ユークリッド平面等長変換

反射、または鏡面等長変換は、 F _c、vで表され、ここでcは平面上の点、 vはR ²の 単位ベクトルです。（ Fは「反転」を意味します。）点pを、 vに垂直でcを通る直線Lに関して反射させる効果があります。直線Lは反射軸または関連する鏡と呼ばれます_{。F c、v}の式を見つけるには、まずドット積を使用して、p − cのv方向の成分t を求めます。

$${\displaystyle t=(pc)\cdot v=(p_{x}-c_{x})v_{x}+(p_{y}-c_{y})v_{y},}$$

そして、減算によってpの反射を得ます。

$${\displaystyle F_{c,v}(p)=p-2tv.}$$

原点を中心とした回転と原点を通る直線に関する鏡映の組み合わせは、直交群O (2) を形成するすべての直交行列 (すなわち、行列式が 1 と -1 の行列) によって得られます。行列式が -1 の場合、次のようになります。

$${\displaystyle R_{0,\theta }(p)={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\\sin \theta &\mathbf {-} \cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\end{bmatrix}}.}$$これは、 x軸 に関する鏡映とそれに続く角度θの回転、あるいは同等に、 x軸とθ /2の角度をなす直線に関する鏡映です。平行線に関する鏡映は、それに垂直なベクトルを加えることに相当します。

平行移動はT _vと表記され、 vはR ²のベクトルであり、平面をvの方向に移動させる効果があります。つまり、平面上の任意の点pに対して、

$${\displaystyle T_{v}(p)=p+v,}$$

または ( x , y )座標で表すと、

$${\displaystyle T_{v}(p)={\begin{bmatrix}p_{x}+v_{x}\\p_{y}+v_{y}\end{bmatrix}}.}$$

平行移動は、2つの平行な鏡映の合成と考えることができる。

回転はR _c,θで表され、 cは平面上の点（回転の中心）、θ は回転角です。座標の観点から見ると、回転は 2 つの操作に分解することで最も簡単に表現できます。まず、原点を中心とした回転は次のように表されます。

$${\displaystyle R_{0,\theta }(p)={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\end{bmatrix}}.}$$

これらの行列は直交行列です（つまり、それぞれが正方行列Gであり、その転置行列は逆行列です。つまり、${\displaystyle GG^{T}=G^{T}G=I_{2}.}$)、行列式は 1 です (直交行列のもう 1 の可能性は −1 で、これは鏡像になります。下記参照)。これらは特殊直交群SO(2) を形成します。

cを中心とした回転は、まずc を原点に平行移動し、次に原点を中心とした回転を行い、最後に原点をcに戻すことによって実現できます。つまり、

$${\displaystyle R_{c,\theta }=T_{c}\circ R_{0,\theta }\circ T_{-c},}$$

言い換えれば、

$${\displaystyle R_{c,\theta }(p)=c+R_{0,\theta }(p-c).}$$

あるいは、原点を中心とした回転を行った後、平行移動を行う。

$${\displaystyle R_{c,\theta }(p)=c-R_{0,\theta }c+R_{0,\theta }(p).}$$

回転は、平行でない2つの鏡映の合成として考えることができる。

並進と回転の集合は、剛体運動または剛体変位と呼ばれる。この集合は合成によって群を形成し、剛体運動群と呼ばれる。剛体運動群は、ユークリッド等長変換群全体の部分群である。

すべり反射は、 G _c、v、wで表され、ここでcは平面上の点、 vはR ²の単位ベクトル、 wはvに垂直な零でないベクトルです。すべり反射は、 cとvによって記述される直線に関する反射と、それに続くwに沿った平行移動の組み合わせです。つまり、

$${\displaystyle G_{c,v,w}=T_{w}\circ F_{c,v},}$$

言い換えれば、

$${\displaystyle G_{c,v,w}(p)=w+F_{c,v}(p).}$$

（また、

$${\displaystyle G_{c,v,w}(p)=F_{c,v}(p+w);}$$

つまり、平行移動と鏡映を逆の順序で行っても同じ結果が得られるということである。

あるいは、行列式が-1の直交行列（原点を通る直線に関する鏡映に対応）を乗じ、続いて平行移動を行う。これはすべり鏡映であるが、平行移動が鏡映線に垂直な特殊な場合を除いては、この組み合わせ自体が平行線に関する鏡映となる。

すべての点pに対してI ( p ) = pと定義される恒等等長変換は、平行移動の特殊な場合であり、回転の特殊な場合でもあります。これは、上述の複数のタイプに属する唯一の等長変換です。

すべての場合において、位置ベクトルに直交行列を乗算し、ベクトルを加算します。行列式が1の場合は回転、平行移動、または恒等変換となり、−1​​の場合はすべり鏡映または鏡映となります。

テーブルから紙を一枚取ってランダムに元に戻すような「ランダムな」等長変換は、「ほぼ確実に」回転またはすべり鏡映（自由度が3つ）です。これは、θと追加ベクトルの方向が独立かつ一様分布し、追加ベクトルの長さが連続分布している限り、確率分布の詳細に関係なく適用されます。純粋な平行移動と純粋な鏡映は自由度が2つしかない特殊なケースであり、恒等変換はさらに特殊で自由度がありません。

ユークリッド平面では、以下の可能性が考えられます。

• [ d  ] アイデンティティ

同じ鏡に2回反射すると、それぞれの点が元の位置に戻ります。すべての点は固定されたままです。同じ鏡を2枚組み合わせれば、同じ効果が得られます。

• [ d b ] 反射

アリスが鏡の国で発見したように、一枚の鏡によって左右の手が入れ替わります。（厳密に言えば、位相的な向きが反転します。）鏡上の点は固定されたままです。それぞれの鏡は独自の効果を持っています。

• [ d p ] 回転

互いに交差する2枚の鏡は、共通の一点を持ち、その点は固定されたままです。他のすべての点は、その点を中心に、鏡間の角度の2倍だけ回転します。同じ固定点と角度を持つ2枚の鏡は、正しい順序で使用すれば、常に同じ回転を生み出します。

• [ d d ] 翻訳

交差しない2枚の鏡は平行でなければなりません。すべての点は、鏡間の距離の2倍の距離だけ、同じ方向に移動します。固定された点は存在しません。同じ平行方向で同じ距離にある2枚の鏡は、正しい順序で使用すれば、同じ並進運動を与えます。

• [ d q ] すべり反射

3枚の鏡。もし3枚すべてが平行であれば、効果は1枚の鏡と同じになります（2枚をスライドさせて3枚目を打ち消します）。そうでない場合は、2枚が平行で、3枚目がそれらに垂直な同等の配置を見つけることができます。効果は、鏡面反射と鏡面に平行な平行移動を組み合わせたものです。固定された点は残りません。

鏡の数を増やしても、（平面上での）可能性が増えるわけではない。なぜなら、鏡は常に再配置して打ち消し合うようにできるからだ。

次の表に示すように（恒等写像は除く）、手を保存するか交換するか、少なくとも1つの固定点を持つかどうかによって、これらの等長写像のうちどれであるかを識別できます。

奇数個の鏡を必要とする等長変換（反射とすべり反射）は、常に左右が反転します。偶数個の鏡を必要とする等長変換（恒等変換、回転変換、平行移動）は決して左右が反転しません。これらは剛体運動に対応し、等長変換の完全なユークリッド群の正規部分群を形成します。完全な群も偶数部分群も可換群ではありません。例えば、2枚の平行な鏡の合成順序を反転すると、それらが生成する平行移動の方向が反転します。

偶数部分群は正規群であるため、商群への準同型の核となり、商群は鏡映と恒等写像からなる群と同型である。しかし、完全群は偶数部分群と商群の直積ではなく、半直積にすぎない。

等長変換の合成では、さまざまな方法で種類が混ざり合います。恒等変換は、2 つの鏡面または鏡面なしのどちらかと考えることができます。どちらの場合も、合成には影響しません。また、2 つの鏡面は、平行移動または回転、あるいは恒等変換 (自明な方法で両方) のいずれかを与えます。これらのどちらかと合成された鏡面は、単一の鏡面まで相殺される可能性があります。そうでない場合は、利用可能な唯一の 3 つの鏡面等長変換であるすべり鏡面が得られます。一対の平行移動は常に単一の平行移動に還元されます。したがって、難しいケースは回転です。回転と回転または平行移動のいずれかと合成された回転は、偶数等長変換を生成することがわかっています。平行移動との合成は、別の回転 (同じ量で、固定点が移動) を生成しますが、回転との合成は、平行移動または回転のいずれかを生成する可能性があります。2 つの回転の合成は回転を生成するとよく言われ、オイラーは3 次元でその効果の定理を証明しましたが、これは固定点を共有する回転にのみ当てはまります。

こうして、2種類の新しい等長部分群が得られます。それは、すべての平行移動と、固定点を共有する回転です。どちらも偶数部分群の部分群であり、その中で平行移動は正規です。平行移動は正規部分群なので、それらを因数分解して、固定点を持つ等長部分群、つまり直交群を残すことができます。

部分群構造は、任意の等長変換を構成する別の方法を示唆している。

固定点を選び、その点を通る鏡を選びます。

1. 等長変換が奇数の場合は鏡像を使用し、そうでない場合は使用しない。
2. 必要に応じて、固定点を中心に回転させてください。
3. 必要であれば翻訳してください。

これは、平行移動が等長変換の全体群の正規部分群であり、商群が直交群であること、そして固定点周りの回転が直交群の正規部分群であり、商群が単一の鏡映であることによる。

これまで議論してきた部分群は無限であるだけでなく、連続でもあります（リー群）。少なくとも 1 つの非ゼロ並進を含む部分群は無限でなければなりませんが、直交群の部分群は有限である可能性があります。たとえば、正五角形の対称性は、72° (360° / 5) の整数倍による回転と、辺を垂直に二等分する 5 つの鏡による反射から構成されます。これは 10 個の要素を持つ群 D ₅です。反射を省略した半分のサイズの部分群 C _{5があります。これら 2 つの群は、任意の}n > 1に対して、 2 つの族 D _nと C _nのメンバーです。これらの族は一緒にロゼット群を構成します。

平行移動はそれ自体に折り返されることはないが、任意の有限平行移動の整数倍、またはそのような独立した2つの平行移動の整数倍の和を部分群として取ることができる。これらは平面の周期的なタイル張りの格子を生成する。

また、固定点周りの離散的な回転と鏡映、および離散的な並進という2種類の離散群を組み合わせることで、フリーズ群と壁紙群を生成することもできます。興味深いことに、離散的な並進と互換性のある固定点群はごくわずかしか見つかりません。実際、格子互換性は非常に厳しい制約を課すため、同型を除いて、異なるフリーズ群は7種類、異なる壁紙群は17種類しかありません。例えば、五角形の対称性D5_{は、離散的な並進格子とは互換性がありません。（各高次元にもこのような}結晶学的群は有限個しかありませんが、その数は急速に増加します。例えば、3Dには230個、4Dには4783個の群があります。）