本物の木

数学において、実木（-木とも呼ばれる）は、単体木を一般化した距離空間の一種である。実木は、特に幾何群論や確率論など、多くの数学的文脈で自然に現れる。また、グロモフ双曲空間の最も単純な例でもある。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$

距離空間は、すべての三角形が三脚である測地線空間である場合、実木です。つまり、すべての 3 つの点に対して、測地線分が線分で交差し、 でもあるような点が存在します。この定義は、グロモフの意味での「ゼロ双曲空間」であることに相当します (すべての三角形は「ゼロ薄」です)。実木は、位相的性質によって特徴付けることもできます。距離空間が実木であるとは、任意の 2 つの点に対して、への線分の位相的埋め込みがすべて同じ像を持つ場合です(その場合、から への測地線分になります)。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle x,y,\rho \in X}$${\displaystyle c=x\wedge y}$${\displaystyle [\rho ,x],[\rho ,y]}$${\displaystyle [\rho ,c]}$${\displaystyle c\in [x,y]}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \sigma (0)=x,\,\sigma (1)=y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

• が組合せ計量を持つ連結グラフである場合、それが木であるとき（つまり、閉路を持たないとき）に限り、それは実木です。このような木はしばしば単体木と呼ばれます。これらは、次の位相的性質によって特徴付けられます。実木が単体であるためには、 の特異点の集合（ における補集合に3つ以上の連結成分がある点）が において閉じており、離散的である必要があります。${\displaystyle X}$${\displaystyle T}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$
• 以下の方法で得られる -tree は非単体です。区間 [0, 2] から始めて、各正の整数nに対して、長さ 1/ nの区間を元の区間の点 1 − 1/ nに接着します。特異点の集合は離散的ですが、この -tree では 1 が通常の点であるため閉じられません。区間を 1 に接着すると、離散性が犠牲になって特異点の閉じた集合になります。${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• パリ距離は平面を実際の木にします。これは次のように定義されます。原点 を固定し、2 つの点が からの同じ光線上にある場合、それらの距離はユークリッド距離として定義されます。そうでない場合、それらの距離は、これら 2 つの点から原点までのユークリッド距離の合計として定義されます。${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$
• パリ計量の下の平面は、共通の端点で結合された線分の集合であるハリネズミ空間の例です。このような空間はどれも実際の木です。

定義として使用できる実際の木の同等の特徴は次のとおりです。

1) (グラフとしての木と同様)実木は円に同相な部分集合を含まない測地 距離空間である。 ^[1]

2) 実木は4点条件^[2]を満たす連結距離空間である（図参照）。 ${\displaystyle (X,d)}$

全てのために。${\displaystyle x,y,z,t\in X,}$ ${\displaystyle d(x,y)+d(z,t)\leq \max[d(x,z)+d(y,t)\,;\,d(x,t)+d(y,z)]}$

3) 実木は連結な0双曲距離空間である^[3]（図参照）。正式には、

全ての${\displaystyle x,y,z,t\in X,}$ ${\displaystyle (x,y)_{t}\geq \min[(x,z)_{t}\,;\,(y,z)_{t}],}$

ここで はとのグロモフ積を表し、すなわち、${\displaystyle (x,y)_{t}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}\left(d(x,t)+d(y,t)-d(x,y)\right).}$

4) (等高線過程による平面木の特徴付けに類似)。関数の正の偏移を考えます。言い換えると、が連続実数値関数であり、に対してかつとなる区間であるとします。 ${\displaystyle e}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle e(a)=e(b)=0}$${\displaystyle e(t)>0}$${\displaystyle t\in ]a,b[}$

、に対して、擬似距離関係と同値関係を次のように定義します。 ${\displaystyle x,y\in [a,b]}$${\displaystyle x\leq y}$

${\displaystyle d_{e}(x,y):=e(x)+e(y)-2\min(e(z)\,;z\in [x,y]),}$

${\displaystyle x\sim _{e}y\Leftrightarrow d_{e}(x,y)=0.}$

すると、商空間は 実木になります。^[3] 直感的には、エクスカーションeの極小値は極大値の親です。エクスカーションから実木を構築する別の視覚的な方法は、 eの曲線の下に「接着剤を置き」、この曲線を「曲げて」、接着された点を特定することです（アニメーションを参照）。 ${\displaystyle ([a,b]/\sim _{e}\,,\,d_{e})}$

実際のツリーは、さまざまな状況で、より古典的な距離空間の限界として現れることがよくあります。

ブラウン木[ ^4]は、その値がほぼ確実に（非単体の）実木となる確率過程である。ブラウン木は、有限木上のさまざまなランダム過程の極限として生じる。^[5]

を持つ-双曲空間の列の任意の極限は実木です。特に、任意の双曲空間の 漸近錐は実木です。${\displaystyle (X_{i})}$${\displaystyle \delta_{i}}$${\displaystyle \delta _{i}\to 0}$

を群とする。基底付き-空間の列に対して、 M. BestvinaとF. Paulinによる基底付き-空間への収束の概念が存在する。空間が双曲的で作用が無制限である場合、極限は（存在する場合）実数木である。^[6]${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle (X_{i},*_{i},\rho_{i})}$${\displaystyle G}$${\displaystyle (X_{\infty },x_{\infty },\rho _{\infty })}$

簡単な例は、がコンパクト曲面であり、の普遍被覆が計量（ は上の固定された双曲計量）で構成されている場合に得られます。 ${\displaystyle G=\pi _{1}(S)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle i\rho }$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle S}$

これは、実木に対する双曲群の作用を生成するのに役立ちます。このような作用は、いわゆるRipsマシンを使用して分析されます。特に興味深いのは、実双曲空間上で適切に不連続に作用する群の退化の研究です（これはRips、Bestvina、Paulinの研究に先立ち、J. MorganとP. Shalen ^[7]によるものです）。

が超距離的付値を持つ体である場合、のBruhat–Tits 構築は実木です。 付値が離散的である場合に限り、それは単体です。 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(F)}$

が全順序アーベル群である場合、に値を持つ距離の自然な概念が存在する（古典的な距離空間は に対応する）。 の場合には単体木を復元し、 の場合には実木を復元する-木の概念^[8]が存在する。 -木に自由に作用する有限生成群の構造が説明された。^[9]特に、そのような群は何らかの -木に自由に作用する。 ${\displaystyle \Lambda}$${\displaystyle \Lambda}$${\displaystyle \Lambda =\mathbb {R} }$${\displaystyle \Lambda}$${\displaystyle \Lambda =\mathbb {Z} }$${\displaystyle \Lambda =\mathbb {R} }$${\displaystyle \Lambda}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

建物の公理は、実際の建物の定義を与えるために一般化することができます。これらは、たとえば、高階対称空間の漸近錐として、または値体上の高階群の Bruhat-Tits 建物として生じます。

• デンドロイド（トポロジー）
• 樹木を植えた空間