アポロニウスの問題

ユークリッド平面幾何学において、アポロニウスの問題は、平面上で 3 つの与えられた円に接する円を作図することです(図 1)。ペルガのアポロニウス(紀元前 262年頃 - 紀元前190 年頃) は、この有名な問題を著書Ἐπαφαί ( Epaphaí、「接線」) で提起し、解決しました。この著書は失われましたが、アレクサンドリアのパップスによる 4 世紀の報告書が現存しています。3 つの与えられた円には、一般に 8 つの異なる円が接しており (図 2)、3 つの与えられた円を 2 つの部分集合に分割する方法ごとに 1 組の解があります (濃度3の集合を 2 つの部分に分割する方法は 4 つあります)。

16 世紀に、アドリアン・ファン・ルーメンは交差する双曲線を使用して問題を解きましたが、この解法では定規とコンパスによる作図だけを使用していませんでした。フランソワ・ヴィエトは、 3 つの与えられた円のいずれも、半径 0 (点) に縮小することも、半径無限大 (線) に拡大することもできるという極限ケースを利用することで、このような解法を見つけました。より単純な極限ケースを使用してより複雑なケースを解くというヴィエトのアプローチは、アポロニウスの方法の妥当な再構築であると考えられています。ファン・ルーメンの方法はアイザック・ニュートンによって簡略化され、ニュートンは、アポロニウスの問題は 3 つの既知の点までの距離の差から位置を見つけることと同等であることを示しました。これは、LORANなどのナビゲーション システムや測位システムに応用されています。

その後、数学者たちは幾何学の問題を代数方程式に変換する代数的手法を導入した。これらの手法は、アポロニウスの問題に固有の対称性を利用して簡略化された。たとえば、解円は一般に対になって現れ、一方の解は他方の解が含まない与円を囲む (図 2)。ジョセフ・ディアス・ジェルゴンヌはこの対称性を利用して定規とコンパスによるエレガントな解法を提供し、他の数学者たちは円の鏡映などの幾何学的変換を利用して与円の構成を簡略化した。これらの発展により、代数的手法 (リー球面幾何学を使用) の幾何学的設定と、与円の 33 の本質的に異なる構成に従った解の分類が提供される。

アポロニウスの問題は、その後の研究を刺激した。3次元への一般化（与えられた4つの球に接する球の構築）やそれ以上の次元への一般化が研究されてきた。互いに接する3つの円の構成は特に注目されている。ルネ・デカルトは、解円と与えられた円の半径を関連付ける公式を与えたが、これは現在デカルトの定理として知られている。この場合、アポロニウスの問題を反復的に解くと、アポロニウスのガスケットが得られる。これは、印刷物で説明された最も古いフラクタルの一つであり、フォード円やハーディ・リトルウッド円法を介して数論において重要である。

アポロニウスの問題の一般的な説明は、平面上の3つの与えられたオブジェクトに接する1つ以上の円を描くことです。ここで、オブジェクトとは、直線、点、または任意の大きさの円です。^{[1] [2] [3] [4]}これらのオブジェクトは、どのような配置でも、互いに交差してもかまいません。ただし、通常は別個のものとして扱われ、つまり、一致しません。アポロニウスの問題の解は、アポロニウスの円と呼ばれることもありますが、この用語は、アポロニウスに関連する 他の種類の円にも使用されます。

接線の性質は次のように定義されます。まず、点、直線、円はそれ自体に接していると想定されます。したがって、与えられた円がすでに他の 2 つのオブジェクトに接している場合、それはアポロニウスの問題の解としてカウントされます。2 つの異なる幾何学的オブジェクトは、共通の点がある場合に交差していると言われます。定義により、点は円または直線と交差する場合、つまりそれらの上にある場合、それらの点に接しています。したがって、2 つの異なる点は接することはできません。交差点での直線または円の間の角度が 0 の場合、それらは接していると言われます。交差点は、接点または接点と呼ばれます。(「接線」という単語は、ラテン語の 現在分詞tangensに由来し、「接触する」という意味です。)実際には、2 つの異なる円が 1 点でのみ交差する場合、それらは接しています。0 点または 2 点で交差する場合は、それらは接していません。直線と円についても同様です。2つの異なる直線は平面上では接線になりませんが、反転幾何学では2本の平行線は無限遠点で接線になると考えられます（下記参照）。^{[5] [6]}

解円は、与えられた各円に内部接または外部接のいずれかになります。外部接とは、2 つの円が接点で互いに離れる方向に曲がっている場合です。2 つの円は、その点の接線の反対側にあり、互いに排他的です。円の中心間の距離は、円の半径の合計に等しくなります。対照的に、内部接とは、2 つの円が接点で同じように曲がっている場合です。2 つの円は接線の同じ側にあり、一方の円がもう一方の円を囲みます。この場合、円の中心間の距離は、円の半径の差に等しくなります。例として、図 1 では、ピンクの解円は、右側の中くらいの大きさの与えられた黒い円に内部接していますが、左側の最小と最大の与えられた円には外部接しています。

アポロニウスの問題は、 3 つの与えられた点までの距離の差が3 つの既知の値に等しくなるような 1 つ以上の点を探す問題として定式化することもできます。半径r _sの解円と、半径r ₁、r ₂、r ₃の 3 つの与えられた円を考えます。解円が 3 つの与えられた円すべてに外接している場合、解円の中心と与えられた円の中心の間の距離は、それぞれd ₁ = r ₁ + r _s、d ₂ = r ₂ + r _s、d ₃ = r ₃ + r _sに等しくなります。したがって、これらの距離の差は定数であり、たとえばd ₁ − d ₂ = r ₁ − r ₂です。これらは与えられた円の既知の半径のみに依存し、解円の半径r _sには依存しません。アポロニウスの問題のこの2番目の定式化は、対応する距離の差を距離の合計に変更することで、内部接線解円（中心間距離が半径の差に等しい）に一般化することができ、解円の半径r _sが再び打ち消される。中心間距離による再定式化は、アドリアン・ファン・ルーメンとアイザック・ニュートンの以下の解法や、 3つの既知の点までの距離の差から位置を特定する双曲測位または三辺測量にも役立つ。たとえば、LORANなどのナビゲーションシステムは、3つの固定位置からの信号の到着時間の差から受信機の位置を特定し、その差は送信機までの距離の差に対応する。^{[7] [8]}

アポロニウスの問題を解くために、豊富な幾何学的および代数的手法が開発されてきた。 ^{[9] [10]}この問題は現在では「最も有名な」幾何学の問題と呼ばれている。^[3]ペルガのアポロニウスの当初のアプローチは失われているが、アレクサンドリアのパップスの記述にある手がかりに基づいて、フランソワ・ヴィエトらによって再構築が提案されている。^{[11] [12]}最初の新しい解法は、1596年にアドリアン・ファン・ルーメンによって発表された。ルーメンは、解円の中心を2つの双曲線の交点と特定した。^{[13] [14]}ファン・ルーメンの方法は、 1687年にアイザック・ニュートンの『プリンキピア』 ^{[15] [16]}で改良され、 1881年にはジョン・ケーシーによって改良された。 ^[17]

アポロニウスの問題をうまく解決できたものの、ファン・ルーメンの方法には欠点もあった。古典的ユークリッド幾何学における高く評価されている性質は、コンパスと定規だけを使って問題を解くことができるということである。^{[18]これらの道具だけでは、}角度を3等分するなど、多くの作図は不可能である。しかし、そのような「不可能な」問題の多くは、双曲線、楕円、放物線（円錐曲線）などの交差する曲線によって解くことができる。例えば、立方体を2倍にする問題（与えられた立方体の2倍の体積を持つ立方体を作る問題）は、定規とコンパスだけを使ってはできないが、メナエクモスは、2つの放物線の交点を使うことでその問題を解けることを示した。^[19]したがって、2つの双曲線の交点を使うファン・ルーメンの解法では、問題が定規とコンパスの性質を満たしているかどうかは判定できなかった。

ファン・ルーメンの友人で、アポロニウスの問題に取り組むようファン・ルーメンに勧めたフランソワ・ヴィエトは、コンパスと定規だけを使う方法を開発した。 ^[20]ヴィエトの解決以前に、レギオモンタヌスは、アポロニウスの問題が定規とコンパスで解けるかどうか疑問視していた。^[21]ヴィエトは、まず、3つの与えられた点を通る円を求めるといった、アポロニウスの問題のいくつかの簡単な特殊なケースを解決した。この円は、3つの点が別個であれば解は1つしかない。その後、より複雑な特殊なケースを解決すべく、場合によっては与えられた円を縮小または拡大することで解決した。^[1]パップスの4世紀の報告書によると、この問題に関するアポロニウス自身の著書（エパファイ、「接触」、ラテン語：De tactionibus、De contactibus ）も同様の漸進的なアプローチをとった。^[11]そのため、ヴィエトの解はアポロニウスの解のもっともらしい再構成であると考えられているが、他の再構成は3人の異なる著者によって独立して発表されている。^[22]

アポロニウスの問題に対する他の幾何学的解法は、19世紀にいくつか開発されました。最も有名な解法は、ジャン＝ヴィクトル・ポンスレ（1811年）^[23]とジョセフ・ディアス・ジェルゴンヌ（1814年）^[24]の解法です。ポンスレの証明は円の相似中心と点のべき乗定理に依存しているのに対し、ジェルゴンヌの方法は円内の直線とその極の共役関係を利用しています。円の反転を使用する方法は、1879年にジュリアス・ペーターセンによって開拓されました。 ^{[25] 1つの例は、} HSMコクセターの環状解法です。^[2]別のアプローチは、ソフス・リーによって開発されたリー球面幾何学^[26]を使用します。

アポロニウスの問題に対する代数的解法は、17世紀にルネ・デカルトとボヘミアのエリザベート王女によって開拓されましたが、その解法はかなり複雑でした。^[9]実用的な代数的手法は、18世紀後半から19世紀にかけて、レオンハルト・オイラー^[27] 、ニコラ・フス^[9] 、カール・フリードリヒ・ガウス^[28] 、ラザール・カルノー^[29]、オーギュスタン・ルイ・コーシー^[30]を含む数人の数学者によって開発されました。

アドリアン・ファン・ルーメン（1596）の解法は、２つの双曲線の交差に基づいています。^{[13] [14]与えられた円を}C ₁、C ₂、C ₃と表記します。ファン・ルーメンは、 C ₁やC ₂など、２つの与えられた円に接する円を見つけるというより単純な問題を解くことで、一般的な問題を解決しました。彼は、２つの与えられた円に接する円の中心は、焦点が与えられた円の中心である双曲線上になければならないことに気づきました。これを理解するために、解の円と２つの与えられた円の半径をそれぞれr _s、r ₁、r ₂と表記します（図３）。解円とC _{1 の}中心間の距離d ₁は、これらの円がそれぞれ外部接線または内部接線として選択されるかどうかに応じて、r _s + r ₁またはr _s − r _{1 の}いずれかになります。同様に、解円とC _{2 の}中心間の距離d _{2 は、やはり選択された接線に応じて、} r _s + r ₂またはr _s − r _{2 の}いずれかになります。したがって、これらの距離の差d ₁ − d ₂は常にr _sに依存しない定数です。焦点までの距離の差が一定であるというこの特性は双曲線の特徴であり、そのため解円の可能な中心は双曲線上にあります。与えられた円のペアC ₂とC _{3に対して 2 番目の双曲線を描くことができますが、解と}C ₂の内接または外接は、最初の双曲線の接線と一致するように選択する必要があります。これら 2 つの双曲線の交点 (存在する場合) は、3 つの与えられた円に対して選択された内部接線と外部接線を持つ解円の中心を与えます。アポロニウスの問題に対する完全な解のセットは、解円と 3 つの与えられた円の外部接線と内部接線のすべての可能な組み合わせを考慮することによって見つけることができます。

アイザック・ニュートン（1687）は、ファン・ルーメンの解を改良し、解円の中心が直線と円の交点に位置するようにした。^{[15]ニュートンは、アポロニウスの問題を}三辺測量の問題として定式化した。すなわち、与えられた３点A、B、Cから点Z を探し出す問題であり、 Zから３つの与えられた点までの距離の差が既知の値になるようにする問題である。^[31]これらの４つの点は、解円（Z ）の中心と、与えられた３つの円（ A、B、C ）の中心に対応する。

ニュートンは、2 つの双曲線を解く代わりに、それらの準線を構築します。任意の双曲線について、点Zから焦点Aまでの距離と準線までの距離の比は、離心率と呼ばれる固定定数です。2 つの準線は点Tで交差し、2 つの既知の距離比から、ニュートンはT を通りZ が存在するはずの直線を構築します。ただし、距離の比 TZ/TA も既知であるため、Z は既知の円上にも存在します。これは、アポロニウスが、円は2 つの固定点までの距離の比が一定である点の集合として定義できることを示したためです。(余談ですが、この定義は双極座標の基礎となっています。) したがって、アポロニウスの問題の解は、直線と円の交点になります。

後述するように、アポロニウスの問題には、与えられた3つの物体（円（C）、線（L）、点（P ））の性質に応じて、10の特別なケースがある。慣習的に、これらの10のケースは、 CCPなどの3文字のコードで区別される。^[32]ヴィエトは、コンパスと定規のみを使用してこれらの10のケースすべてを解き、より単純なケースの解法を使用してより複雑なケースを解いた。^{[1] [20]}

ビエトは、ユークリッドの『原論』の方法に従って、 PPP の場合 (3 点)を解くことから始めました。ここから、点のべき乗定理に対応する補題を導き、それを使ってLPP の場合 (直線と 2 点) を解きました。ユークリッドにもう一度従って、ビエトは角の二等分線を使用してLLLの場合 (3 直線)を解きました。次に、点を通る角の二等分線に垂直な直線を作成するための補題を導き、それを使ってLLP問題 (2 直線と 1 点) を解きました。これは、円を含まないアポロニウスの問題の最初の 4 つのケースを説明しています。

残りの問題を解決するために、ヴィエトは、与えられた円と解円は、それらの接線を維持しながら連動してサイズ変更できるという事実を利用しました (図 4)。解円の半径が Δ rだけ変更された場合、その内部接線与円の半径も同様に Δ rだけ変更する必要があり、その外部接線与円の半径は −Δ rだけ変更する必要があります。したがって、解円が膨張すると、内部接線与円は連動して膨張する必要があり、外部接線与円は、それらの接線を維持するために縮小する必要があります。

ヴィエトはこのアプローチを使用して、与えられた円の 1 つを点に縮小し、問題をより単純な、すでに解決済みのケースに縮小しました。彼は最初に、円を点に縮小してLLPケースにすることでCLLケース (円 1 つと直線 2 本) を解決しました。次に、3 つの補題を使用してCLPケース (円、直線、点) を解決しました。再び 1 つの円を点に縮小して、ヴィエトは CCL ケースを CLP ケースに変換しました。次に、 CPPケース (円 1 つと点 2 つ) と CCP ケース (2 つの円と点 1 つ) を解決しました。後者のケースは 2 つの補題によって解決しました。最後に、ヴィエトは一般的なCCCケース (3 つの円) を 1 つの円を点に縮小してCCPケースにすることで解決しました。

アポロニウスの問題は、解円の中心と半径を求める3つの方程式のシステムとして表すことができます。^[33] 3つの与えられた円と任意の解円は同一平面上になければならないため、それらの位置は中心の ( x , y )座標で指定できます。たとえば、3つの与えられた円の中心位置は ( x ₁ , y ₁ )、( x ₂ , y ₂ )、( x ₃ , y _{3 ) と書きますが、解円の中心位置は (} x _s , y _s )と書きます。同様に、与えられた円と解円の半径はそれぞれr ₁、r ₂、r ₃、r _sと書きます。解円が3つの与えられた円のそれぞれに正確に接しなければならないという要件は、 x _s、y _s、r _sの3つの結合した二 次方程式として表現できます。

${\displaystyle \left(x_{s}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{s}-y_{1}\right)^{2}=\left(r_{s}-s_{1}r_{1}\right)^{2}}$

${\displaystyle \left(x_{s}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{s}-y_{2}\right)^{2}=\left(r_{s}-s_{2}r_{2}\right)^{2}}$

${\displaystyle \left(x_{s}-x_{3}\right)^{2}+\left(y_{s}-y_{3}\right)^{2}=\left(r_{s}-s_{3}r_{3}\right)^{2}.}$

右側の3 つの数値s ₁、s ₂、s _{3 は}符号と呼ばれ、 ±1 に等しく、目的の解円が対応する与えられた円に内部接するか ( s = 1)、外部接するか ( s = −1) を指定します。たとえば、図 1 と 4 では、ピンク色の解は右側の中サイズの与えられた円に内部接し、左側の最小および最大の与えられた円に外部接しています。与えられた円が半径順に並べられている場合、この解の符号は"− + −"です。3 つの符号は独立して選択できるため、8 組の方程式(2 × 2 × 2 = 8)が考えられ、各組は 8 種類の解円の 1 つに対応します。

3 つの方程式からなる一般連立方程式は、合力法で解くことができます。3 つの方程式を掛け合わせると、左辺にx _s ² + y _s ² 、右辺にr _s ^{2 が入ります。1 つの方程式から別の方程式を引くと、これらの 2 次項が除去されます。残りの 1 次項は、座標}x _sとy _sの式に並べ替えることができます。

${\displaystyle x_{s}=M+Nr_{s}}$

${\displaystyle y_{s}=P+Qr_{s}}$

ここで、M、N、P、Q は、与えられた円と符号の選択に関する既知の関数です。これらの式を最初の 3 つの方程式の 1 つに代入すると、r _sに関する 2 次方程式が得られ、これは2 次方程式の公式で解くことができます。 r _sの数値を線形方程式に代入すると、x _sとy _sの対応する値が得られます。

方程式の右辺の符号s ₁、s ₂、s _{3 は8 通りの取り方が考えられますが、} r _sの方程式は 2次方程式なので、符号の取り方ごとに最大 2 つの解が得られます。これは、アポロニウスの問題の解が最大 16 個あることを示唆している可能性があります (これは誤りです)。ただし、方程式の対称性により、符号s _iを持つ ( r _s、x _s、y _s ) が解である場合、符号が反対の − s _iを持つ(− r _s、x _s、y _s ) も同じ解円を表します。したがって、アポロニウスの問題には最大で 8 つの独立した解があります (図 2)。この二重カウントを回避する 1 つの方法は、負でない半径を持つ解円のみを考慮することです。

二次方程式の 2 つの根には、2 つの異なる実数、2 つの同一の実数 (つまり、退化した二重根)、または複素共役根のペアの 3 つのタイプがあります。最初のケースは通常の状況に対応します。各根のペアは、円反転によって関連付けられる 2 つの解に対応します(図 6 を参照)。2 番目のケースでは、両方の根が同一であり、反転によってそれ自体に変化する解円に対応します。この場合、与えられた円の 1 つ自体がアポロニウスの問題の解であり、異なる解の数は 1 つ減ります。複素共役半径の 3 番目のケースは、解円が虚数半径を持つことができないため、アポロニウスの問題の幾何学的に可能な解に対応しません。したがって、解の数は 2 つ減ります。アポロニウスの問題には 7 つの解はあり得ませんが、0 から 8 までの任意の数の解が存在する可能性があります。^{[12] [34]}

同じ代数方程式はリー球面幾何学の文脈でも導くことができる。^[26]その幾何学は円、直線、点を統一的に表現し、5次元ベクトルX = ( v , c _x , c _y , w , sr ) とする。ここでc = ( c _x , c _y ) は円の中心、r はその（負でない）半径である。r がゼロでない場合、符号s は正でも負でもよい。視覚的には、s は円の方向を表し、反時計回りの円は正のsを持ち、時計回りの円は負のsを持つ。パラメータwは直線の場合は 0、それ以外の場合は 1 である。

この 5 次元の世界では、内積に似た双線型積が存在します。

${\displaystyle \left(X_{1}\mid X_{2}\right):=v_{1}w_{2}+v_{2}w_{1}+\mathbf {c} _{1}\cdot \mathbf {c} _{2}-s_{1}s_{2}r_{1}r_{2}.}$

リー二次関数は、自分自身との積（その二乗ノルム）がゼロ（X | X）= 0であるベクトルとして定義される。X ₁とX ₂をこの二次関数に属する2つのベクトルとすると、それらの差のノルムは

${\displaystyle \left(X_{1}-X_{2}\mid X_{1}-X_{2}\right)=2\left(v_{1}-v_{2}\right)\left(w_{1}-w_{2}\right)+\left(\mathbf {c} _{1}-\mathbf {c} _{2}\right)\cdot \left(\mathbf {c} _{1}-\mathbf {c} _{2}\right)-\left(s_{1}r_{1}-s_{2}r_{2}\right)^{2}.}$

積は加算と減算にわたって分配されます（より正確には、双線形です）。

${\displaystyle \left(X_{1}-X_{2}\mid X_{1}-X_{2}\right)=\left(X_{1}\mid X_{1}\right)-2\left(X_{1}\mid X_{2}\right)+\left(X_{2}\mid X_{2}\right).}$

( X ₁ | X ₁ ) = ( X ₂ | X ₂ ) = 0 （どちらもリー二次曲線に属する）であり、円についてはw ₁ = w ₂ = 1 であるため、二次曲線上の任意の2つのベクトルの積は

${\displaystyle -2\left(X_{1}\mid X_{2}\right)=\left|\mathbf {c} _{1}-\mathbf {c} _{2}\right|^{2}-\left(s_{1}r_{1}-s_{2}r_{2}\right)^{2}.}$

ここで、 c ₁ − c ₂を挟む縦棒は、その差ベクトルの長さ、すなわちユークリッドノルムを表します。この式は、2 つの二次ベクトルX ₁とX ₂が互いに直交 (垂直) している場合、つまり ( X ₁ | X ₂ )  =  0 である場合、対応する円は接していることを示しています。2 つの符号s ₁とs ₂が同じである場合 (つまり、円が同じ「向き」である場合)、円は内部的に接しています。つまり、中心間の距離は、半径の 差に等しくなります。

${\displaystyle \left|\mathbf {c} _{1}-\mathbf {c} _{2}\right|^{2}=\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2}.}$

逆に、2つの符号s ₁とs ₂が異なる場合（つまり、円の「向き」が反対の場合）、円は外部接線であり、中心間の距離は半径の 合計に等しい。

${\displaystyle \left|\mathbf {c} _{1}-\mathbf {c} _{2}\right|^{2}=\left(r_{1}+r_{2}\right)^{2}.}$

したがって、アポロニウスの問題は、リー幾何学では、リー二次曲面上の垂直ベクトルを見つける問題として言い換えることができます。具体的には、リー二次曲面に属し、かつ与えられた円に対応するベクトルX ₁、X ₂、X _{3に直交する（垂直な）解ベクトル}X _solを特定することが目標です。

${\displaystyle \left(X_{\mathrm {sol} }\mid X_{\mathrm {sol} }\right)=\left(X_{\mathrm {sol} }\mid X_{1}\right)=\left(X_{\mathrm {sol} }\mid X_{2}\right)=\left(X_{\mathrm {sol} }\mid X_{3}\right)=0}$

この再述の利点は、線形代数の定理を、線形独立かつ同時に垂直なベクトルの最大数に関して利用できることである。これにより、解の最大数を計算する別の方法が得られ、定理を高次元空間に拡張することができる。^{[26] [35]}

アポロニウスの問題の自然な設定は反転幾何学である。^{[4] [12]}反転法の基本的な戦略は、与えられたアポロニウスの問題を、より簡単に解ける別のアポロニウスの問題に変換することである。元の問題の解は、変換を元に戻すことによって、変換された問題の解から見つけられる。候補となる変換は、1つのアポロニウスの問題を別の問題に変更する必要がある。したがって、与えられた点、円、線を他の点、円、線に変換し、他の図形に変換してはならない。円の反転にはこの特性があり、反転円の中心と半径を慎重に選択することができる。他の候補にはユークリッド平面の等長変換があるが、それらは元の問題を 単にシフト、回転、および鏡映するだけなので、問題を単純化しない。

中心Oと半径Rの円の反転は、次の操作で構成されます（図5）：すべての点Pは、 O、P、P'が同一直線上にある新しい点P'にマッピングされ、中心Oに対するPとP'の距離の積は半径Rの2乗 に等しくなります。

${\displaystyle {\overline {\mathbf {OP} }}\cdot {\overline {\mathbf {OP^{\prime }} }}=R^{2}.}$

したがって、P が円の外側にある場合、P' は内側にあり、その逆も同様です。PがOと同じ場合、反転はP を無限大に送ると言われます。 (複素解析では、「無限大」はリーマン球面によって定義されます。) 反転には、直線と円は常に直線と円に変換され、点は常に点に変換されるという便利な特性があります。 反転により、円は一般に他の円に変換されますが、円が反転円の中心を通過する場合は直線に変換され、その逆も同様です。 重要なのは、円が反転円と直角に交差する (垂直に交差する) 場合、反転によって円は変更されず、それ自体に変換されることです。

円反転はリーマン球面上のメビウス変換のサブセットに対応する。平面アポロニウス問題は、逆立体射影によって球面上に転送することができる。したがって、平面アポロニウス問題の解は、球面上の対応する問題にも当てはまる。平面問題に対する他の逆解は、以下に説明する一般的なもの以外にも可能である。^[36]

アポロニウスの問題の解は一般に一組で現れ、各解円に対して共役解円が 1 つ存在します (図 6)。^[1] 1 つの解円は、その共役解に囲まれた与円を除外し、その逆も同様です。たとえば、図 6 では、1 つの解円 (ピンク、左上) は 2 つの与円 (黒) を囲んでいますが、3 つ目の与円は除外しています。逆に、その共役解 (同じくピンク、右下) は 3 つ目の与円を囲んでいますが、他の 2 つは除外しています。2 つの共役解円は、次の議論によって反転によって関連しています。

一般に、3 つの異なる円には、それらすべてと垂直に交差する唯一の円、つまり根基円があり、その円の中心が3 つの円の根基中心です。 ^[4]説明のために、図 6 のオレンジ色の円は、黒い与円と直角に交差しています。根基円の反転では、与円は変更されませんが、2 つの共役なピンクの解円が互いに変換されます。同じ反転で、2 つの解円の対応する接点が互いに変換されます。説明のために、図 6 では、各緑の線上にある 2 つの青い点が互いに変換されます。したがって、これらの共役な接点を結ぶ線は反転の下で不変であり、したがって、それらは反転の中心、つまり根基中心 (図 6 のオレンジ色の点で交差する緑の線) を通過する必要があります。

3つの与えられた円のうち2つが交差しない場合は、その2つの与えられた円が同心円になるように反転の中心を選ぶことができます。^{[2] [12]}この反転では、解の円は2つの同心円の間の環状部内になければなりません。したがって、それらは2つの1パラメータ族に属します。最初の族（図7）では、解は内側の同心円を囲まず、環状部内でボールベアリングのように回転します。2番目の族（図8）では、解の円は内側の同心円を囲みます。通常、族ごとに4つの解があり、代数解と一致する8つの可能な解が得られます。

与えられた円のうち 2 つが同心円である場合、アポロニウスの問題はガウスの方法を使って簡単に解くことができます。^[28] 3 つの与えられた円の半径は既知であり、共通の同心円の中心から非同心円までの距離d _nonも既知です (図 7)。解円は、その半径r _s、角度 θ 、および中心から共通の同心円の中心と非同心円の中心までの距離d _sとd _{Tから決定できます。半径と距離}d _{s は}既知であり (図 7)、距離d _T = r _s ± r _{non は}、解円が非同心円に内接しているか外接しているかによって異なります。したがって、余弦定理により、

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {d_{\mathrm {s} }^{2}+d_{\mathrm {non} }^{2}-d_{\mathrm {T} }^{2} }{2d_{\mathrm {s} }d_{\mathrm {non} }}}\equiv C_{\pm }.}$

ここでは簡潔にするために新しい定数Cを定義し、その添え字は解が外接か内接かを示します。簡単な三角法の並べ替えにより、4つの解が得られます。

${\displaystyle \theta =\pm 2\arctan \left({\sqrt {\frac {1-C}{1+C}}}\right).}$

この式は、 θ の符号の 2 つの選択肢とCの 2 つの選択肢に対応する 4 つの解を表しています。残りの 4 つの解は、図 8 に示されているr _sとd _sの置き換えを使用して、同じ方法で得ることができます。したがって、一般的なアポロニウスの問題の 8 つの解はすべて、この方法で見つけることができます。

任意の 2 つの互いに交わらない与円は、次のようにして同心円にすることができます。2つの与円の根軸が構築されます。この根軸上の任意の 2 つの点PとQ を選択すると、 PとQを中心とし、2 つの与円に直交する 2 つの円を構築できます。構築されたこれらの 2 つの円は、2 つの点で交差します。そのような交点の 1 つFで反転すると、構築された円はFから放射される直線になり、2 つの与円は同心円になり、3 番目の与円は (一般に) 別の円になります。これは、円のシステムがアポロニウスの円の集合に等しく、双極座標系を形成するためです。

反転の有用性は、サイズ変更によって大幅に向上します。^{[37] [38]}ヴィエトの再構成で述べたように、3つの与えられた円と解の円は、それらの接線を維持しながら同時にサイズ変更できます。したがって、最初のアポロニウスの問題は、解決がより簡単な別の問題に変換されます。たとえば、4つの円のサイズを変更して、1つの与えられた円を点に縮小することができます。または、2つの与えられた円を互いに接するようにサイズ変更することもできます。3つ目に、交差する与えられた円は、交差しないようにサイズ変更し、その後で環状に反転する方法を適用できます。このようなすべての場合において、元のアポロニウスの問題の解は、サイズ変更と反転を元に戻すことによって、変換された問題の解から得られます。

最初のアプローチでは、与えられた円は（適切には接点に応じて）縮小または拡大され、最終的に 1 つの与えられた円が点Pに縮小されます。^[37]その場合、アポロニウスの問題はCCP の 極限ケースに退化します。これは、残りの 2 つの与えられた円に接し、点P を通過する解円を見つける問題です。Pを中心とする円の反転により、2 つの与えられた円は新しい円に変換され、解円は直線に変換されます。したがって、変換された解は、変換された 2 つの与えられた円に接する直線です。このような解の直線は 4 つあり、2 つの円の外部相似中心と内部相似中心から構築できます。Pでの再反転とサイズ変更の取り消しにより、このような解の直線は元のアポロニウスの問題の目的の解円に変換されます。8 つの一般解はすべて、各解の異なる内部および外部の接点に応じて円を縮小または拡大することで取得できます。ただし、異なる与えられた円は、異なる解のために点に縮小される場合があります。

2 番目のアプローチでは、与えられた円の半径が Δ r の量だけ適切に変更され、そのうちの 2 つが接する (接触する) ようになります。^[38]接点は、 2 つの接触する円のそれぞれと 2 か所で交差する円の反転の中心として選択されます。反転すると、接触する円は 2 つの平行線になります。反転により、それらの唯一の交点は無限大に送られるため、出会うことはできません。同じ反転により、3 番目の円が別の円に変換されます。反転された問題の解は、(1) 2 つの与えられた平行線に平行で、変換された 3 番目の与えられた円に接する直線、または (2) 2 つの与えられた平行線と変換された与えられた円に接する一定半径の円のいずれかである必要があります。再度反転し、すべての円の半径を Δ rだけ調整すると、元の 3 つの円に接する解円が生成されます。

ジェルゴンヌのアプローチは、解円をペアで考えるというものです。^[1]解円のペアをC _AとC _B (図 6 のピンク色の円) で表し、3 つの与えられた円との接点をそれぞれA ₁、A ₂、A ₃、およびB ₁、B ₂、B ₃で表します。ジェルゴンヌの解決策は、これらの 6 つの点を特定し、2 つの解円を求めることを目的としています。

ジェルゴンヌの洞察は、もし直線L _{1 が}A ₁とB ₁が必ずその上を通るように作図できれば、その 2 点はL ₁と与えられた円C ₁の交点として特定できるというものでした(図 6)。残りの 4 つの接点も同様に、それぞれA ₂とB _{2 、および}A ₃とB ₃を含む直線L ₂とL _{3 を見つけることで見つけられます。L 1}のような直線を作図するには、その直線上にある 2 つの点を特定する必要がありますが、これらの点は接点である必要はありません。ジェルゴンヌは、3 つの直線のそれぞれについて、さらに 2 つの点を特定することができました。2 つの点のうち 1 つは既に特定されています。根芯G は3 つの直線すべて上にあります (図 6)。

直線L ₁、L ₂、L ₃上の 2 番目の点を見つけるために、ジェルゴンヌはこれらの直線と解円C _AおよびC _Bの根軸Rとの間に相互関係があることに注目しました。この相互関係を理解するために、円C ₁の接点A ₁およびB ₁で解円に対して引いた 2 本の接線について考えます。これらの接線の交点がC ₁におけるL ₁の極点です。その極点から接点A ₁およびB ₁までの距離は等しいため、定義により、この極点は解円の根軸R上にもなければなりません(図 9)。極点とその極線の関係は相互的です。つまり、C ₁におけるL _1の極がR上にある場合、逆にC ₁におけるRの極はL ₁上になければなりません。したがって、 R を構築できれば、 C ₁内のその極P _{1 を見つけることができ、} L ₁上の必要な2番目の点が得られます(図 10)。

ジェルゴンヌは、未知の解円の根軸R を次のようにして求めました。どの円のペアにも 2 つの相似中心があり、これらの 2 点は、2 つの円の 2 本の接線の 2 つの可能な交点です。したがって、 3 つの与えられた円には、異なる与えられた円のペアごとに 2 つずつ、合計 6 つの相似中心があります。注目すべきことに、これらの 6 つの点は 4 つの直線上にあり、各直線上に 3 つの点があります。さらに、各直線は、潜在的な解円のペアの根軸に対応しています。これを示すために、ジェルゴンヌは、 2 つの与えられた円上の対応する接点を通る直線、たとえばA ₁ / A _{2で定義される直線と}B ₁ / B ₂で定義される直線を考慮しました。X _{3 を2 つの円}C ₁とC ₂の相似中心とすると、A ₁ / A ₂とB ₁ / B ₂は反対相同点のペアであり、それらの直線はX ₃で交差します。したがって、距離の積は等しい

${\displaystyle {\overline {X_{3}A_{1}}}\cdot {\overline {X_{3}A_{2}}}={\overline {X_{3}B_{1}}}\cdot {\overline {X_{3}B_{2}}}}$

これは、 X _{3 が}2 つの解円の根軸上にあることを意味します。同じ議論を他の円のペアに適用できるため、与えられた 3 つの円の 3 つの相似中心は、解円のペアの根軸上にある必要があります。

要約すると、目的の直線L _{1 は}、3 つの与えられた円の根中心Gと、相似中心を結ぶ 4 本の直線のうちの 1 本のC _{1の極の 2 つの点によって定義されます。} C ₂とC _{3で同じ極を見つけると、それぞれ}L ₂とL ₃が得られます。したがって、6 つの点すべてを見つけることができ、そこから 1 組の解円を見つけることができます。残りの 3 本の相似中心線に対してこの手順を繰り返すと、さらに 6 つの解が得られ、合計 8 つの解が得られます。ただし、直線L _{k が}何らかのkに対して円C _kと交差しない場合は、その相似中心線に対する解のペアは存在しません。

現代代数幾何学、特に交差理論の技術は、アポロニウスの問題を解くのに使用できる。このアプローチでは、問題は複素射影平面上の円についての命題として再解釈される。複素数を含む解法が許容され、退化した状況は重複度で数えられる。これを行うと、問題には常に8つの解が存在する。^[39]

X、Y、Zにおけるすべての二次方程式は、その消失点である唯一の円錐曲線を決定する。逆に、複素射影平面におけるすべての円錐曲線は方程式を持ち、その方程式は全体のスケーリング係数を除いて一意である（方程式を再スケーリングしても消失点が変わらないため）。したがって、すべての円錐曲線の集合は、5次元射影空間P ⁵によってパラメータ化することができ、その対応は次のようになる 。

${\displaystyle \{[X:Y:Z]\in \mathbf {P} ^{2}\colon AX^{2}+BXY+CY^{2}+DXZ+EYZ+FZ^{2}=0 \}\leftrightarrow [A:B:C:D:E:F]\in \mathbf {P} ^{5}.}$

複素射影平面上の円は、2点 O + = [1 : i : 0] と O − = [1 : − i : 0] を通る円錐曲線として定義されます。ここで_、 iは −1の平方根_を表します 。点O +とO −_は円点_と呼ばれます。すべての円の射影多様体は、円点を通る円錐曲線に対応する点からなるP ⁵の部分多様体です。円点を一般的な円錐曲線の式に代入すると、次の2つの式が得られます。

${\displaystyle A+Bi-C=0,}$

${\displaystyle A-Bi-C=0.}$

これらの式の和と差をとると、次の条件を課すことと同等であることが分かる。

${\displaystyle A=C}$そして。${\displaystyle B=0}$

したがって、すべての円の多様体はP ⁵の3次元線形部分空間である。再スケールして平方完成した後、これらの方程式は、円の点を通るすべての円錐曲線が次の形式の方程式を持つことも示している。

${\displaystyle (X-aZ)^{2}+(Y-bZ)^{2}=r^{2}Z^{2},}$

これは、アフィン平面における円の通常の方程式の均質化です。したがって、上記の意味で円を研究することは、従来の意味で円を研究することとほぼ同等です。唯一の違いは、上記の意味では、2 本の直線の和である退化した円が許されることです。退化していない円は滑らかな円と呼ばれ、退化した円は特異円と呼ばれます。特異円には 2 種類あります。1 つは、無限遠Z = 0 の直線と射影平面内の別の直線 (おそらくこれも無限遠の直線) の和であり、もう 1 つは、2 つの円の点のそれぞれを通る射影平面内の 2 つの直線の和です。これらは、半径rがそれぞれ+∞と0に向かうときの滑らかな円の極限です。後者の場合、2 本の直線のいずれの点も、原点[0 : 0 : 1]を除いて実座標を持ちません。

D を固定された滑らかな円とします。 Cが他の円である場合、円の定義により、CとD は円点O ₊とO ₋で交差します。CとD は円錐曲線であるため、ベズーの定理によれば、適切な交差多重度で数えると、 CとD は合計 4 点で交差します。つまり、交差点O ₊、O ₋、P、およびQの 4 つの点がありますが、これらの点のいくつかは衝突する可能性があります。 アポロニウスの問題は、 P = Q の状況に関するもので、その点における交差多重度は2です。 Pも円点に等しい場合は、交差多重度は3であると解釈する必要があります。

Z _DをDに接する円の多様体とする。この多様体はすべての円のP ³の2次円錐である。これを理解するには、接続対応を考える。

${\displaystyle \Phi =\{(r,C)\in D\times \mathbf {P} ^{3}\colon C{\text{ は }}r\} で }}D{\text{ に接する。}$

単一の方程式f = 0の消失点である曲線の場合、曲線がrでDと重複度mで出会うという条件は、 f | _Dのテイラー級数展開がrで次数mまで消えることを意味します。したがって、これはfの係数に関するm 個の線型条件です。これは、各rについて、 r上のΦのファイバーが、円の空間内の 2 つの線型方程式によって切り取られたP ¹であることを示しています。その結果、 Φ は次元2で既約です。 Dに 1 点でのみ接する円を示すことは可能なので、 Z _Dの一般的な要素は1 点でのみ接する必要があります。したがって、 ( r、C )をCに送る射影Φ → P ²は双有理射です。したがって、 Φの像であるZ _Dも既約で 2 次元になります。

Z _Dの形状を決定するには、必ずしもDに接している必要のない 2 つの異なる円C ₀とC _∞を固定します。これらの 2 つの円は鉛筆、つまり円のP ³内の直線L を決定します。 C ₀とC _∞の方程式がそれぞれfとgである場合、 L上の点は方程式がSf + Tg である円に対応します。ここで、[ S  : T ]はP ¹上の点です。 L がZ _Dと出会う点は、鉛筆内でDに接する円とまったく同じです。

交点の数には 2 つの可能性があります。1 つは、fまたはgのいずれか、たとえばfがDの方程式である場合です。この場合、L はD を通る直線です。C _∞がDに接する場合、鉛筆内のすべての円も接するため、L はZ _Dに含まれます。もう 1 つの可能性は、fもgもDの方程式ではないことです。この場合、関数( f / g )| _{D は}、どちらも同じようには消えない 2 次方程式の商です。したがって、2 つの点で消え、 2 つの点で極を持ちます。これらは、それぞれC ₀ ∩ DとC _∞ ∩ Dの点であり、重複度と円の点を差し引いて数えられます。有理関数は、次数 2 の射D → P ¹を決定します。 [ S  : T ] ∈ P ¹上のファイバーは、f ( P ) T = g ( P ) Sとなる点の集合Pです。これらはまさに、方程式がTf − Sgである円がDと交わる点です。この射の分岐点は、 Dに接する円です。リーマン・フルヴィッツの公式により、分岐点は正確に 2 つあるため、L は2 つの点でZ _Dと交わります。LとZ _{D の}交点のこれら 2 つの可能性を合わせると、 Z _Dが 2 次円錐であることが証明されます。P ^{3のこのような円錐は}すべて、座標の変更を除いて同じであるため、これによってZ _Dの形状が完全に決まります。

議論を締めくくるにあたり、D ₁、D ₂、D _{3 を}3つの円とする。交差Z _{D 1} ∩ Z _{D 2} ∩ Z _{D 3}が有限であれば、次数は2 ³ = 8となり、したがってアポロニウスの問題には重複度を数えて8つの解が存在する。交差が一般的に有限であることを証明するために、接続対応を考える。

${\displaystyle \Psi =\{(D_{1},D_{2},D_{3},C)\in (\mathbf {P} ^{3})^{4}\colon C{\text{ はすべての }}D_{i} に接する\}。}$

Ψ をその最終因子P ³に射影する射影が存在する。 C上のファイバーはZ _C ³である。これは次元6を持つので、Ψ は次元9を持つ。( P ³ ) ³も次元9を持つので、 Ψから最初の 3 つの因子への射影の一般的なファイバーは正の次元を持つことができない。これは、一般的に、重複度で数えられる 8 つの解があることを証明している。8 つの解が異なる構成を示すことが可能であるため、一般的な構成では 8 つの解すべてが異なる必要がある。

8つの解円を持つ一般的な問題では、4つの解円の半径の逆数を合計すると、他の4つの解円の半径の逆数と同じ値になります^[40]

アポロニウスの問題は、平面上の3つの与えられた物体（円、点、直線）に接する1つ以上の円を描くというものである。これにより、円、直線、点の組み合わせごとに1つのアポロニウスの問題が10種類生じ、それぞれが円、直線、点のいずれであるかを表す3つの文字（C、L、P）でラベル付けされる（表1）。^[32]一例として、円、直線、点が与えられたタイプのアポロニウスの問題はCLPと表記される。

これらの特殊なケースのいくつかは、3 つの与えられた円の一般的なケースよりもはるかに簡単に解くことができます。 最も単純な 2 つのケースは、3 つの与えられた点を通る円 ( PPP ) または 3 つの直線に接する円 ( LLL ) を描く問題で、これらはユークリッドが『原論』で初めて解決しました。 たとえば、PPP問題は次のように解くことができます。 解円の中心は、3 つの点すべてから等距離にあるため、任意の2 つの点の垂直二等分線上になければなりません。 したがって、中心は任意の 2 つの垂直二等分線の交点です。 同様に、LLLケースでは、中心は 3 つの与えられた直線間の 3 つの交点での角度を二等分する線上になければなりません。 したがって、中心はそのような角度の二等分線 2 つの交点にあります。 3 つの与えられた直線のすべての交点にそのような二等分線が 2 つあるため、一般的なLLL問題 ( 3 つの直線によって形成される三角形の内接円と外接円) には 4 つの解があります。

点と直線は円の特殊なケースとみなすことができる。つまり、点は半径が無限に小さい円、直線は中心が無限にある無限大の円と考えることができる。この観点からすると、一般的なアポロニウスの問題は、与えられた3つの円に接する円を描くことである。点と直線を含む他の9つのケースは、一般的な問題の極限ケースと見なすことができる。^{[32] [12]}これらの極限ケースは、一般的な問題よりも解の数が少ないことが多い。例えば、与えられた円を与えられた点に置き換えると、解の数が半分になる。これは、点が内接または外接する無限小円として解釈できるためである。

アポロニウスの問題の異なるタイプに対する解の数を数える問題は、数え上げ幾何学の分野に属する。^{[12] [41]}アポロニウスの問題の10タイプのそれぞれに対する一般的な解の数は、上記の表1に示されている。しかし、与えられた要素の特別な配置によって、解の数が変わることもある。例えば、1つの円が2つの円を隔てている場合、アポロニウスの問題には解がない（図11）。実線の与えられた円の両方に接するためには、解の円は破線の与えられた円と交差しなければならないが、破線の円に接線で接する場合はそうすることはできない。逆に、3つの与えられた円がすべて同じ点で接している場合、同じ点で接するどの円も解である。このようなアポロニウスの問題には、無限の解がある。与えられた円のいずれかが同一である場合、同様に解の数は無限である。2つの与えられた円だけが同一である場合、異なる与えられた円は2つしかない。解円の中心は、アポロニウスの問題の解法の 1 つで使用されているように、 双曲線を形成します。

与えられた3つの円、点、または直線のあらゆる配置に対する解の数の網羅的な列挙は、1896年にミュアヘッドによって初めて行われたが、^{[42]それ以前にはストール[43]とスタディ[44]}によっても研究されていた。しかし、ミュアヘッドの研究は不完全であった。1974年に拡張され^[45]、33の異なるケースを含む決定的な列挙が1983年に出版された。^[12]アポロニウスの問題の解は一般に反転によって関連したペアで現れるが、奇数の解が可能な場合もある。たとえば、PPPの単一の解や、与えられた円のうちの1つまたは3つが解である場合などである。(後者の例は、デカルトの定理のセクションに示されている。) しかし、7つの解を持つアポロニウスの問題は存在しない。^{[34] [43]}円と球の幾何学に基づく代替の解が開発され、高次元で使用されている。^{[26] [35]}

3つの与えられた円が互いに接している場合、アポロニウスの問題には5つの解があります。3つの解は与えられた円そのものです。なぜなら、それぞれが自分自身と他の2つの与えられた円に接しているからです。残りの2つの解（図12に赤で表示）は内接円と外接円に対応し、ソディの円と呼ばれます。^[46]アポロニウスの問題のこの特殊なケースは、4枚のコイン問題としても知られています。^[47]このアポロニウスの問題の3つの与えられた円は、 2つのソディの円に接するシュタイナー連鎖を形成します。

ソディ円は、与えられた3つの円と合わせると、6点で互いに接する4つの円のセットになります。これらの4つの円の半径は、デカルトの定理として知られる方程式によって関連しています。1643年にボヘミアのエリザベート王女に宛てた手紙^[48] で、ルネ・デカルトは次のように示しました 。

${\displaystyle (k_{1}+k_{2}+k_{3}+k_{s})^{2}=2(k_{1}^{2}+k_{2}^{2}+k_{3}^{2}+k_{s}^{2})}$

ここで、k _s = 1/ r _sとr _{s は}それぞれ解円の曲率と半径であり、3つの与えられた円の曲率k ₁、k ₂、k ₃と半径r ₁、r ₂、r ₃についても同様である。互いに接する4つの円のセットごとに、同じ6点で接する互いに接する4つの円の2番目のセットが存在する。^{[2] [49]}

デカルトの定理は、1826年にヤコブ・シュタイナー^[50]、1842年にフィリップ・ビークロフト^{[2] 、 [49]、}そして1936年にフレデリック・ソディ^[51]によってそれぞれ独立に再発見された。ソディは、その発見を「The Kiss Precise 」という詩として科学雑誌「ネイチャー」に発表した。その最初の2つの節を以下に転載する。最初の節ではソディの円について説明し、2番目の節ではデカルトの定理について述べている。ソディの詩では、2つの円が接している場合に「キスする」と言われ、一方「曲がる」という用語は円の曲率kを指している。

デカルトの定理の様々な拡張はダニエル・ペドーによって導かれている。^[52]

アポロニウスの問題は、3つの与えられた円と正確な角度θで交わるすべての円、または3つの指定された交差角θ ₁、θ ₂、θ _{3で交わるすべての円を描くように拡張することができます。} ^[50]通常のアポロニウスの問題は、3つの与えられた円すべてに対して交差角がゼロである特殊なケースに対応します。もう1つの一般化は、最初の拡張の双対、つまり、3つの与えられた円から3つの指定された接線距離を持つ円を描くことです。^[26]

アポロニウスの問題は、平面から球面やその他の二次曲面へと拡張できる。球面の場合、問題は、球面上の3つの与えられた円に接するすべての円（球面キャップの境界）を構築することである。 ^{[24] [53] [54]この球面の問題は、}立体射影を使用して、対応する平面の問題に変換できる。平面の問題の解が構築されると、立体射影を反転することで、球面の問題の対応する解を決定できる。さらに一般的には、任意の二次曲面と4つの平面の交差から生じる4つの接線の問題を考えることができる。これは、シャルル・デュパンによって初めて考えられた問題である。^[9]

アポロニウスの問題を繰り返し解いて内接円を求めると、互いに接する円の間の隙間を任意に細かく埋めることができ、ライプニッツパッキングやアポロニアンパッキングとも呼ばれるアポロニアンガスケットが形成されます。^[55]このガスケットはフラクタルであり、自己相似性があり、次元dは正確にはわかっていませんがおよそ 1.3 で、^[56]これは通常の(または修正可能な) 曲線 ( d = 1) よりも大きいですが、平面 ( d = 2) よりも小さくなります。アポロニウスのガスケットは、17 世紀にゴットフリート・ライプニッツによって初めて記述され、20 世紀のシェルピンスキーの三角形の曲線の前身です。^[57]アポロニウスのガスケットは、他の数学の分野とも深いつながりがあります。例えば、それはクライン群の極限集合である。^[58]

平面上の4つの円に接する円の構成には特別な性質があり、これはラーモア（1891） ^{[59]とラクラン（1893） [60]}によって解明されている。このような構成はケーシーの定理^[17]の基礎でもあり、ケーシーの定理自体はプトレマイオスの定理^[37]の一般化である。

アポロニウスの問題を3次元に拡張したもの、すなわち、4つの与えられた球に接する5番目の球を見つける問題は、類似の方法で解くことができる。^[9]たとえば、与えられた球と解球のサイズを変更して、1つの与えられた球を点に縮小し、接線を維持することができる。^[38]この点の反転により、アポロニウスの問題は、3つの与えられた球に接する平面を見つけることに簡略化される。一般に、そのような平面は8つあり、反転とサイズ変更を逆にすることで、元の問題の解になる。この問題はピエール・ド・フェルマーによって最初に考えられ、^[61]何世紀にもわたって多くの代替解法が開発されてきた。^[62]

アポロニウスの問題はd次元にまで拡張することができ、与えられたd + 1個の超球の集合に接する超球を構成することができる。 ^{[41] 1936年に}フレデリック・ソディがデカルトの定理を再導出した論文が発表されて以来、数人が（独立して） d次元のソディの円に対応する相互接のケースを解決した。^[63]

アイザック・ニュートンによって定式化されたアポロニウスの問題の主な応用は、少なくとも3つの点までの距離の差から位置を決定しようとする双曲三辺測量である。 ^[8]たとえば、船は、3つの同期した送信機からの信号の到着時間の差からその位置を決定しようとするかもしれない。アポロニウスの問題の解法は、第一次世界大戦で、 3つの異なる位置で銃声が聞こえた時間から大砲の位置を決定するために使用された。^{[9]また、双曲三辺測量は、}デッカ・ナビゲーター・システムやLORANで使用されている原理である。^{[7]同様に、航空機の位置は、その}トランスポンダー信号が4つの受信局に到着する時間の差から決定することができる。この多辺測量問題は、アポロニウスの問題の3次元一般化に相当し、全地球航法衛星システム（GPS#幾何学的解釈を参照）に適用される。^{[31]また、}音速が方向によって変化する（つまり、伝送媒体が等方性ではない）場合にはアポロニウスの問題は当てはまらないが、鳴き声を出す動物（鳥やクジラなど）の位置を決定するためにも使用される。^[64]

アポロニウスの問題には他の応用もある。アイザック・ニュートンは『プリンキピア』第1巻命題21で、アポロニウスの問題の解法を使って、天体力学において引力の中心から軌道を描き、瞬間速度に対応する軌道への接線の観測を行った。^[9]アポロニウスの問題の特殊なケースで、3つの円がすべて接している場合、解析数論のハーディ・リトルウッド円法では、ハンス・ラーデマッハーの複素積分路を描くのに使われている。この積分路は、フォード円の無限集合の境界で与えられ、各円は他のいくつかの円と接している。^[65]最後に、アポロニウスの問題は、 DVDで使用される誤り訂正符号や、病原菌の特定の酵素に結合する医薬品の設計など、異なる分野で生じるいくつかの種類のパッキング問題に適用されている。^[66]

• アポロニウスポイント
• アポロニウスの定理
• 三角形の等力点

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