ほぼ平坦な多様体

数学において、滑らかなコンパクト 多様体 M は、任意の に対してM上のリーマン計量が存在し、かつ が -平坦であるとき、すなわちの断面曲率に対して であるとき、ほぼ平坦と呼ばれます。 ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle g_{\varepsilon }}$${\displaystyle {\mbox{diam}}(M,g_{\varepsilon })\leq 1}$${\displaystyle g_{\varepsilon }}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle K_{g_{\varepsilon }}}$${\displaystyle |K_{g_{\epsilon }}|<\varepsilon }$

nが与えられると、正の数が存在し、 n次元多様体が直径を持つ -平坦計量を許容する場合、それはほぼ平坦です。一方、断面曲率の境界を固定して直径をゼロにすることができるため、ほぼ平坦な多様体は、すべての方向に沿って崩壊する崩壊多様体の特殊なケースです。 ${\displaystyle \varepsilon _{n}>0}$${\displaystyle \varepsilon _{n}}$${\displaystyle \leq 1}$

グロモフ・ルーの定理によれば、Mがほぼ平坦であるためには、それがインフラニルである必要があります。特に、それはニル多様体 の有限因子であり、ニル多様体とは、トーラス上の主トーラスバンドル上の主トーラスバンドルの全空間です。

• ヘルマン・ケルヒャー。M. グロモフのほぼ平らな多様体についてのレポート。ブルバキセミナー (1978/79)、Exp. No. 526、21 ～ 35 ページ、数学の講義ノート、770、シュプリンガー、ベルリン、1980 年。
• ピーター・ブザーとヘルマン・ケルヒャー。グロモフのほぼ平らな多様体。 Astérisque、81。フランス数学協会、パリ、1​​981 年。148 ページ。
• Peter Buser と Hermann Karcher。Gromovのほぼ平坦な多様体定理における Bieberbach の場合。Global Differential Geometry and Global Analysis (Berlin, 1979)、pp. 82–93、Lecture Notes in Math.、838、Springer、Berlin-New York、1981。
• グロモフ、M. (1978)、「ほぼ平坦な多様体」、微分幾何学ジャーナル、13 (2): 231–241、doi : 10.4310/jdg/1214434488、MR  0540942。
• Ruh, Ernst A. (1982)、「ほ​​ぼ平坦な多様体」、Journal of Differential Geometry、17 (1): 1–14、doi : 10.4310/jdg/1214436698、MR  0658470。