リーマン部分多様体

リーマン多様体のリーマン部分多様体 は、 から継承されたリーマン計量を備えたの部分多様体です。 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

具体的には、がリーマン多様体（境界ありまたはなし）であり、 がはめ込み部分多様体または埋め込み部分多様体（境界ありまたはなし）である場合、の引き戻しは上のリーマン計量であり、のリーマン部分多様体であると言われる。一方、 がすでにリーマン計量 を持つ場合、 が等長はめ込み（または埋め込み）であるとき、は等長はめ込み（または等長埋め込み）と呼ばれる。したがって、等長はめ込みと等長埋め込みはリーマン部分多様体である。^{[1] [2]}${\displaystyle (M,g)}$${\displaystyle i:N\to M}$ ${\displaystyle i^{*}g}$${\displaystyle g}$${\displaystyle N}$${\displaystyle (N,i^{*}g)}$${\displaystyle (M,g)}$${\displaystyle N}$${\displaystyle {\tilde {g}}}$${\displaystyle i:N\to M}$${\displaystyle {\tilde {g}}=i^{*}g}$

たとえば、n 次元球面は、 内の点を上位集合 内の対応する点に写す包含写像を介した の埋め込みリーマン部分多様体です。 上の誘導計量はラウンド計量と呼ばれます。 ${\displaystyle S^{n}=\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}:\lVert x\rVert =1\}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$${\displaystyle S^{n}\hookrightarrow \mathbb {R} ^{n+1}}$${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$${\displaystyle S^{n}}$