共役点

微分幾何学において、共役点または焦点^{[1] [2]は、おおよそ、1 パラメータの}測地線族によってほぼ結ばれる点である。例えば、球面上では、北極と南極は任意の子午線によって結ばれる。別の見方では、共役点は測地線が長さを最小化できない場合を示す。すべての測地線は局所的には長さを最小化するが、大域的にはそうではない。例えば、球面上では、北極を通る測地線は南極まで延長できるため、両極を結ぶ測地線は（一意に）大域的には長さを最小化しない。これは、標準的な 2 次元球面上の任意の反対称点のペアが共役点であることを意味する。^[3]

pとq が擬似リーマン多様体上の点であり、がpとq を結ぶ測地線で あるとします。このとき、pとqで消滅する に非ゼロのヤコビ体が存在する場合、 pとqは に沿う共役点となります。 ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \gamma }$

任意のヤコビ体は測地線変分 の微分として表すことができることを思い出してください (ヤコビ体に関する記事を参照)。したがって、pとq がに沿って共役である場合、 pで始まりqでほぼ終わる測地線の族を構築できます。特に、 がsにおける微分がヤコビ体J を生成する測地線の族である場合、変分、つまり の終点は、 sにおける第 1 次まで点qです。したがって、2 つの点が共役である場合、それらを結ぶ 2 つの異なる測地線が存在する必要はありません。 ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \gamma _{s}(t)}$${\displaystyle s=0}$${\displaystyle \gamma _{s}(1)}$

リーマン幾何学では、共役点を超えると、近くにもっと短い経路が存在するため、測地線は局所的には点間の最短経路ではなくなります。これは、大円に沿った 2 点間の測地線が対蹠点までの最短経路である地球の表面と似ています。対蹠点を超えると、もっと短い経路が存在します。

共役点を超えると、ロレンツ幾何学の測地線は固有時間を最大化しない可能性があり (時間的測地線の場合)、測地線は一意でなくなったり明確に定義されなくなったりする領域に入る可能性があります。ヌル測地線の場合、共役点を超える点は時間的に分離されます。

最初の共役点までは、2 点間の測地線は 1 つだけです。これを超えると、2 点を結ぶ測地線が複数存在することがあります。

測地線合同を持つローレンツ多様体があるとします。すると、共役点において、レイショードゥリ方程式の展開パラメータ θ は、有限の固有時間内に負の無限大になり、測地線が一点に集中していることを示します。これは、合同の断面積がゼロになるため、この面積の変化率 (θ が表すもの) が負に発散するためです。

• 球面${\displaystyle S^{2}}$上では、対心点は共役です。
• 実座標空間 には共役点は存在しません。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• 断面曲率が正でないリーマン多様体には共役点は存在しません。

• カット軌跡
• ヤコビ体
• オーロラ § 共役オーロラ
• アーガス作戦 § USS アルベマール