シュタイナーチェーン

幾何学において、シュタイナー連鎖とは、与えられた 2 つの交差しない円(図 1 の青と赤)に接するn個の円の集合であり、 n は有限であり、連鎖内の各円は連鎖内の前の円と次の円に接する。通常の閉じたシュタイナー連鎖では、最初と最後の ( n番目) 円も互いに接しているが、対照的に、開いたシュタイナー連鎖では、必ずしもそうである必要はない。与えられた円αとβ は交差しないが、それ以外は制約がなく、小さい方の円は大きい方の円の完全に内側または外側に位置することができる。これらの場合、シュタイナー連鎖の円の中心は、それぞれ楕円または双曲線上に位置する。

シュタイナー鎖は、19 世紀に鎖を定義し、その多くの特性を発見したヤコブ・シュタイナーにちなんで名付けられました。基本的な結果は、シュタイナーのポリズムであり、次のように述べてい ます。

与えられた2つの円αとβに対して、少なくとも1つのn個の円の閉じたシュタイナー連鎖が存在する場合、 n個の円の閉じたシュタイナー連鎖は無限に存在し、同じようにαとβに接する任意の円^[a]はそのような連鎖のメンバーです。

円反転法はシュタイナー鎖を扱う際に有用である。反転は接点、角度、円を保存するため、1 つのシュタイナー鎖を同じ数の円の別の鎖に変換する。反転の 1 つの特定の選択は、与えられた円αとβ を同心円に変換する。この場合、シュタイナー鎖のすべての円は同じサイズになり、ボール ベアリングのように円の間の環状空間で「回転」できる。この標準構成により、シュタイナー鎖のいくつかの特性を導き出すことができる。たとえば、接点は常に円上にある。シュタイナー鎖の一般化はいくつか存在し、最も有名なのはソディのヘクスレットとパップス鎖である。^[1]

• 内部/外部の接線が異なるシュタイナーチェーン
• 
  このシュタイナー連鎖の 7 つの円 (黒) は、内側の与えられた円 (赤) に外部接していますが、外側の与えられた円 (青) に内部接しています。
• 
  このシュタイナー連鎖の 7 つの円 (黒) は、互いの外側にある 2 つの与えられた円 (赤と青) に外接しています。
• 
  このシュタイナー連鎖の 8 つの円 (黒) のうち 7 つは、両方の与えられた円 (赤と青) に外部接しており、8 番目の円は両方の円に内部接しています。

2 つの与えられた円αとβ は交差できません。したがって、小さい方の与えられた円は、大きい方の円の内側か外側にある必要があります。円は通常、小さい方の与えられた円が大きい方の円の内側にある環状として示されます。この構成では、シュタイナー連鎖の円は、内側の与えられた円に外接し、外側の円に内接します。ただし、小さい方の円が大きい方の円の完全に外側にある場合もあります (図 2)。図 2 の黒い円は、閉じたシュタイナー連鎖の条件を満たしています。つまり、すべての円が 2 つの与えられた円に接し、それぞれが連鎖内の隣接する円に接しています。この構成では、シュタイナー連鎖の円は、両方の与えられた円に対して同じ種類の接線を持ち、両方に外接または内接します。 2 つの与えられた円が 1 点で接する場合、シュタイナー連鎖は無限パップス連鎖になります。これは、3 つの円で作られた幾何学的図形であるアルベロス(靴屋のナイフ)の文脈でよく説明されます。2 つの与えられた円に接し、2 点で交差する一連の円には、一般的な名前はありません。

• 閉環、開環、多環シュタイナー鎖
• 
  9 つの円からなる閉じたシュタイナー連鎖。1 番目と 9 番目の円は接しています。
• 
  9 つの円からなるオープン シュタイナー チェーン。1 番目と 9 番目の円は重なり合っています。
• 
  2 回のラップで 17 個の円から成る多巡回シュタイナー連鎖。1 番目と 17 番目の円は接しています。

与えられた 2 つの円αとβ はシュタイナー連鎖のn 個の円に接していますが、シュタイナー連鎖の各円C _kはα、β、およびその 2 つの隣接円C _{k −1}とC _{k +1の 4 つの円にのみ接しています。デフォルトでは、シュタイナー連鎖は}閉じている、つまり最初の円と最後の円が互いに接していると想定されています。対照的に、開いたシュタイナー連鎖では、最初の円C ₁と最後の_円は互いに接しておらず、これらの円は3 つの円にのみ接しています。多環式シュタイナー連鎖は、閉じる前、つまり最初の円に接する前に、内側の円を複数回巻きます。

閉じたシュタイナー連鎖は、双錐体の円充填定理表現として得られる円のシステムです。

• 環状シュタイナー鎖
• 
  3 の場合
• 
  6件
• 
  9件
• 
  12人
• 
  20人

最も単純なタイプのシュタイナー連鎖は、半径rの内接円を囲むn個の等しい大きさの円の閉じた連鎖です。円の連鎖自体が、半径Rの外接円に囲まれています。内接円と外接円は同心円で、シュタイナー連鎖の円はそれらの間の環状部にあります。対称性により、シュタイナー連鎖の円の中心間の角度 2 θは 360°/ nです。シュタイナー連鎖の円は互いに接しているため、中心間の距離はそれらの半径の合計、ここでは半径ρの 2 倍に等しくなります。二等分線 (図の緑色) は、中心角θ = 180°/ nの 2 つの直角三角形を作成します。この角度の正弦は、その反対側の線分の長さを直角三角形の斜辺で割ったものとして表すことができます 。

${\displaystyle \sin \theta ={\frac {\rho }{r+\rho }}}$

θはnから分かるので、これはシュタイナー連鎖円の 未知の半径ρに対する方程式を与える。

${\displaystyle \rho ={\frac {r\sin \theta }{1-\sin \theta }}}$

シュタイナー連鎖円と内側および外側の与えられた円の接点は、共通の中心を通る線上にあります。したがって、外側の半径はR = r + 2 ρです。

これらの式は、与えられた2つの同心円に対するシュタイナー連鎖の実現可能性の基準を提供します。n個の円の閉じたシュタイナー連鎖では、与えられた円の半径の比R / rが正確に等しい ことが必要です。

${\displaystyle {\frac {R}{r}}=1+{\frac {2\sin \theta }{1-\sin \theta }}={\frac {1+\sin \theta }{1-\sin \theta }}=\left[\sec \theta +\tan \theta \right]^{2}}$

以下に示すように、この同心円の半径比の基準は、 2つの円の逆距離 δによってすべての種類の円に拡張できます。同心円の場合、この距離は半径比の対数として定義されます。

${\displaystyle \delta =\ln {\frac {R}{r}}}$

同心円の解法を用いると、n個の円からなるシュタイナー連鎖の一般的な基準は次のように書ける。

${\displaystyle \delta =2\ln \left(\sec \theta +\tan \theta \right).}$

多環式環状シュタイナー鎖が合計n個の円を持ち、閉じる前にm回巻き付く場合、シュタイナー鎖の円の間の角度は

${\displaystyle \theta ={\frac {m}{n}}180^{\circ }}$

その他の点では、実現可能性の基準は変更されていません。

• シュタイナー鎖の反転特性
• 
  両方の与えられた円に内部接し、その中心が与えられた円の中心と同一線上にある 2 つの円 (ピンクとシアン) が、角度 2 θで交差します。
• 
  反転すると、これらの線と円は同じ交差角 2 θを持つ円になります。金色の円は 2 つの与えられた円と直角、つまり直交して交差します。
• 
  シュタイナー連鎖円の相互接点を通る円は、2つの与えられた円に直交し、角度2 θの倍数で互いに交差します。
• 
  シュタイナー連鎖円と2つの与えられた円の接点を通る円は後者に直交し、角度2 θの倍数で交差します。

円反転は、 1 つのシュタイナー連鎖を同じ数の円を持つ別のシュタイナー連鎖に変換します。

変換された連鎖では、シュタイナー連鎖の隣接する円の間の接点はすべて円、つまり 2 つの固定された同心円の中間にある同心円上にあります。接点と円は反転しても保持されるため、すべての接点が円上に存在するというこの特性は、元の連鎖でも当てはまります。この特性は、シュタイナー連鎖の特別な極限ケースとして解釈できるパップス円連鎖にも共通しています。

変換されたチェーンでは、 Oからシュタイナーチェーンの円までの接線は、等しい角度で分離されます。元のチェーンでは、これは、元の円を同心円のペアに変換するために使用された反転の中心を通過する接線円間の等しい角度に対応します。

変換された連鎖では、シュタイナー円と同心円の接点のペアを結ぶn 本の直線はすべて共通の中心Oを通ります。同様に、シュタイナー連鎖内の隣接する円の各ペアに接するn本の直線もOを通ります。反転の中心を通る直線は反転しても不変であり、反転しても接点と一致は維持されるため、元の連鎖の対応する点を結ぶ 2 n本の直線も単一の点Oを通ります。

交差しない 2 つの円の間のシュタイナー連鎖は、常に、2 つの同心円に挟まれた同じ大きさの円の別のシュタイナー連鎖に変換できます。したがって、このようなシュタイナー連鎖は、変換された連鎖を変換された境界円の共通の中心であるO を中心に回転させることによって関連付けられる、無限のシュタイナー連鎖の族に属します。

シュタイナー連鎖の円の中心は円錐曲線上にあります。たとえば、小さい方の与えられた円が大きい方の円の内側にある場合、中心は楕円上にあります。これは、一方の与えられた円に内接し、もう一方の与えられた円に外接する任意の円集合に当てはまります。このような円系は、パップス連鎖、アポロニウスの問題、および 3 次元のソディの六角形に現れます。同様に、シュタイナー連鎖のいくつかの円が両方の与えられた円に外接する場合、その中心は必ず双曲線上にあります。一方、両方に内接する円は別の双曲線上にあります。

シュタイナー連鎖の円は、2 つの固定円 (ここではαとβで表されます。ここでβ はαに囲まれています ) に接しています。これら 2 つの円の半径をそれぞれr _αとr _βで表し、それぞれの中心を点Aと点Bとします。シュタイナー連鎖のk^番目の円の半径、直径、中心点をそれぞれr _k、d _k、P _kで表します。

シュタイナー連鎖の円の中心はすべて、共通の楕円上に位置する。その理由は次の通りである。^[2]シュタイナー連鎖のk^番目の円の中心点から固定円の2つの中心AとBまでの距離の合計は、定数である。

${\displaystyle {\overline {\mathbf {P} _{k}\mathbf {A} }}+{\overline {\mathbf {P} _{k}\mathbf {B} }}=(r_{\alpha }-r_{k})+\left(r_{\beta }+r_{k}\right)=r_{\alpha }+r_{\beta }}$

したがって、シュタイナー連鎖のすべての円の中心について、AとBまでの距離の合計は同じ定数r _α  +  r _βに等しくなります。これにより、シュタイナー連鎖を挟む 円αとβ の中心である点Aと点Bが 2 つの焦点となる楕円が定義されます。

焦点までの距離の合計は楕円の長半径 aの2倍に等しいので、

${\displaystyle 2a=r_{\alpha }+r_{\beta }}$

p を焦点AとBの間の距離とすると、離心率 eは2 ae = pで定義されます。

${\displaystyle e={\frac {p}{2a}}={\frac {p}{r_{\alpha }+r_{\beta }}}}$

これらのパラメータから、半短軸 bと半大直腸 Lを決定することができる。

${\displaystyle b^{2}=a^{2}\left(1-e^{2}\right)=a^{2}-{\frac {p^{2}}{4}}}$

${\displaystyle L={\frac {b^{2}}{a}}=a-{\frac {p^{2}}{4a}}}$

したがって、楕円は焦点までの 距離dに関する方程式で記述することができる。

${\displaystyle d={\frac {L}{1-e\cos \theta }}}$

ここで、θ は2 つの焦点を結ぶ線との角度です。

• n  = 4の共役シュタイナー鎖
• 
  2 つの与えられた円が赤と青で表示されたシュタイナー連鎖。
• 
  同じ円のセットですが、与えられた円の選択が異なります。
• 
  同じ円のセットですが、与えられた円の選択肢がさらに異なります。

シュタイナー鎖に偶数の円がある場合、鎖内の任意の2つの正反対の円は、元の円が属する新しいシュタイナー鎖の2つの与えられた円としてとらえることができます。元のシュタイナー鎖にmラップのn個の円があり、新しい鎖にqラップのp個の円がある場合、方程式は成り立ちます。

${\displaystyle {\frac {m}{n}}+{\frac {p}{q}}={\frac {1}{2}}.}$

簡単な例として、4 つの円 ( n  = 4) と 1 つのラップ ( m  = 1) のシュタイナー連鎖が挙げられます。この場合、与えられた円とシュタイナー連鎖の円は、両方の種類の円が他の 4 つの円に接している点で同等です。より一般的には、シュタイナー連鎖の円は 4 つの円に接しますが、2 つの与えられた円はn 個の円に接します。この場合、シュタイナー連鎖の反対の要素の任意のペアは、元の与えられた円を含む別のシュタイナー連鎖の与えられた円として選択できます。m  =  p  = 1 およびn  =  q  = 4 なので、シュタイナーの方程式は満たされます。

${\displaystyle {\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}={\frac {1}{2}}.}$

シュタイナー連鎖の最も単純な一般化は、与えられた円が互いに接触または交差できるようにすることです。前者の場合、これは無限の数の円を持つ パップス連鎖に対応します。

ソディのヘクスレットは、6 つの円からなるシュタイナー連鎖の 3 次元一般化です。6 つの球 (ヘクスレット)の中心は、対応するシュタイナー連鎖の中心と同じ楕円に沿って移動します。ヘクスレット球のエンベロープは、トーラスの反転であるデュパンサイクライドです。6 つの球は、内側と外側の球に接しているだけでなく、ヘクスレット中心の平面の上下に中心がある他の 2 つの球にも接しています。

シュタイナー鎖の多重リングは、別の一般化です。通常のシュタイナー鎖は、2 つの同心円で囲まれた接円の環状鎖を反転することで得られます。これは、接円の環状鎖を挟む 3 つ以上の同心円を反転することに一般化できます。

階層的シュタイナー鎖は、さらに別の一般化です。通常のシュタイナー鎖の 2 つの与えられた円が入れ子になっている場合、つまり、一方が他方の中に完全に収まっている場合、大きい方の与えられた円はシュタイナー鎖の円に外接します。階層的シュタイナー鎖では、シュタイナー鎖の各円は、それ自体がその中にある別のシュタイナー鎖の外接する与えられた円です。このプロセスは無限に繰り返され、フラク​​タルを形成します。

• ポンセレポリズム
• フォードサークル
• アポロニアンガスケット

• オグルヴィ、CS （1990）。幾何学の遠足。ドーバー。pp.51-54。ISBN 0-486-26530-7。
• Coxeter, HSM ; Greitzer, SL (1967)。Geometry Revisited。New Mathematical Library。第19巻。ワシントン：MAA。pp . 123–126, 175–176, 180。ISBN 978-0-88385-619-2.ZBL0166.16402  。​
• ジョンソン RA (1960)。『上級ユークリッド幾何学: 三角形と円の幾何学に関する初等論文』 (1929 年版の Houghton Mifflin 編集の再版)。ニューヨーク: Dover Publications。pp. 113–115。ISBN 978-0-486-46237-0。
• ウェルズ D (1991)。ペンギン辞典『不思議で興味深い幾何学』。ニューヨーク: ペンギンブックス。pp. 244–245。ISBN 0-14-011813-6。

• Eves H (1972)。『幾何学概論』（改訂版）。ボストン：アリン＆ベーコン。pp. 134–135。ISBN 978-0-205-03226-6。
• Pedoe D (1970)。大学のための幾何学講座。ケンブリッジ大学出版局。pp. 97–101。ISBN 978-0-521-07638-8。
• Coolidge JL (1916)。円と球に関する論文。オックスフォード: クラレンドン・プレス。pp. 31–37。

ウィキメディア・コモンズには、シュタイナー鎖に関連するメディアがあります。

• Weisstein、Eric W.「シュタイナー連鎖」。MathWorld。
• シュタイナーチェーンのインタラクティブアニメーション、CodePen
• Michael Borcherds によるインタラクティブ アプレット。GeoGebra で作成された可変数の円を含む Steiner's Chain のアニメーションを表示します。