アポロニアンガスケット

数学において、アポロニアン・ガスケットまたはアポロニアン・ネットは、それぞれが他の2つの円に接する3つの円から始まり、さらにそれぞれが他の3つの円に接する円を順次埋めていくことによって生成されるフラクタルです。ギリシャの数学者ペルガのアポロニウスにちなんで名付けられました。^[1]

アポロニウスのガスケットの構築は、3 つの円、、および(図では黒色) から始まります。これらの円はそれぞれ他の 2 つの円に接していますが、三重接点は 1 つもありません。これらの円は互いに異なるサイズであってもよく、2 つが 3 番目の円の内側にあったり、3 つすべてが互いの外側にあったりすることが許されています。アポロニウスが発見したように、元の 3 つの円すべてに接する 2 つの円と(赤色) がさらに存在し、これらはアポロニウスの円と呼ばれます。これらの 5 つの円は、6 つの湾曲した三角形領域によって互いに分離されており、各領域は 3 つの対接円の円弧で囲まれています。構築は、これら 6 つの湾曲した三角形のそれぞれに 1 つずつ、その 3 辺に接する 6 つの円を追加することで続行されます。これにより、さらに 18 個の湾曲した三角形が作成され、これらを再び接円で埋めることで構築が続行され、これを無限に続けます。 ${\displaystyle C_{1}}$${\displaystyle C_{2}}$${\displaystyle C_{3}}$${\displaystyle C_{4}}$${\displaystyle C_{5}}$

このように段階的に続けると、段階 で新しい円が追加され、段階後には合計 個の円が得られます。極限では、この円の集合はアポロニアン ガスケットです。その中で、接する円の各ペアには、ペアの両方の円に接する 無限のパップス円連鎖があります。${\displaystyle 2\cdot 3^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 3^{n+1}+2}$${\displaystyle n}$

新しい円の大きさはデカルトの定理によって決まります。これは、互いに接する任意の 4 つの円について、円の半径が次式に従うという ものです。 この式は、負の半径の解を持つ場合があります。つまり、円の 1 つ (負の半径を持つ円) が他の 3 つの円を囲みます。 この構築の最初の円の 1 つまたは 2 つ、またはこの構築から生じる円は、直線に退化することがあり、これは無限大の半径を持つ円と考えることができます。 線が 2 つある場合、それらは平行でなければならず、無限遠 の点で接していると見なされます。 ガスケットに、軸上とその上に 1 単位の 2 つの線と、軸を中心とする両方の線に接する単位直径の円が含まれる場合、軸に接する円は、数論で重要なフォード円です。 ${\displaystyle r_{i}}$$${\displaystyle \left({\frac {1}{r_{1}}}+{\frac {1}{r_{2}}}+{\frac {1}{r_{3}}}+{\frac {1}{r_{4}}}\right)^{2}=2\left({\frac {1}{r_{1}^{2}}}+{\frac {1}{r_{2}^{2}}}+{\frac {1}{r_{3}^{2}}}+{\frac {1}{r_{4}^{2}}}\right).}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$

アポロニアンガスケットのハウスドルフ次元は約1.3057です。^{[2] [3]}明確に定義された分数次元を持っているため、厳密に自己相似ではありませんが、フラクタルと考えることができます。

平面のメビウス変換は円の形状と接点を保存するため、アポロニアン ガスケットの構造も保存されます。アポロニアン ガスケット内の互いに接する円の 3 つ組は、メビウス変換によって互いにマッピングすることができ、また、任意の 2 つのアポロニアン ガスケットは、メビウス変換によって互いにマッピングすることができます。特に、任意のアポロニアン ガスケット内の任意の 2 つの接円については、接点を中心とする円の反転(メビウス変換の特殊なケース) によって、これらの 2 つの円が 2 本の平行線に変換され、ガスケットの残りの部分が 2 本の平行線の間にあるガスケットの特殊な形に変換されます。これらの反転の合成を使用して、任意の 2 つの接点を互いに変換できます。メビウス変換は双曲面の等長変換でもあるため、双曲幾何学ではすべてのアポロニアン ガスケットは合同です。したがって、ある意味では、（双曲）等長変換を除いて、アポロニアン ガスケットは 1 つしかありません。

アポロニアン・ガスケットは、クライン群として知られるメビウス変換の群の極限集合である。^[4]

一般に、メビウス変換ではなくユークリッド対称変換の場合、アポロニアン ガスケットは 3 つの円の生成セットの対称性を継承します。ただし、一部の円の 3 つ組は、最初の 3 つ組よりも対称性が高いアポロニアン ガスケットを生成することがあります。これは、同じガスケットが、異なる、より対称性の高い生成円のセットを持つ場合に発生します。特に対称的なケースとしては、2 本の平行線の間のアポロニアン ガスケット (無限二面対称)、正三角形内の 3 つの合同な円によって生成されるアポロニアン ガスケット (三角形の対称性)、および半径 2 の円に囲まれた半径 1 の 2 つの円によって生成されるアポロニアン ガスケット (2 本の反射対称線) などがあります。

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  円の曲率（−1, 2, 2, 3）で定義される積分アポロニアン円パッキング
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  円の曲率（−3, 5, 8, 8）で定義される積分アポロニアン円パッキング
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  円の曲率（−12, 25, 25, 28）で定義される積分アポロニアン円パッキング
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  円の曲率（−6, 10, 15, 19）で定義される積分アポロニアン円パッキング
• 
  円の曲率（−10, 18, 23, 27）で定義される積分アポロニアン円パッキング

アポロニアン・ガスケット内の互いに接する任意の 4 つの円がすべて整数曲率(半径の逆数) を持つ場合、ガスケット内のすべての円は整数曲率を持ちます。^[5] アポロニアン・ガスケット内の曲率を関連付ける方程式は、積分かどうかに関係なく、次のようになるため 、新しいマルコフ数 を見つける場合と同様に、 ヴィエタジャンプ によって 1 つの曲率四重奏から別の曲率四重奏に移動することができます。これらの積分アポロニアン・ガスケットの最初のいくつかを次の表に示します。この表には、ガスケット内の最大の円の曲率が示されています。各ガスケットを完全に記述するには、最初の 3 つの曲率 (表に表示されている 5 つの曲率のうち) のみが必要です。他のすべての曲率は、この 3 つから導くことができます。 $${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd,\,}$$

曲率は のときルート四重体（ある整円充填における最小値）である。 のとき原始的である。行列方程式によって 新しい変数セットを定義すると、のときデカルト方程式を満たす 系が得られる。 さらに、のとき原始的であり、のときルート四重体である。^[5]${\displaystyle (a,b,c,d)}$${\displaystyle a<0\leq b\leq c\leq d}$${\displaystyle \gcd(a,b,c,d)=1}$${\displaystyle (x,d_{1},d_{2},m)}$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}a\\b\\c\\d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\-1&1&0&0\\-1&0&1&0\\-1&1&1&-2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\d_{1}\\d_{2}\\m\end{bmatrix}}}$$${\displaystyle (a,b,c,d)}$${\displaystyle x^{2}+m^{2}=d_{1}d_{2}}$${\displaystyle (a,b,c,d)}$${\displaystyle \gcd(x,d_{1},d_{2})=1}$${\displaystyle (a,b,c,d)}$${\displaystyle x<0\leq 2m\leq d_{1}\leq d_{2}}$

この関係は、与えられた負の曲がりを持つすべての原始ルート四重項を見つけるために使用できます。およびからとなり、したがって となります。したがって、任意のルート四重項は を満たします。 、 、および のすべての可能な値を反復処理することにより、すべての原始ルート四重項を見つけることができます。^[6]次のPythonコードは、このアルゴリズムを示しており、上記の原始ルート四重項を生成します。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle 2m\leq d_{1}}$${\displaystyle 2m\leq d_{2}}$${\displaystyle 4m^{2}\leq d_{1}d_{2}}$${\displaystyle 3m^{2}\leq d_{1}d_{2}-m^{2}=x^{2}}$${\displaystyle 0\leq m\leq |x|/{\sqrt {3}}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle d_{1}}$${\displaystyle d_{2}}$

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def  get_primitive_bends ( n :  int ): 
    if  n  ==  0 : 
        yield  0 ,  0 ,  1 ,  1 
        return 
    for  m  in  range ( math . ceil ( n  /  math . sqrt ( 3 )) ): 
        s  =  m ** 2  +  n ** 2 
        for  d1  in  range ( max ( 2  *  m ,  1 ),  math . floor ( math . sqrt ( s ))  +  1 ): 
            d2 ,  remainder  =  divmod ( s ,  d1 ) 
            if  remainder  ==  0  and  math . gcd ( n ,  d1 ,  d2 )  ==  1 : 
                yield  - n ,  d1  +  n ,  d2  +  n ,  d1  +  d2  +  n  -  2  *  m

 nが range ( 15 )の 場合: bendsがget_primitive_bends ( n )の場合: print ( bends )
       
        

原始積分アポロニアン円パッキングに現れる曲率は、24を法とする6つまたは8つの可能な剰余類の集合に属している必要があり、数値的証拠は、これらの剰余類から得られる十分に大きな整数もパッキング内の曲率として存在することを裏付けた。^[7]この予想は局所大域予想として知られ、2023年に誤りであることが証明された。^{[8] [9]}

ガスケットでは、円の曲率に応じて、 複数の種類の二面対称性が発生する可能性があります。

最初の 5 つの曲率がいずれも繰り返されていない場合、ガスケットには対称性が含まれず、対称性グループC ₁で表されます。曲率 (-10、18、23、27) で記述されるガスケットはその一例です。

ガスケット内の最大の 5 つの円のうち 2 つが同じ曲率を持つ場合、そのガスケットはD ₁対称性を持ちます。これは、回転対称性がなく、境界円の直径に沿った反射に対応します。

最初の 5 つの曲率の中で 2 つの異なる曲率が繰り返される場合、ガスケットは D ₂対称性を持ちます。このような対称性は、境界円の直径に沿った 2 つの反射 (互いに垂直) で構成され、180° の 2 回の回転対称性を持ちます。曲率 (-1、2、2、3) で記述されるガスケットは、D ₂対称性を持つ唯一のアポロニアン ガスケットです (スケーリング係数を除く)。

D ₃対称性を持つ整数ガスケットは存在しません。

最も小さい正の曲率を持つ 3 つの円が同じ曲率を持つ場合、ガスケットはD ₃対称性を持ちます。これは、境界円の直径に沿った 3 つの反射 (120° 間隔) と、120° の 3 回の回転対称性に対応します。この場合、境界円の曲率と 3 つの内側の円の曲率の比は 2 √ 3  − 3 です。この比は有理数ではないため、積分アポロニアン円パッキングはどれもこのD ₃対称性を持ちませんが、多くのパッキングはそれに近いものを持っています。

左の図は、D ₃対称性を持つように見える一体型アポロニアン ガスケットです。同じ図が右に表示されていますが、内側の円の曲率を示すラベルが付いており、このガスケットが実際には他の多くの一体型アポロニアン ガスケットに共通するD ₁対称性のみを備えていることがわかります。

次の表には、これらのほぼ- D 3_積分アポロニアン ガスケットがさらにリストされています。このシーケンスには興味深い特性があり、表には曲率の因数分解と、前のセットから現在のセットに移行するために必要な乗数がリストされています。「a」ディスクの曲率の絶対値は、再帰関係 a ( n ) = 4 a ( n − 1) − a ( n − 2) ( OEISのシーケンスA001353 ) に従います。このことから、乗数は√ 3  + 2 ≈ 3.732050807 に収束することがわかります。

n > 0 の任意の整数に対して 、次の曲率で定義されるアポロニアン ガスケットが存在します:
(− n ,  n  + 1,  n ( n  + 1)),  n ( n  + 1) + 1)。
たとえば、(−2, 3, 6, 7)、(−3, 4, 12, 13)、(−8, 9, 72, 73)、(−9, 10, 90, 91) で定義されるガスケットはすべてこのパターンに従います。n  + 1 で定義されるすべての内部円は、別のガスケットの境界円 (− nで定義) になることができるため、これらのガスケットは入れ子にすることができます。これは、 nが2 から 20 まで のこれらの連続したガスケットを含む右の図で示されています。

アポロニアン・ガスケットは、その構造がアポロニウスの問題の解決に依存していることから、ペルガのアポロニウスにちなんで名付けられているが、このガスケットに関する最も古い記述は、1706年にライプニッツがデ・ボスに宛てた手紙の中で述べられている。^{[10]アポロニアン・ガスケットの最初の現代的な定義は、}カスナーとサプニック によって与えられている。 ^[11]

• アポロニアンネットワーク、アポロニアンガスケットの有限部分集合から派生したグラフ
• アポロニアン球パッキング、アポロニアンガスケットの3次元一般化
• シェルピンスキー三角形、相似な組み合わせ構造を持つ自己相似フラクタル

• ブノワ・B・マンデルブロ：自然のフラクタル幾何学、WHフリーマン、1982年、ISBN 0-7167-1186-9 
• Paul D. Bourke: 「アポロニーフラクタル入門」。Computers and Graphics、第 30 巻、第 1 号、2006 年 1 月、134 ～ 136 ページ。
• カスナー、エドワード、サプニック、フレッド (1943) 「アポロニアン円パッキング」米国科学アカデミー紀要29 : 378–384 。
• AA キリロフ：2つのフラクタルの物語、ビルクハウザー、2013 年。
• デイヴィッド・マンフォード、キャロラインシリーズ、デイヴィッド・ライト：インドラの真珠：フェリックス・クラインのビジョン、ケンブリッジ大学出版局、2002年、ISBN 0-521-35253-3 
• Jeffrey C. Lagarias、Colin L. Mallows、Allan R. Wilks:デカルトの円定理を超えて、アメリカ数学月刊誌、第 109 巻、第 4 号 (2002 年 4 月)、pp. 338–361、(arXiv:math.MG/0101066 v1 2001 年 1 月 9 日)

Wikibookフラクタルには、アポロニアンフラクタルに関するページがあります。

• Weisstein、Eric W.「アポロニアン ガスケット」。MathWorld。
• アレクサンダー・ボゴモーリニー、アポロニアン・ガスケット、カット・ザ・ノット
• Wayback Machineの純粋な HTML5 で動作するインタラクティブなアポロニアン ガスケット(2011-05-02 アーカイブ)
• 円反転を使用してn 個の同一円で 2D アポロニアン ガスケットをプロットする Matlab スクリプト。2008-10-07 にWayback Machineでアーカイブ済み。
• JSXGraph を使ったオンライン実験
• Michael Screiber によるApollonian Gasket、Wolfram Demonstrations Project。
• インタラクティブなアポロニアンガスケットJava 上で動作するアポロニアンガスケットのデモンストレーション
• ダナ・マッケンジー。「コンピューティング サイエンス: ティスケット、タスケット、アポロニアン ガスケット」。American Scientist、2010 年 1 月/2 月号。
• 「砂絵、世界最大の単一アート作品」、テ​​レグラフ、2009年12月16日外周が 9 マイルの部分的なアポロニウスのガスケットの形をした芸術作品に関する新聞記事。
• ダイナミック アポロニアン ガスケット、ジョルジョ ピエトロコラ作「タルタペラゴ」、2014 年。(イタリア語)