完全なマニホールド

数学において、完全多様体（または測地完全多様体）M は、任意の点pから始まり、すべての方向に無限に延びる直線が存在する （擬似）リーマン多様体です。

正式には、任意の極大測地線に対してが成り立つとき、多様体は（測地的に）完全である。^[1]測地線は、その定義域を拡張できない場合に 極大である。${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \ell :I\to M}$${\displaystyle I=(-\infty ,\infty )}$

同様に、が（測地的に）完全であるとは、 のすべての点 に対して、における指数写像がにおける接空間全体上で定義されている場合である。^[1]${\displaystyle M}$${\displaystyle p\in M}$${\displaystyle p}$${\displaystyle T_{p}M}$${\displaystyle p}$

ホップ・リノウの定理は、完全性の別の特徴付けを与える。を連結リーマン多様体とし、 をそのリーマン距離関数とする。 ${\displaystyle (M,g)}$${\displaystyle d_{g}:M\times M\to [0,\infty )}$

ホップ・リノウ定理は、が（測地的に）完全であるためには、次の同値な条件のうち1つを満たす必要があることを述べている：^[2]${\displaystyle (M,g)}$

• 距離空間は完備である（すべてのコーシー列は収束する）、${\displaystyle (M,d_{g})}$${\displaystyle d_{g}}$
• のすべての閉じた有界部分集合はコンパクトです。${\displaystyle M}$

ユークリッド空間 、球面、トーラス（自然なリーマン計量を持つ）はすべて完全多様体です。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}$

すべてのコンパクトリーマン多様体とすべての同次多様体は測地完全です。すべての対称空間は測地完全です。

非完全多様体の簡単な例として、穴あき平面（誘導計量付き）が挙げられます。原点に向かう測地線は実数直線全体では定義できません。ホップ・リノウの定理により、代わりにそれが完全計量空間ではないことが分かります。つまり、原点に収束する平面内の任意のシーケンスは、穴あき平面内の非収束コーシーシーケンスです。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\smallsetminus \lbrace 0\rbrace }$

測地的に完全ではないコンパクト擬リーマン多様体（リーマン多様体ではない）が存在します。その一例はクリフトン・ポール・トーラスです。

擬似リーマン幾何学で重力を記述する一般相対性理論では、回転しない無荷電ブラックホールやビッグバン宇宙論など、測地的に不完全な空間の重要な例が数多く登場する。このような不完全性が一般相対性理論でかなり一般的であるという事実は、ペンローズ-ホーキング特異点定理に示されている。

が測地完備である場合、それは他のいかなるリーマン多様体の開いた真部分多様体とも等長ではない。逆は成り立たない。^[3]${\displaystyle M}$

• ド・カルモ、マンフレド・ペルディゴン（1992）、リーマン幾何学、数学：理論と応用、ボストン：ビルクハウザー、pp. xvi+300、ISBN 0-8176-3490-8

• Lee, John (2018).リーマン多様体入門. 数学大学院テキスト. Springer International Publishing AG.

• オニール、バレット (1983)。半リーマン幾何学。アカデミック プレス。第 3 章。ISBN 0-12-526740-1。