフ距離は、コンパクト距離空間のすべての等長類の集合をグロモフ・ハウスドルフ空間と呼ばれる距離空間に変換し、したがって、コンパクト距離空間の列の収束の概念を定義します。これはグロモフ・ハウスドルフ収束と呼ばれます。このような列が収束する距離空間は、列のグロモフ・ハウスドルフ極限と呼ばれます。

グロモフ・ハウスドルフ空間は経路連結、完備、可分である。^[5]また、測地線で もある。すなわち、その空間の任意の2点は、最小化する測地線の端点である。^{[6] [7]} 大域的な意味では、グロモフ・ハウスドルフ空間は完全に異質である。すなわち、その等長変換群は自明であるが、^[8]局所的には多くの非自明な等長変換が存在している。^[9]

尖ったグロモフ・ハウスドルフ収束は、非コンパクト空間に適したグロモフ・ハウスドルフ収束の類似物である。尖った計量空間は、計量空間XとX内の点pからなるペア ( X、p ) である。尖った計量空間の列 ( X _n、 p _n ) が尖った計量空間 ( Y、  p ) に収束するとは、各R > 0 に対して、 X _n内のp _nの周りの閉じたR球 の列が、通常のグロモフ・ハウスドルフの意味でY内のp の周りの閉じたR球に収束する場合である。^[10]

グロモフ・ハウスドルフ収束の概念は、多項式増加を伴う任意の離散群が実質的に冪零である（つまり、有限指数の冪零部分群を含む）ことを証明するためにグロモフによって使用されました。多項式増加の群に関するグロモフの定理を参照してください。（以前の研究については D. Edwards も参照してください。）証明の重要な要素は、 多項式増加を伴う群のケーリー グラフに対して、一連の再スケーリングが先の尖ったグロモフ・ハウスドルフの意味で収束するという観察でした。

リーマン幾何学におけるもう一つの単純かつ非常に有用な結果はグロモフのコンパクト性定理であり、これはリッチ曲率 ≥  cかつ直径 ≤  Dであるリーマン多様体の集合がグロモフ・ハウスドルフ計量において相対的にコンパクトであることを述べている。極限空間は計量空間である。長さ空間に関する追加の性質はチーガーとコールディングによって証明されている。^[11]

グロモフ・ハウスドルフ距離計量は、コンピュータグラフィックスや計算幾何学の分野で、異なる形状間の対応関係を見つけるために応用されてきた。^{[12]また、ロボット工学における}動作計画の問題にも応用されている。^[13]

グロモフ・ハウスドルフ距離は、ソルマニによって宇宙論におけるフリードマン模型の安定性を証明するために使われてきました。この宇宙論モデルは、計量の滑らかな変化に対しては安定ではありません。^[14]

特殊なケースでは、グロモフ-ハウスドルフ限界の概念は大偏差理論と密接に関連している。^[15]

• 本質的な平面距離

• M. Gromov.リーマン空間と非リーマン空間の計量構造、Birkhäuser (1999)。ISBN 0-8176-3898-9 (追加コンテンツを含む翻訳)。