デカルトの定理

幾何学におけるデカルトの定理は、互いに接する4 つの円ごとに、円の半径が特定の二次方程式を満たすことを述べています。この方程式を解くことで、互いに接する 3 つの円に接する 4 番目の円を作成できます。この定理は、1643 年にこれを述べたルネ デカルトにちなんで名付けられました。

フレデリック・ソディの 1936 年の詩「The Kiss Precise 」では、この定理が4 つの円 の曲がり具合 (符号付きの逆半径)の観点から要約されています。

4つの曲線の二乗の合計は、
その合計の二乗の半分である^[1]

1 つまたは 2 つの円が直線 (曲がりがゼロ) に置き換えられた場合、または曲がりが整数または平方数である場合に、定理の特別なケースが適用されます。複素数を使用する定理のバージョンでは、円の半径だけでなく、円の中心を計算できます。曲率を適切に定義すると、定理は球面幾何学と双曲幾何学にも適用されます。より高次元では、類似の二次方程式が、一対の接球または超球のシステムに適用されます。

接線円に関する幾何学の問題は、何千年もの間考えられてきた。紀元前3世紀の古代ギリシャでは、ペルガのアポロニオスがこの問題に丸々1冊の本を捧げた。 『接線』である。この本は失われており、アレクサンドリアのパップスによる内容の記述や中世イスラム数学における断片的な言及を通じて主に知られている。^[2]しかし、ギリシャの幾何学は主に定規とコンパスを使った作図に焦点を当てていた。例えば、デカルトの定理に密接に関連するアポロニオスの問題では、3つの与えられた円に接する円を作図するよう求めているが、それらの円は必ずしも接している必要はない。^[3]その代わりに、デカルトの定理は、幾何学的形状を記述する数の間の代数的関係を用いて定式化されている。これは、 17世紀前半にルネ・デカルトとピエール・ド・フェルマーが開拓した分野である解析幾何学の特徴である。 ^[4]

デカルトは1643年にプファルツのエリザベート王女に宛てた2通の手紙の中で、接円問題について簡単に論じている。^[5]デカルトは最初、アポロニウスの問題を王女に提起した。エリザベートの部分的な結果から、問題全体を解析的に解くのは面倒すぎることが明らかになった後、彼は3つの与えられた円が互いに接している場合に問題を単純化し、この単純化された問題を解く過程で、4つの接円の半径または曲率の関係を表す式を導き出した。この結果はデカルトの定理として知られるようになった。^{[6] [7]}デカルトはこの関係を見出した理由を説明しなかった。^[8]

日本の数学では円とその接線に関する問題がよく扱われており、^[9]日本の数学者山路主澄は1751年にデカルトの円定理の一種を述べた。デカルトと同様に、彼は円の曲率ではなく半径に関する多項式方程式として円定理を表現した。^{[10] [11]}この定理の1本の直線と3つの円に関する特別なケースは、1824年の日本の算額に記録されている。 ^[12]

デカルトの定理は1826年にヤコブ・シュタイナー^[13]、1842年にフィリップ・ビークロフト^[14]、1936年にフレデリック・ソディによって再発見された。ソディは定理の彼自身のバージョンを詩「The Kiss Precise」の形式にし、Nature誌に発表した。この問題のキスする円はソディ円と呼ばれることもある。ソディはまた定理を球体に拡張し^[1]、別の詩では6つの球がそれぞれ隣の球と接し、さらに3つの互いに接する球に接する連鎖を描写した。この構成は現在ソディのヘクスレットと呼ばれている。^{[15] [16]} ソロルド・ゴセットと他の数人は定理と詩を任意の次元に拡張し、ゴセットのバージョンは翌年に発表された。^{[17] [18]}この一般化はソディ・ゴセット定理と呼ばれることもあるが^[19]、六角形と3次元バージョンは以前から算額や1886年のロバート・ラクランの研究で知られていた。^{[12] [20] [21]}

この定理の証明は複数発表されている。シュタイナーの証明ではパップス鎖とヴィヴィアーニの定理が使われている。フィリップ・ビークロフトとHSMコクセターの証明では、さらに4つの円が用いられ、元の3つの円の接点の3つを通る。コクセターは反転幾何学を使った証明も提供している。追加の証明では対称性に基づく議論、外積代数の計算、またはヘロンの公式の代数的操作（三角形のソディ円の項を参照）が用いられる。^{[22] [23]この結果は、4つの共面円の中心の}ケーリー・メンガー行列式がゼロであることからも導かれる。^[24]

デカルトの定理は、円の曲率で表現すると最も簡単に述べられる。^[25]円の符号付き曲率（または曲がり）は と定義され、${\displaystyle k=\pm 1/r}$は半径である。円が大きいほど、その曲率の大きさは小さくなり、逆もまた同様である。 の符号（記号で表される）は、他の円に外接する円の場合は正である。他の円に外接する内接円の場合は、符号は負である。直線が曲率ゼロ（したがって半径は無限大）の退化した円であると考えられる場合、デカルトの定理は、3つの円が互いに接する直線と3つの円にも当てはまる（一般化された円を参照）。^[1]${\displaystyle r}$${\displaystyle k=\pm 1/r}$${\displaystyle \pm}$

6 つの異なる点で互いに接し、曲率が である 4 つの円について、デカルトの定理は次のようになります。 ${\displaystyle k_{i}}$ ${\displaystyle i=1,\dots ,4}$

4つの曲率のうち1つを変数とし、残りを定数とすると、これは2次方程式となる。与えられた3つの接線円に接する4番目の円の半径を求めるには、この2次方程式を次のように解くことができる^{[13] [26]}

記号は、一般にこの方程式には2つの解があり、接円の3つ組には2つの接円（または退化した直線）があることを示しています。問題固有の基準により、特定の問題において、これら2つの解のうちの1つが他の解よりも優先される場合があります。^[22]${\displaystyle \pm}$

この定理は、2つ以上の円が同じ点で互いに接している円系には適用されません。この定理では、接点が明確に区別できることが求められます。^[8] 2つ以上の円が1点で接している場合、任意の曲率を持つそのような円は無限に存在する可能性があります。円の束を参照してください。^[27]

円を完全に決定するには、その半径（または曲率）だけでなく、中心も知っておく必要があります。関連する方程式は、直交座標を 複素数として解釈すると最も明確に表現されます。方程式はデカルトの定理に似ているため、複素デカルトの定理と呼ばれます。 の曲率と中心を持つ4 つの円を考えると、方程式 (1)に加えて次の等式が成り立ちます。 ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle z=x+iy}$${\displaystyle k_{i}}$${\displaystyle z_{i}}$ ${\displaystyle i\in \{1,2,3,4\}}$

式(2)を使って が見つかったら、式(3)を2次方程式として解いて計算を進め、式(2)に似た形を得ることができます。 ${\displaystyle k_{4}}$${\displaystyle z_{4}}$

$${\displaystyle z_{4}={\frac {z_{1}k_{1}+z_{2}k_{2}+z_{3}k_{3}\pm 2{\sqrt {k_{1}k_{2}z_{1}z_{2}+k_{2}k_{3}z_{2}z_{3}+k_{1}k_{3}z_{1}z_{3 }}}}{k_{4}}}.}$$

再び、一般に には の 2 つの解があり、それぞれ の2 つの解に対応しています。${\displaystyle z_{4}}$の上記式のプラス/マイナス記号は、の式のプラス/マイナス記号と必ずしも対応しません。^{[19] [28] [29]}${\displaystyle k_{4}}$${\displaystyle z_{4}}$${\displaystyle k_{4}}$

4つの円のうち3つが合同な場合、それらの中心は正三角形を形成し、それらの接点も同様に正三角形を形成する。3つの円すべてに接する4つ目の円の2つの可能性は同心円であり、式（2）は^[30]に簡約される。

$${\displaystyle k_{4}=(3\pm 2{\sqrt {3}})k_{1}.}$$

3つの円のうち1つを残りの円に接する直線に置き換えると、その曲率は0となり、式(1)から外れる。例えば、 の場合、${\displaystyle k_{3}=0}$式(1)は次のように因数分解できる^[31]。

$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\bigl (}{\sqrt {k_{1}}}+{\sqrt {k_{2}}}+{\sqrt {k_{4}}}}{\bigr )}{\bigl (}{{\sqrt {k_{2}}}+{\sqrt {k_{4}}}-{\sqrt {k_{1}}}}{\bigr )}\\[3mu]&\quad {}\cdot {\bigl (}{\sqrt {k_{1}}}+{\sqrt {k_{4}}}-{\sqrt {k_{2}}}{\bigr )}{\bigl (}{\sqrt {k_{1}}}+{\sqrt {k_{2}}}-{\sqrt {k_{4}}}{\bigr )}=0,\end{aligned}}}$$

そして式（２）は次のように簡略化される^[32]。

$${\displaystyle k_{4}=k_{1}+k_{2}\pm 2{\sqrt {k_{1}k_{2}}}.}}$$

両辺の平方根をとると、この場合の別の定式化（）が得られる。${\displaystyle k_{1}\geq k_{2}}$

$${\displaystyle {\sqrt {k_{4}}}={\sqrt {k_{1}}}\pm {\sqrt {k_{2}}},}$$

これは「ピタゴラスの定理の一種の狂気バージョン」と評されている。^[25]

2つの円が直線に置き換えられると、置き換えられた2つの円の接線は、置き換えられた2つの直線の平行線になります。この場合、とすると、${\displaystyle k_{2}=k_{3}=0}$ 式(2)は次のようになります。

$${\displaystyle \displaystyle k_{4}=k_{1}.}$$

これは、4つの曲線すべてが互いに接するためには、他の2つの円が合同でなければならないという観察と一致しています。^{[19] [26]}

式 (2)で表わされる 4 つの接円がすべて整数曲率を持つ場合、式の 2 番目の解で表わされる 4 番目の円も整数曲率を持つ必要があります。これは、両方の解が整数から整数の平方根だけ異なるため、この平方根、つまりもう一方の解も整数である場合に限り、どちらかの解が整数になるからです。デカルトの定理の式を満たす 4 つの整数はすべて、4 つの接円の曲率を形成します。^[33]このタイプの整数四重体は、ヘロン三角形、つまり整数の辺と面積を持つ三角形とも密接に関連しています。^[34]

互いに接する任意の 4 つの円から始めて、4 つの円のうち 1 つを代替解 (ヴィエタジャンプ) に繰り返し置き換えると、アポロニアン ガスケットと呼ばれる無限の接円のシステムが得られます。最初の 4 つの円が整数曲率を持つ場合、各置き換え円も整数曲率を持つため、ガスケット内のすべての円は整数曲率を持ちます。整数曲率を持つ任意の 4 つの接円は、最大の 4 つの円と最小の 4 つの曲率のルート四重奏によって一意に記述される、まさに 1 つのガスケットに属します。この四重奏は、同じガスケットの他の四重奏から始めて、最小の円を同じデカルト方程式を解くより大きな円に繰り返し置き換えることで、そのような縮小が不可能になるまで見つけることができます。^[33]

ルート四重項は、非自明な公約数を持たない場合、原始的であると言われる。すべての原始ルート四重項は、2 つの平方の和 を因数分解して、四重項として求めることができる。原始的であるためには、追加条件、および を満たす必要がある。2つの平方の和の因数分解は、2 つの平方の和の定理を使用して得ることができる。その他の任意の整数アポロニアン ガスケットは、原始ルート四重項に任意の整数を乗じて形成でき、これらのガスケットのいずれかの任意の四重項 (つまり、デカルト方程式の任意の整数解) は、ルート四重項を求めるために使用した置換プロセスを逆に実行することで形成できる。たとえば、図に示すルート四重項を持つガスケットは、 2 つの平方の和 を因数分解したものからこの方法で生成される。^[33]${\displaystyle n^{2}+m^{2}=de}$${\displaystyle (-n,\,​​d+n,\,e+n,\,d+e+n-2m)}$${\displaystyle \gcd(n,d,e)=1}$ ${\displaystyle -n\leq 0\leq 2m\leq d\leq e}$${\displaystyle (-10,18,23,27)}$${\displaystyle 10^{2}+2^{2}=8\cdot 13}$

1 本の直線と整数曲率の特殊なケースは、フォード円で組み合わされる。これらは、直交座標系の- 軸の有理点で接する円の無限族である。各分数(最小項) には、曲率 で点で直線に接する円がある。これらの曲率のうち 3 つは、軸の曲率ゼロとともに、対応する分数の 2 つの分母の和が 3 番目の分母になるときはいつでも、デカルトの定理の条件を満たす。分数と(両方とも最小項) の 2 つのフォード円は、のときに接する。これらが接するとき、それらは- 軸と円を中分 とする4 つの接円を形成する。^[35]${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p/q}$${\displaystyle (p/q,0)}$${\displaystyle 2q^{2}}$${\displaystyle p/q}$${\displaystyle r/s}$${\displaystyle |ps-qr|=1}$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (p+r)/(q+s)}$

フォード円は、ルート四重極を持つ特殊なアポロニアン・ガスケットに属し、${\displaystyle (0,0,1,1)}$ 2本の平行線で囲まれており、この2本線は-軸と直線としてとることができます。これは、直線を含み、負の曲率円で囲まれていない唯一のアポロニアン・ガスケットです。フォード円は、このガスケット内で-軸に接する円です。^[33]${\displaystyle x}$${\displaystyle y=1}$${\displaystyle x}$

デカルトの定理における4つの円の半径が比の等比数列にあると仮定すると、曲率も同じ数列（逆）にある。この比を定理に代入すると、次の式が得られる。 ${\displaystyle \rho }$

$${\displaystyle 2(1+\rho ^{2}+\rho ^{4}+\rho ^{6})=(1+\rho +\rho ^{2}+\rho ^{3})^{2},}$$

1より大きい実数解が1つだけある場合、比率

$${\displaystyle \rho =\varphi +{\sqrt {\varphi }}\approx 2.89005\ ,}$$

ここで は黄金比である。同じ数列を両方向に続けると、連続する4つの数字はデカルトの定理に従う円を描く。結果として得られる両端を持つ円の幾何数列は、コクセターの接線円の航跡列と呼ばれる接線円の単一の螺旋パターンに並べることができる。これは、高次元での類似の構造とともに、1968年にHSMコクセターによって初めて説明された。 ^{[36] [37]}${\displaystyle \varphi }$

平面上のどの三角形にも、その頂点を中心とする３つの外接円がある。３点を 、対辺の長さを 、半周を とすると、これら３つの円の半径は となる。デカルトの定理によれば、さらに２つの円（ソディ円と呼ばれることもある）がこれら３つの円に接している。これらの円は内接円によって隔てられており、１つは内接円 、もう１つは内接円 である。^{[38] [39] [40]}デカルトの定理を用いて、内側のソディ円の曲率がであることが分かる。ここでは三角形の面積、は外接円、 は内接円である。外側のソディ円の曲率は である。^[41]内側の曲率は常に正であるが、外側の曲率は正、負、ゼロのいずれかとなる。外側の円が曲率ゼロの直線に退化する三角形は「ソディアン三角形」と呼ばれています。^[41]${\displaystyle A,B,C}$${\displaystyle a,b,c}$${\textstyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$${\displaystyle s-a,s-b,s-c}$${\textstyle (4R+r+2s)/\Delta }$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle R}$${\displaystyle r}$${\textstyle (4R+r-2s)/\Delta }$

デカルトの定理の多くの証明のうちの1つは、三角形の幾何学とのこの関係と、辺の長さの関数としての三角形の面積に関するヘロンの公式に基づいています。3つの円が外接し、半径がである場合、それらの中心は、辺の長さがと半周長の三角形の頂点を形成します。ヘロンの公式により、この三角形の面積は ${\displaystyle r_{1},r_{2},r_{3},}$${\displaystyle P_{1},P_{2},P_{3}}$${\displaystyle r_{1}+r_{2},}$ ${\displaystyle r_{1}+r_{3},}$${\displaystyle r_{2}+r_{3},}$${\displaystyle r_{1}+r_{2}+r_{3}.}$${\displaystyle \triangle P_{1}P_{2}P_{3}}$

$${\displaystyle {\sqrt {r_{1}r_{2}r_{3}(r_{1}+r_{2}+r_{3})}}.}$$

ここで、三角形の内側の点を中心とする半径を持つ内側のソディ円を考えてみましょう。三角形は3 つの小さな三角形に分割でき、その面積は、上記の面積の公式で他の半径の 1 つを代入することで得られます。最初の三角形の面積は、これら 3 つの面積の合計に等しくなります。 ${\displaystyle r_{4},}$${\displaystyle P_{4}}$${\displaystyle \triangle P_{1}P_{2}P_{3}}$${\displaystyle \triangle P_{1}P_{2}P_{4},}$ ${\displaystyle \triangle P_{4}P_{2}P_{3},}$${\displaystyle \triangle P_{1}P_{4}P_{3},}$${\displaystyle r_{4}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {r_{1}r_{2}r_{3}(r_{1}+r_{2}+r_{3})}}={}&{\sqrt {r_{1}r_{2}r_{4}(r_{1}+r_{2}+r_{4})}}+{}\\&{\sqrt {r_{1}r_{3}r_{4}(r_{1}+r_{3}+r_{4})}}+{}\\&{\sqrt {r_{2}r_{3}r_{4}(r_{2}+r_{3}+r_{4})}}.\end{aligned}}}$$

注意深く代数的に操作すると、この式は式（1）のデカルトの定理と同等であることがわかります。^[22]

この分析は、4 つの円が外部接しているすべてのケースをカバーします。つまり、1 つの円は常に他の 3 つの円の内側のソディ円になります。円の 1 つが他の 3 つの円に内部接し、外側のソディ円を形成するケースも同様です。この場合も、4 つの中心は4 つの三角形を形成しますが、(外側のソディ円の中心を とすると) 三角形の各辺の長さは、合計ではなく半径の差になります。は、他の 3 つの中心によって形成される三角形の内側または外側にある可能性があります。内側にある場合、この三角形の面積は、上記のように、他の 3 つの三角形の面積の合計に等しくなります。外側にある場合、4 つの中心によって形成される四辺形は、対角線によって 2 つの異なる方法で 2 つの三角形に分割でき、2 つの三角形の面積の合計と他の 2 つの三角形の面積の合計が等しくなります。すべてのケースで、面積の式はデカルトの定理になります。この方法は、円の1つが直線に退化するケースには直接適用できませんが、円の極限ケースとして扱うことができます。^[22]${\displaystyle P_{1},P_{2},P_{3},P_{4}}$${\displaystyle P_{4}}$${\displaystyle P_{4}}$${\displaystyle r_{4}-r_{1},}$ ${\displaystyle r_{4}-r_{1},}$${\displaystyle r_{4}-r_{3},}$${\displaystyle P_{4}}$

デカルトの定理は行列方程式として表現でき、行列を変更することで4 つの向きの円の他の構成に一般化できます。 を4 つの円の曲率の列ベクトルとし、 を、その係数が交差点における i番目とj番目の向きの円の相対的な向きを表す対称行列とします。${\displaystyle \mathbf {k} }$${\displaystyle \mathbf {Q} }$${\displaystyle q_{i,j}}$$${\displaystyle \mathbf {Q} ={\begin{bmatrix}{\phantom {-}}1&-1&-1&-1\\-1&{\phantom {-}}1&-1&-1\\-1&-1&{\phantom {-}}1&-1\\-1&-1&-1&{\phantom {-}}1\\\end{bmatrix}},\qquad \mathbf {Q} ^{-1}={\frac {1}{4}}{\begin{bmatrix}{\phantom {-}}1&-1&-1&-1\\-1&{\phantom {-}}1&-1&-1\\-1&-1&{\phantom {-}}1&-1\\-1&-1&-1&{\phantom {-}}1\\\end{bmatrix}}.}$$

すると式（１）は行列式として書き直すことができる^{[19] [42]}

$${\displaystyle \mathbf {k} ^{\mathsf {T}}\mathbf {Q} ^{-1}\mathbf {k} =0.}$$

デカルトの定理の一般化として、修正対称行列は、各係数を2つの円の傾きに置き換えることで、4つの円の任意の配置を表すことができます。傾きは次のように定義されます。 ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ ${\displaystyle q_{i,j}}$

$${\displaystyle q_{i,j}={\frac {r_{i}^{2}+r_{j}^{2}-d_{i,j}^{2}}{2r_{i}r_{j}}},}$$

ここで はそれぞれの円の半径、 は円の中心間のユークリッド距離です。^{[43] [44] [45]}円が交差する場合、は円間の交差角の余弦です。 傾斜は、時には反転距離とも呼ばれ、円が接点で接し同じ方向に向いているとき、2つの円が接点で接し反対方向に向いているとき、直交円の場合は、交差しない円の場合は の区間外、1つの円が点に退化する極限の場合です。^{[42] [37]}${\displaystyle r_{i},r_{j}}$${\displaystyle d_{i,j}}$${\displaystyle q_{i,j}=\cos(\theta _{i,j})}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle [-1,1]}$${\displaystyle \infty }$

この式は、適切な傾斜行列が与えられれば、平面上の4つの円の任意の配置に対して満たされる。 ^[42]${\displaystyle \mathbf {k} ^{\mathsf {T}}\mathbf {Q} ^{-1}\mathbf {k} =0}$${\displaystyle \mathbf {Q} }$

デカルトの定理は、球面幾何学において互いに接する大円または小円に一般化される。この場合、円の曲率は球面に対する円の測地線曲率として定義され、これは方向付けられた固有半径のコタンジェントに等しい。すると、次のようになる。^{[19] [44]}${\displaystyle j}$${\textstyle k_{j}=\cot \rho _{j},}$ ${\displaystyle \rho _{j}.}$

$${\displaystyle (k_{1}+k_{2}+k_{3}+k_{4})^{2}=2(k_{1}^{2}+k_{2}^{2}+k_{3}^{2}+k_{4}^{2})+4.}$$

曲率の​​1つを他の3つで解くと、

$${\displaystyle k_{4}=k_{1}+k_{2}+k_{3}\pm 2{\sqrt {k_{1}k_{2}+k_{2}k_{3}+k_{3}k_{1}-1}}.}$$

行列方程式として、

$${\displaystyle \mathbf {k} ^{\mathsf {T}}\mathbf {Q} ^{-1}\mathbf {k} =-1.}$$

この量は小円の「立体直径」である。これは円上のある点を原点に投影したときの立体投影面における直径のユークリッド長さである。大円の場合、このような立体投影は原点を通る直線であるため、 となる。^[46]${\displaystyle 1/k_{j}=\tan \rho _{j}}$${\displaystyle k_{j}=0}$

同様に、この定理は、双曲幾何学において互いに接する円に一般化される。すなわち、番目の円の曲率が円の双曲面に対する測地線曲率、向き付けられた固有半径の双曲余接として定義される。すると、次のようになる。^{[19] [44]}${\displaystyle j}$${\textstyle k_{j}=\coth \rho _{j},}$${\displaystyle \rho _{j}.}$

$${\displaystyle (k_{1}+k_{2}+k_{3}+k_{4})^{2}=2(k_{1}^{2}+k_{2}^{2}+k_{3}^{2}+k_{4}^{2})-4.}$$

曲率の​​1つを他の3つで解くと、

$${\displaystyle k_{4}=k_{1}+k_{2}+k_{3}\pm 2{\sqrt {k_{1}k_{2}+k_{2}k_{3}+k_{3}k_{1}+1}}.}$$

行列方程式として、

$${\displaystyle \mathbf {k} ^{\mathsf {T}}\mathbf {Q} ^{-1}\mathbf {k} =1.}$$

この式は、ハイパーサイクルやホロサイクルを含む双曲幾何学における相互に接する構成にも当てはまります。ここで、は双曲面に対するサイクルの測地線曲率、つまりサイクルの立体直径の逆数です。これは、直径の一方の端点が原点に投影されたときの立体投影（ポアンカレ円板モデル）での直径です。 ^[47]ハイパーサイクルには明確に定義された中心や固有半径がなく、ホロサイクルには中心と無限大の固有半径の理想点がありますが、双曲円、ホロサイクル、ハイパーサイクル、測地線の場合は理想点があります。^[48]${\displaystyle k_{j}}$${\displaystyle |k_{j}|>1}$${\displaystyle |k_{j}|=1}$${\displaystyle |k_{j}|<1}$${\displaystyle k_{j}=0}$

次元ユークリッド空間では、互いに接する超球面の最大数はである。例えば、3次元空間では、5つの球面が互いに接することができる。超球面の曲率は次式を満たす。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle n+2}$

$${\displaystyle {\biggl (}\sum _{i=1}^{n+2}k_{i}{\biggr )}^{\!2}=n\,\sum _{i=1}^{n+2}k_{i}^{2}}$$

平坦な超平面に対応する場合は、定理の2次元バージョンを一般化します。^{[19] [44]}複素数の3次元類似物はありませんが、中心の位置の関係は行列方程式として再表現することができ、これも次元に一般化されます。^[19]${\displaystyle k_{i}=0}$${\displaystyle n}$

3次元では、互いに接する3つの球が固定されており、4つ目の球が3つの固定された球に接しているとします。デカルトの定理の3次元バージョンは、固定された球に接する球を見つけるために適用でき、次に、固定された球に接する新しい球を見つけるために再度適用できます。結果は、シーケンス内の隣接する球と3つの固定された球にそれぞれ接する6つの球の循環シーケンスであり、ソディが1936年に別の詩の形で発見し発表したことにちなんで、ソディのヘクスレットと呼ばれる構成です。 ^{[15] [16]}${\displaystyle S_{1}}$${\displaystyle S_{2}}$${\displaystyle S_{1}}$${\displaystyle S_{3}}$${\displaystyle S_{2}}$

球面幾何学または双曲幾何学における相互に接する超球面の高次元構成は、上記のように定義された曲率で、

$${\displaystyle {\biggl (}\sum _{i=1}^{n+2}k_{i}{\biggr )}^{\!2}=nC+n\,\sum _{i=1}^{n+2}k_{i}^{2},}$$

球面幾何学と双曲幾何学では^{[44] [19]}${\displaystyle C=2}$${\displaystyle C=-2}$

• 円内の円詰め
• オイラーの四平方恒等式
• マルファッティサークル