コンパクト化（数学）

数学、特に位相幾何学において、コンパクト化とは、位相空間をコンパクト空間にする過程または結果のことである。^{[ 1 ]}コンパクト空間とは、空間のすべての開被覆が有限部分被覆を含む空間である。コンパクト化の方法は様々であるが、いずれも何らかの方法で「無限遠点」を追加したり、そのような「脱出」を防いだりすることによって、点が「無限遠に逃げる」のを防ぐ方法である。

通常の位相を持つ実数直線を考えてみましょう。この空間はコンパクトではありません。つまり、点が左または右に無限遠まで伸びてしまう可能性があります。実数直線に「無限遠点」を1つ追加することで、実数直線をコンパクト空間にすることができます。この無限遠点を ∞ とします。結果として得られるコンパクト化は、平面上の円（ユークリッド平面の閉じた有界部分集合であるため、コンパクトです）と同相です。実数直線で無限遠まで伸びていたすべての数列は、このコンパクト化では ∞ に収束します。数直線上で数が無限遠に近づく方向（負の方向または正の方向）は、円上でも保持されます。数直線上で数が負の方向から無限遠に近づく場合、円上の対応する点は、例えば左から ∞ に近づくことができます。同様に、数直線上で数が正の方向から無限遠に近づく場合、円上の対応する点は右から ∞ に近づくことができます。

直感的に言えば、このプロセスは次のようにイメージできます。まず、実数直線をx軸上の開区間(−π , π )に縮小します。次に、この区間の両端を上向き(正のy方向)に曲げ、互いに近づけていき、1点(最上部の点)が欠けた円を作ります。この点が新しい点∞「無限遠点」です。この点を加えることで、コンパクトな円が完成します。

もう少し厳密に言うと、単位円上の点を、ラジアン単位の角度で表します。簡単にするために、角度は−πからπまでとします。円上の各点θを、実数直線tan ( θ /2 ) 上の対応する点と同一視します。tan( π /2) は定義されていないため、この関数は点πでは定義されていません。この点を点 ∞ と同一視します。 

接線と逆接線はどちらも連続であるため、我々の識別関数は実数直線と∞を含まない単位円との間の同相写像である。我々が構築したものは、実数直線のアレクサンドロフ一点コンパクト化と呼ばれ、以下でより一般的に議論される。また、+∞と−∞の2点を追加することによって実数直線をコンパクト化することも可能である。これにより、拡張実数直線が得られる。

位相空間Xをコンパクト空間の稠密部分集合として埋め込むことを、 Xのコンパクト化と呼ぶ。コンパクト空間は特別な性質を持つため、位相空間をコンパクト空間に埋め込むことはしばしば有用である。

コンパクトハウスドルフ空間への埋め込みは特に興味深いかもしれません。すべてのコンパクトハウスドルフ空間はチコノフ空間であり、チコノフ空間のすべての部分空間はチコノフ空間であるため、ハウスドルフコンパクト化を持つ空間はすべてチコノフ空間でなければならないと結論付けられます。実際、その逆もまた真です。チコノフ空間であることは、ハウスドルフコンパクト化を持つための必要十分条件です。

大規模で興味深い非コンパクト空間のクラスが実際に特定の種類のコンパクト化を持つという事実は、コンパクト化が位相幾何学において一般的な手法となっている理由である。

実射影空間RP ^{n は}、ユークリッド空間R ⁿのコンパクト化です。R ⁿ内の点が「脱出」できる可能性のある各「方向」ごとに、無限遠に新しい点が 1 つ追加されます (ただし、各方向は反対方向と同一視されます)。上記の例で構築したRのアレクサンドロフ一点コンパクト化は、実際にはRP ¹と同相です。ただし、射影平面RP ^{2は、複数の点が追加されるため、平面}R ²の一点コンパクト化ではないことに注意してください。

複素射影空間CP ⁿはC ⁿのコンパクト化でもあります 。平面Cのアレクサンドロフ一点コンパクト化は、複素射影直線CP ¹と同相であり、これはさらに球面、すなわちリーマン球面と同一視できます。

射影空間への移行は代数幾何学においてよく用いられる手法である。なぜなら、無限遠点が加わることで多くの定理がより簡潔に定式化されるからである。例えば、RP ^{2では任意の異なる 2 つの直線はちょうど 1 点で交わるが、これは}R ²では成り立たない。より一般的には、交差理論の基本となるベズーの定理は射影空間では成り立つが、アフィン空間では成り立たない。アフィン空間と射影空間における交差のこのような異なる振る舞いは、コホモロジー環における代数トポロジーに反映される。アフィン空間のコホモロジーは自明であるのに対し、射影空間のコホモロジーは非自明であり、交差理論の重要な特徴 (部分多様体の次元と次数、交差はカップ積のポアンカレ双対) を反映している。

モジュライ空間のコンパクト化には、一般的に特定の退化（例えば、特定の特異点や可約多様体）を許容することが必要となる。これは、代数曲線のモジュライ空間のドリーニュ・マンフォードコンパクト化において特に用いられている。

リー群の離散部分群の研究において、剰余類の商空間は、位相的なレベルだけでなく、より豊かなレベルで構造を保持するための、より繊細なコンパクト化の候補となることが多い。

例えば、モジュラー曲線は、各尖点に一点を追加することでコンパクト化され、リーマン面（そしてコンパクトな代数曲線）になります。ここで尖点が存在するのには正当な理由があります。曲線は格子空間をパラメータ化し、これらの格子は退化（「無限遠へ向かう」）することがあり、多くの場合、いくつかの方法で退化します（レベルの補助的な構造を考慮に入れると）。尖点は、これらの異なる「無限遠への方向」を表しています。

以上が平面格子に関する説明です。n次元ユークリッド空間でも同様の疑問が提起できます。例えば、${\displaystyle {\text{SO}}(n)\setminus {\text{SL}}_{n}({\textbf {R}})/{\text{SL}}_{n}({\textbf {Z}})。}$これはコンパクト化するのが難しい。ボレル・セールコンパクト化、還元ボレル・セールコンパクト化、佐竹コンパクト化など、さまざまなコンパクト化が可能だ。

• 空間の端と素端の理論。
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