フォードサークル

数学において、フォード円はユークリッド平面上の円であり、有理点で -軸に接する円族に属する。最小項で表された各有理数 に対して、点 を中心とし半径であるフォード円が存在する。フォード円は底点 で -軸に接する。有理数 と の 2 つのフォード円(両方とも最小項で表した) は、のとき接円であり、 以外のときはこれら 2 つの円は互いに交わらない。^[1]${\displaystyle x}$${\displaystyle p/q}$${\displaystyle (p/q,1/(2q^{2}))}$${\displaystyle 1/(2q^{2})}$${\displaystyle x}$${\displaystyle (p/q,0)}$${\displaystyle p/q}$${\displaystyle r/s}$${\displaystyle |ps-qr|=1}$

フォード円は互いに接する円の特殊なケースであり、ベースラインは無限の半径を持つ円と考えることができる。互いに接する円のシステムはペルガのアポロニウスによって研究され、アポロニウスの問題やアポロニウスのガスケットは彼にちなんで名付けられた。^[2] 17世紀にルネ・デカルトは互いに接する円の半径の逆数の関係であるデカルトの定理を発見した。 ^[2]

フォード円は日本の数学の算額にも登場する。群馬県の1824年の板碑に示された典型的な問題は、共通の接線を持つ3つの接する円の関係を扱っている。外側の2つの大きな円の大きさが与えられたとき、その間にある小さな円の大きさはいくらか。答えはフォード円に相当する。^[3]

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {r_{\text{middle}}}}}={\frac {1}{\sqrt {r_{\text{left}}}}}+{\frac {1}{\sqrt {r_{\text{right}}}}}.}$

フォード円は、1938年にそれについて論文を書いたアメリカの数学者レスター・R・フォード・シニアにちなんで名付けられました。 ^[1]

分数 に関連付けられたフォード円はまたはで表されます。すべての有理数に関連付けられたフォード円があります。さらに、直線 はフォード円としてカウントされます。これは、無限大に関連付けられたフォード円と考えることができます。${\displaystyle p/q}$${\displaystyle C[p/q]}$${\displaystyle C[p,q].}$${\displaystyle y=1}$${\displaystyle p=1,q=0.}$

2つの異なるフォード円は互いに交わらないか、または互いに接しています。フォード円の2つの内部は交差しませんが、有理座標の各点においてx軸に接するフォード円があります。が0から1の間である場合、接するフォード円は次のようにさまざまに記述できます 。${\displaystyle p/q}$${\displaystyle C[p/q]}$

1. ^[1]の円${\displaystyle C[r/s]}$${\displaystyle |ps-qr|=1,}$
2. ファレイ数列の近傍にある分数に関連付けられた円、^[1]または${\displaystyle r/s}$${\displaystyle p/q}$
3. 円は、シュテルン・ブロコット樹において の次に大きい祖先または の次に小さい祖先であるか、の次に大きい祖先または の次に小さい祖先であるかを表します。^[1]${\displaystyle C[r/s]}$${\displaystyle r/s}$${\displaystyle p/q}$${\displaystyle p/q}$${\displaystyle r/s}$

およびが2 つの接するフォード円である場合、および(フォード円の中心の x 座標)を通り、 (中心が x 軸上にある) 軸に垂直な円は、2 つの円が互いに接する点も通ります。 ${\displaystyle C[p/q]}$${\displaystyle C[r/s]}$${\displaystyle (p/q,0)}$${\displaystyle (r/s,0)}$${\displaystyle x}$

フォード円の中心は、平面の離散的な（したがって可算な）部分集合を構成し、その閉包は実軸、つまり不可算な集合です。

フォード円は複素平面上の曲線と考えることもできる。複素平面の変換のモジュラー群はフォード円を他のフォード円に写像する。^[1]

フォード円は、直線と円によって生成されるアポロニアンガスケットの円のサブセットである^[4]${\displaystyle y=0}$${\displaystyle y=1}$${\displaystyle C[0/1].}$

複素平面の上半分を双曲面のモデル(ポアンカレ半平面モデル) として解釈すると、フォード円をホロサイクルとして解釈できます。双曲幾何学では、任意の2 つのホロサイクルは合同です。これらのホロサイクルがアピロゴンで外接されている場合、それらは双曲面を3 次アピロゴナル タイリングでタイリングします。

フォード円の面積、オイラーのトーティエント関数 、リーマンゼータ関数、アペリーの定数の間には関連がある^[5] 2つのフォード円は交わらないので、フォード円の総面積は ${\displaystyle \varphi ,}$ ${\displaystyle \zeta ,}$ ${\displaystyle \zeta (3).}$

${\displaystyle \left\{C[p,q]:0<{\frac {p}{q}}\leq 1\right\}}$

は1未満です。実際、これらのフォード円の総面積は収束する和で与えられ、評価することができます。定義から、面積は

${\displaystyle A=\sum _{q\geq 1}\sum _{(p,q)=1 \atop 1\leq p<q}\pi \left({\frac {1}{2q^{2}}}\right)^{2}.}$

この式を簡略化すると

${\displaystyle A={\frac {\pi }{4}}\sum _{q\geq 1}{\frac {1}{q^{4}}}\sum _{(p,q)=1 \atop 1\leq p<q}1={\frac {\pi }{4}}\sum _{q\geq 1}{\frac {\varphi (q)}{q^{4}}}= {\frac {\pi }{4}}{\frac {\ゼータ (3)}{\ゼータ (4)}},}$

ここで最後の等式はオイラーのトーティエント関数のディリクレ生成関数を反映している。これは最終的 に ${\displaystyle \varphi (q).}$${\displaystyle \zeta (4)=\pi ^{4}/90,}$

${\displaystyle A={\frac {45}{2}}{\frac {\zeta (3)}{\pi ^{3}}}\approx 0.872284041.}$

慣例により、前の計算では分数 に対応する半径 の円は除外されていることに注意してください。これには の完全な円が含まれますが、その半分は単位区間の外側にあるため、合計は依然としてフォード円で覆われた単位正方形の分数です。 ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$${\displaystyle {\frac {0}{1}}}$${\displaystyle {\frac {1}{1}}}$

フォード円の概念は、有理数からガウス有理数に一般化することができ、フォード球を与える。この構成では、複素数は3次元ユークリッド空間に平面として埋め込まれ、この平面の各ガウス有理数点に対して、その点で平面に接する球が構成される。 として最小の項で表されたガウス有理数の場合、この球の直径は となるはずである。ここで、は の複素共役を表す。結果として得られる球は、およびのガウス有理数のペアに対して と接し、それ以外の場合は互いに交差しない。^{[6] [7]}${\displaystyle p/q}$${\displaystyle 1/2q{\bar {q}}}$${\displaystyle {\bar {q}}}$${\displaystyle q}$${\displaystyle P/Q}$${\displaystyle p/q}$${\displaystyle |Pq-pQ|=1}$

• アポロニアン ガスケット– 直線上ではなく円上に無限の相互接線円があるフラクタル
• シュタイナーチェーン
• 冠毛連鎖

• フォードのタッチングサークルがカット・ザ・ノットで登場
• Weisstein、Eric W.「フォード サークル」。MathWorld。
• ボナホン、フランシス。「面白い分数とフォード円」（YouTubeビデオ）。ブレイディ・ハラン。2021年12月21日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2015年6月9日閲覧。